Weibull隨機壽命的統計量

王桂金

(原鋼鐵研究總院，北京 100083)

1 疲勞壽命的Weibull分布

服從Weibull分布的疲勞壽命在可靠性理論中占有重要地位[1-2]。與其相關的實際疲勞壽命數據應該是一組滿足Weibull分布的隨機變量,并應給出Weibull分布定義的統計量。帶量綱的統計量有均值即期望值μ, 方差σ2, 中值median和峰值mode。無量綱統計量有標準誤差σ/μ，斜度γ1和過盈峭度γ2。對于具有形狀參數κ和尺寸參數λ的二參數Weibull分布, 其計算公式為[1]

中值median=λ(ln2)1/κ,

式中：Γi=Γ(1+i/κ)，為Gamma函數；κ為形狀參數；λ為尺寸參數。

值得注意的是，無量綱統計量都是形狀參數κ的函數, 而與尺寸參數λ無關。 因此只要Weibull分布的形狀參數相同,其標準誤差、斜度和過盈峭度亦相同。通常研究者從試驗數據出發，用極大似然法[1]或最大線性不變法[3]求出κ和λ,并計算擬合的可靠度。 由于在滿足最小偏差的條件下，壽命分布形狀不一定正確， 因此有必要從試驗數據算出和分布形狀有關的斜度γ1及過盈峭度γ2，并計算出對應的κ(γ1)及κ(γ2)，再同擬合的κ值比較。為了避免實測壽命的系統誤差和人為誤差，可以首先隨機產生一定數量的Weibull壽命(例如100個)，按極大似然法計算κ和λ，并和設定值比較。然后由隨機壽命數據按常規方法計算斜度和過盈峭度，進而推算相應的Weibull形狀參數κ(γ1)及κ(γ2) ，并和極大似然法的形狀參數κ相對照。最后還應該對實測壽命數據做同樣的處理，以便對實際壽命數據是否為Weibull隨機分布做出判斷。

2 隨機壽命和極大似然法擬合[1]

Weibull分布的隨機壽命L為

L=λ(-lna)1/κ,

(1)

式中：a為在[0,1]區間內均勻分布的隨機變量，為易于和鉻鋼軸承試驗數據相比較，兩者皆取為1。從文獻[4]的附表中依次選取100個隨機變量ai,i=1, 2, …,100，按(1)式算出的隨機壽命Li見表1。根據下述極大似然法公式可求出這組數據的Weibull分布參數κ和λ

表1 Weibull隨機壽命Li(i=1，2，…，100，κ=1，λ=1)

(2)

(3)

式中：N為所取樣本大小，可根據需要選擇，本例為10≤N≤100；Li為第i個試樣的隨機壽命。首先經對κ迭代計算使(3)式接近于零(小于|1×10-5|)得到κ(N)，然后將其代入(2)式得到λ(N)。另外，按統計公式計算隨機壽命分布的斜度γ1(N)和過盈峭度γ2(N)，并計算出相應的形狀參數κ(γ1,N) 和κ(γ2,N)。

3 計算結果

3.1 隨機壽命分布的λ(N)，κ(N)，κ(γ1, N)和κ(γ2, N)

為檢查隨機壽命數據組的隨機特性，計算了N=10～100 的λ(N)，κ(N)，κ(γ1,N)和κ(γ2,N)，結果如圖1所示(橫坐標為樣本大小N，下同)。當采用全部隨機壽命數據，即N=100時，λ(100)=1.016 57，κ(100)=0.996 07，κ(γ1,100)和κ(γ2,100)分別為1.028 910和1.083 690，都很接近設定值1。結果表明這100個隨機壽命符合κ=1和λ=1的Weibull分布，不僅偏差最小，而且分布具有κ=1的不對稱性。極大似然法算出λ和κ在整個N范圍變動不大，只在N<20時變動幅度略大。如果只取部分隨機壽命計算斜度和過盈峭度及其形狀參數和尺寸參數，則在N≥48時仍相當接近1。但是當N<48時，斜度和過盈峭度的形狀參數顯著增大，并且波動幅度大。 查表1可知，第48號是數據組的最大值 5.632 390，應該是它的出現終止了急劇的波動。因此，當隨機壽命樣本少于48時，雖然極大似然法能給出接近1的形狀參數，但是分布不對稱性未能達到κ=1的Weibull分布理論值。直到第48號數據加入，3種形狀因子才得以一致。 其原因是極大似然法不涉及三、四次矩，對分布的形狀不很敏感。

圖1 隨機壽命試樣的極大似然法和由數據的斜度和過盈峭度得出的形狀參數

3.2 隨機壽命由小到大排列的λ(N)，κ(N)，κ(γ1,N)和κ(γ2, N)

通常實測壽命是由小到大按次序記錄，為便于比較，把隨機壽命由小到大排列，重新計算N=10～100的λ(N)，κ(N)及κ(γ1,N)，κ(γ2,N) ，結果如圖2所示，可以看出：

