基于非線性GRA的群體模糊多屬性決策模型

李香花,邊 寧,,,王孟鈞

（1.中南大學土木工程學院,長沙410075;2.株洲市城市規劃局,湖南 株洲421007）

0 引言

由于客觀事物復雜性和不確定性以及決策者主觀意見的模糊性，群體模糊多屬性決策（GFMADM）問題越來越受理論界與實務界關注。群體模糊多屬性決策方法作為一種能夠對備選方案的數量屬性和質量屬性進行高度綜合的評價方法，在系統優化、經濟評價與方案決策中得到廣泛應用。目前，有關GFMADM的理論研究已取得了豐碩的成果[1-9]，綜合起有來主要理想點法（TOPSIS）[1-6]和線性規劃法（LINMAP）[7-9]兩類方法。文獻[1]先通過集結專家群體意見得到綜合評判矩陣，然后設定屬性權重和正負理想點并依據距離關聯做出綜合評判；文獻[2～4]根據屬性值差異與屬性權重的關系分別采用極值偏差法、模糊向量投影技術、灰色關聯法和優勢度關聯法構建函數，求解屬性權重值，然后從規范化綜合決策矩陣中選取正負理想方案，并根據備選方案與理想方案的距離、投影或關聯度等進行加權集結與決策評價；文獻[5]依據屬性優勢度關系確定屬性的權重以及優勢度矩陣，并依據優勢度概率測度值進行決策；文獻[6]側重對決策者群體意見的一致性進行研究與集結，然后通過到正負理想點的距離進行決策；文獻[7～8]則利用線性規劃模型求解屬性權重值和理想方案屬性值，然后依據備選方案與理想方案的差異度進行決策。由于決策屬性的權重與屬性值的大小沒有必然的聯系，理想的方案值并不一定存在于決策矩陣中，因此理想點法中理想方案的直接選取難以排除主觀因素的干擾。文獻[7～9]的線性規劃（LINMAP方法）涉及參數過多，計算量大，因此現實應用推廣存在一定困難。本文在已有成果基礎上，針對決策問題的模糊性和不確定性，建立三角模糊決策矩陣，并綜合LINMAP和TOPSIS的優點，運用模糊環境下備選方案到理想方案的距離，分析群體決策偏好的一致度和不一致度，構建群體多屬性決策的非線性目標函數，并借助MATLAB、EXCEL等輔助計算工具，求解函數得到理想方案屬性值及屬性權重值。然后結合決策屬性值群體意見的相關性，運用灰色關聯法計算各備選方案與理想方案綜合加權關聯度，據以進行方案的決策排序。最后通過算例檢驗。為群體多屬性決策問題提供新思路。

1 三角模糊數預備知識

定理1若a=(al,am,,au) ,0＜al＜am＜aua?=(al,am,,au),0＜al＜am＜au,則a?為一個三角模糊數，其隸屬函數可以表示為：

由此，三角模糊數隸屬函數必在區[0,1]上。

定理2 有任意兩個三角模糊數a?=(al,am,au)=(bl,bm,bu)，根據拓展原理有如下運算規則：

其中⊕ , ?為三角模糊數的加法、乘法運算符號；λ為一常數。

效益型屬性為:

成本型屬性為:

定理6若α,β為兩個三角模糊數向量，，其中（i=1,2,…,m），則α與β的關聯系數可以表示為ξi：

式中ρ為分辨系數，依據決策的精準度來確定。

2 模糊多維屬性非線性GRA模型

若決策中有n個備選方案組成備選方案集合X=(x1,x2,…,xn)，m項決策屬性組成屬性集合U=(u1,u2, …,um)，則決策問題為多維屬性決策，常用的方法有理想點法（TOPSIS）和線性規劃法（LINMAP）。這兩種方法都存在一定的局限性。本文結合兩種方法的基本原理的基礎上，采用非線性函數變換，構建多屬性非線性決策模型，求解理想方案值和權值，并運用灰色關聯法來進行決策，具體過程如下：

Step 1設定語言變量，并根據決策專家對各備選方案的各屬性模糊評價，構成多數性模糊決策矩陣其中根據公式(4)與（5）對矩陣的模糊數值進行歸一化，得到標準決策矩陣決策屬性權重向量為ω=(ω1,ω2, … ,ωj)，其中Step 2設定理想方案為A*的屬性值為:

