基于球Bessel函數(shù)的鋼球溫度分布均勻化時間計算

王小增，曾輝，楊久紅

(嘉應(yīng)學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，廣東 梅州 514018)

工業(yè)用球是重要的基礎(chǔ)零部件，而且在一些特殊條件下，常常需要特殊材質(zhì)的球，來完成不同環(huán)境下所要求達(dá)到的功能。一些特殊材質(zhì)球已廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如9Cr18,3Cr13不銹鋼，銅、鋁、鈦合金鋼以及瑪瑙、玻璃、陶瓷球等材質(zhì)球的推廣應(yīng)用。其中，軸承鋼球為廣泛使用的工業(yè)用球。為使鋼球具有所需要的力學(xué)性能、物理性能和化學(xué)性能，除合理選用材料和各種成形工藝外，熱處理工藝往往是必不可少的。在熱處理過程中，鋼球的溫度控制是一項重要的內(nèi)容，直接影響著鋼球的熱處理質(zhì)量，如果溫度控制不當(dāng)，可能會導(dǎo)致鋼球開裂[1-3]。球Bessel函數(shù)常用于解決球?qū)ΨQ物體熱傳導(dǎo)定解問題[4-6]。下文采用能量守恒定律推導(dǎo)了鋼球的熱傳導(dǎo)方程，采用球Bessel函數(shù)給出了鋼球在溫度上升過程中熱傳導(dǎo)方程的解析解，并對不同半徑，初始溫度為900 ℃的鋼球溫度達(dá)到均勻分布的時間進(jìn)行分析，通過擬合方法得出了計算公式。

1 球體熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)

作為球形傳熱體，如圖1所示，在笛卡爾坐標(biāo)系中，球的溫度分布為u(x,y,z,t)，球形表面為∑，d∑為球體表面積微元，m為面積微元的外法線方向。

圖1 球模型

設(shè)Q1為單位時間內(nèi)通過球形表面∑流出的熱量，Q2為球體單位時間內(nèi)溫度升高所需的熱量，Q3為球體單位時間內(nèi)熱源產(chǎn)生熱量，此系統(tǒng)無熱源，所以Q3為0。由能量守恒定律得

Q3=Q1+Q2，

(1)

即Q2=-Q1。

(2)

設(shè)qm為單位時間內(nèi)由法線方向單位面積流出的熱量，由Fourier傳熱定律得

(3)

式中：λ為傳熱系數(shù)，W/(m2·℃)。

由(3)式得

(4)

由Gauss定理得

(5)

結(jié)合(2)式得

(6)

(7)

(8)

2 球Bessel函數(shù)理論

Helmholtz方程在球坐標(biāo)下分離變量得到球Bessel函數(shù)[7-8]

(9)

式中：k，l為中間變量。

令y(x)=x-1/2v(x)，得到半奇數(shù)階球Bessel方程為

(10)

球Bessel方程的解可以用半奇數(shù)階球Bessel函數(shù)表示，其中

(11)

(12)

用φl表示上述函數(shù)可以得出遞推公式為

(13)

當(dāng)l為整數(shù)時，

(14)

(15)

3 球體熱傳導(dǎo)方程求解

3.1 方程求解

設(shè)球體半徑為r0，初始溫度為u0，環(huán)境溫度為U0。球體內(nèi)部溫度分布u(r,t)為定解問題，熱傳導(dǎo)方程為

(16)

其中，0≤r≤r0,t≥0。

為解決邊界條件非齊次問題，設(shè)u=v+U0，則關(guān)于v的方程為

(17)

選取球坐標(biāo)系，邊界條件和初始條件與θ,φ無關(guān)，即v=v(r,t)滿足方程

(18)

設(shè)v(r,t)=R(r)T(t)，代入方程分離變量得

(19)

R(0)有界，R(r0)=0，則

T′+k2a2T=0 ，

(20)

式中：T為中間變量；T′為T的一階導(dǎo)數(shù)。

R(r)為0階球Bessel方程，解為0階球Bessel函數(shù)j0(kr),代入邊界條件有R(r0)=j0(kr0)=0，則

knr0=nπ;n=1,2…,N。

(21)

一般解為

(22)

代入初始條件有

(23)

展開以球Bessel函數(shù)為基函數(shù)的廣義Fourier級數(shù)可得

(-1)n+12(u0-U0),

(24)

最后得到方程的解為

(25)

3.2 級數(shù)收斂性分析

n取足夠大的定值可以保證溫度分布的計算精度，球體溫度分布的定解為

(26)

4 實例分析

4.1 鋼球溫度分布

某鋼球半徑 25 mm，鋼球初始溫度20 ℃，加熱爐溫度保持為900 ℃，密度為7 800 kg/m3,比熱容為448 J/(kg·℃),對流換熱系數(shù)為70 W/(m2·℃) ，n取10。得到鋼球溫度分布表達(dá)式為

(27)

鋼球在不同時間和不同位置的三維溫度分布如圖2所示。鋼球在不同位置隨時間的溫度分布如圖3所示，由圖可知，越靠近鋼球表面，溫度變化越劇烈，所以表面的微小裂紋容易導(dǎo)致鋼球的開裂。

圖2 鋼球三維溫度分布

圖3 鋼球在不同位置隨時間的溫度分布

4.2 鋼球溫度分布均勻化時間計算

選取半徑為5 ～25 mm的鋼球代入(26)式進(jìn)行計算，得出鋼球的各個位置溫度均達(dá)到899.99 ℃所需的時間如圖4所示，由圖4可知，分布均勻化所需時間為鋼球半徑的二次函數(shù)，所以進(jìn)行二階擬合。

圖4 不同半徑鋼球溫度分布均勻化時間

設(shè)x為鋼球半徑，y為溫度分布均勻化所需時間，鋼球溫度分布均勻化時間計算的二階擬合公式為

y=0.04x2-1.469 2×10-15x+1。

(28)

鋼球半徑為12.7 mm時，由擬合公式計算的溫度分布均勻化所需時間為7.451 6 s；由溫度分布(26)式計算的結(jié)果為7.5 s，誤差為0.6%，可見由擬合公式計算不同半徑的鋼球溫度分布均勻化所需時間是可行的。

5 結(jié)論

(1)與鋼球內(nèi)部相比，鋼球的表面溫度變化劇烈，所以鋼球表面的細(xì)微裂紋容易擴大造成整個鋼球在熱處理過程中開裂，在鋼球熱處理之前應(yīng)確保鋼球無微小裂紋缺陷；

(2)由二次擬合公式可以精確計算不同半徑鋼球溫度分布均勻化所需的時間；

(3)由球Bessel函數(shù)得出鋼球熱傳導(dǎo)方程的解，可以方便地計算鋼球在不同位置以及不同時間的溫度值。