圖2 由小到大排列的隨機壽命的極大似然法和直接由斜度及過盈峭度得出的形狀參數

(1)與圖 1相同， 全樣本的隨機壽命(即N=100)，由極大似然法和由數據的斜度和過盈峭度等3種方法得出的λ值和各κ值均接近1 ，這是合理的；

(2)在10≤N≤100時，極大似然法得出的κ(N)由1逐步增大到1.671 50(N=21)，隨后稍微減小，再接著增大到2.822 30(N=10)；

(3)從N=100到N=10由斜度推算的κ(γ1,N) 增長較快并有幾個峰，例如在N=21達到峰值3.897 70, 在N=12處取極小值1.781 70，幾乎和極大似然法的κ值1.743 30重合。這是極大似然法的κ(N)和由斜度推算的κ(γ1,N)第2次重合；

(4)由數據組的過盈峭度換算的κ(γ2,N)值，在所討論的N范圍相當離散。為清晰起見，在圖上只標出κ(γ2,N)小于4.5 的值(其他圖也作類似處理)，不過仍然可以看到，在N=12,N=99和N=100處，κ(γ2,N)比較接近相應的κ(N)；

(5)極大似然法的尺寸參數λ(N)從1.016 70(N=100)平穩地減小到0.056 83(N=10)。

4 試驗分析

4.1 1208K+H208軸承的疲勞壽命[5](37個試樣)

試驗條件：載荷5 kN，轉速 3 000 r/min，實測疲勞壽命見表2，計算結果如圖3所示。圖中：λ(37)=1 387 h，κ(37)= 0.955 50，κ(γ1, 37)=1.101 04，κ(γ2, 37)=1.149 38。

表2 H208軸承實測疲勞壽命(37個試樣) h

圖3 1208K+H208軸承實測疲勞壽命按極大似然法和按斜度及過盈峭度得出的λ(N) ，к(N)，к(γ1, N)和к(γ2, N)

4.2 7208軸承的疲勞壽命[6](60個試樣)

試驗條件：徑向載荷為8.281 kN, 軸向載荷為4.673 kN, 轉速 4 500 r/min，結果如圖4所示，λ(60)=267.12 h，κ(60)=1.024 43，κ(γ1, 60)=0.926 16，κ(γ2, 60)=0.931 83。

圖4 7208軸承實測疲勞壽命按極大似然法和按斜度及過盈峭度得出的λ(N) ，κ(N)，κ(γ1, N) 和κ(γ2, N)

4.3 6104軸承(50個試樣)和6307軸承(20個試樣)的疲勞壽命[7]

6104軸承試驗條件：徑向載荷 3.2 kN, 轉速 2 800 r/min，結果如圖5所示，λ(50)=125.28×106r，κ(50)=1.027 600，κ(γ1, 50)=1.336 360，κ(γ2, 50)=1.595 200。

圖5 6104軸承實測疲勞壽命按極大似然法和按斜度及過盈峭度得出的λ(N) ，κ(N)，κ(γ1, N) 和κ(γ2, N)

6307軸承試驗條件：徑向載荷 7.8 kN, 轉速 1 900 r/min，結果如圖6所示。λ(20)=175.2×106r，κ(20)=1.577 70，κ(γ1, 20)=2.175。但κ(γ2，20)在κ=1～10時無解，因為γ2(20) =-0.725 960，低于γ2最小值-0.289(κ=3.42)。

圖6 6307軸承實測疲勞壽命分布按極大似然法和直接由斜度及過盈峭度得出的λ(N) ，κ(N)，κ(γ1, N) 和κ(γ2, N)

4.4 結果分析

總的看來，1208K+H208和7208軸承的實測疲勞壽命按極大似然法和直接由斜度及過盈峭度得出的各形狀參數κ值在全樣本處幾乎重疊，與圖2的結果很相近，因此其實測疲勞壽命分布十分接近隨機分布。而6104和6307軸承的3種形狀參數κ都還未完成相互靠攏的過程，可能需要更大的樣本或者更嚴格控制樣品制作和試驗條件作進一步驗證。因此認為，極大似然法、斜度和過盈峭度的形狀參數κ相互重疊的出現，應是滿足Weibull壽命隨機特性的一個條件，具體而言，一組符合Weibull分布的疲勞壽命數據應有如下特征。

(1)當全樣本的試樣數N足夠大，應在一個或一個以上的N值處，實測疲勞壽命按極大似然法和由斜度及過盈峭度得出的κ比較接近甚至重疊。這樣，疲勞壽命分布和理想的Weibull分布既有最小的偏差， 而且分布的形狀(即斜度和峭度)也一致。 如果有多個重合點，建議采用最大N值的形狀參數κ和尺寸參數λ。

(2)隨著N值增大，由于長壽命數據進入擬合計算，Weibull壽命分布的3種形狀參數κ都逐漸變小。而最大似然法的尺寸參數則幾乎呈線性增大。

(3)同一材料在同一試驗條件下，如果有些試樣因故不能試驗到失效而提前舍去，可能會得出偏大的形狀參數和偏小的尺寸參數，從而導致L10的偏差。

5 結束語

一般認為，最大似然法在大樣本試驗中比現有其他方法優越[1]。本研究表明，如果能輔之以數據的斜度和過盈峭度，取得有關壽命分布形狀的信息，可以把Weibull分布參數評估得更合理。