=則各備選方案到理想方案的歐幾里德距離為di,i=1,2,…,n。

Step 3已知專家決策偏好集F，F={(xp,xq)|

xp?xq,xp,xq∈X}，符號?表示前者優于后者。根據決策原理，到各屬性理想值歐幾里德距離越小表示該方案越優，推廣到群體決策中，如果xp?xq并且有dp≤dq，則表示專家偏好符合一致性，表示為否則，表示專家偏好不符合一致性，用來表示：

并由此可推知群體群體決策一致度為G和群體不一致度為B：

根據上式可以推知:

Step 4分析專家意見相互關系，確定分布函數，構造非線性目標函數。首先dp和dq關系分布函數如式（11）和式（12），分布如圖1。

圖1 專家偏好一致度函數分布

由于群體不一致度為B，則應滿足ξ?(B)盡可能小，同時又要使G-B盡可能大，令G-B最小差異為h，構造函數[11]：

式中h、k由決策者給定，為便于比較將函數η(G-B)分布置于[0,1]區間，可見函數滿足單調性，要使η(G-B)盡可能大又使得ξ?(B)盡可能小，即ξ?(B)和1-η(G-B)均盡可能小，引入式中間變量λ,λ=max{ξ(B), 1-η(G-B)}.并根據分析構造目標函數如下：

Step 5解非線性方程組，得到屬性權向量和理想方案屬性值，并計算各備選方案到理想方案的關聯系數，構建關聯系數矩陣D=[ξij]n×m。將公式(6)關聯關系拓展到多屬性決策領域，計算各方案屬性值與理想方案各屬性的關聯系數為ξij：

分辨系數ρ取值為0.05，使決策關聯系數長度區間達到95%，已符合本文決策需求精度。針對決策屬性uj來說，ξij越大說明備選方案與理想方案在該屬性上越接近。Step 6計算各方案的綜合關聯度ζi，并進行決策。

ζi表示備選方案到理想方案的綜合相似程度，ζi越大表明備選方案與理想方案越相似，方案越優，反之，方案越差。

3 應用案例

表1 不同開發模式相關屬性評價表

表2 語言變量三角模糊表示數

長株潭城市群發展中某大型基礎設施項目運作模式決策中，初步研究分析可以采取A、B、C、D四種備選方案，為保證決策的科學合理性，必須對各備選方案對社會、經濟、環境及資源利用等方面進行系統分析，組織專家對備選模式的社會經濟、生態環境、資源利用和國民經濟四方面進行評價，如表1所示，并得到專家偏好集合φ={(A,B),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(D,C)}，運用多屬性非線性決策模型進行決策。

確定語言變量三角模糊表示，如表2所示：

依據表1、表2構建決策矩陣A，并將矩陣A進行規范化，得到規范化矩陣R。

將R作為初始變量輸入，令h=0.5,k=0.1,求解模型得到屬性權重值和理想方案的屬性值分別為：

W=（0.3560,0.1304,0.3206,0.1930），

A*=((0.5160,0.7180,0.9330）,(0.2046,0.2846,0.7673),(0.240,0.4242,0.6231),(0.1527,0.7681,0.7742))依據公式(16)計算各備選方案與理想方案屬性的關聯系數，構成關聯系數矩陣如下：

根據公式(17)計算各備選方案的綜合關聯度，并進行決策。項目綜合關聯度分別為ζA=0.697，ζB=0.764，ζC=0.324，ζD=0.507，對綜合關聯度進行排序，即ζB＞ζA＞ζD＞ζC，方案的優劣秩序依次為B?A?D?C。

4 結論

本文針對群體多屬性決策中評價值具有模糊性和屬性權重不確定的問題，提出了一種非線性規劃求解屬性權重和理想方案的方法，該方法是運用三角模糊向量距離比較與專家偏好可信度為基礎，通過構建非線性規劃模型，求解模型得到理想方案屬性值和屬性權重，然后依據備選方案與理想方案的綜合灰色關聯度進行方案的決策排序。該方法與傳統的線性規劃多屬性規劃方法比較具有決策參數少，簡單易行的特點，并且該方法可以克服多維向量距離決策不唯一性，還可以防止GRA法主觀偏好的影響，通過算例驗證，決策結果比較理想。

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