信息、熵與黑洞

當今世界，信息已經成為我們日常生活中不可或缺的一部分。信息的存在性是毋庸置疑的，但它又不是一般意義下的實體。如何從物理學的角度給信息下一個定義，這件事著實讓物理學家、數學家和計算機學家們費了一番斟酌。人們最后是從信息的存儲入手，將信息“實體化”的。一條信息不論是記憶在人的大腦里，還是記錄在書本上，或是存儲在計算機中，總之它都必須依附于某個物質的實體。沒有承載信息的實體，信息就無法存在。這就提出了一個非常有意思的問題：對于一個給定大小的空間，能夠存儲于其中的信息是否有一個極限？如果有，這個極限是多少？如何計算？要回答這個問題，首先需要把信息“數量化”。這倒不難，因為任何一條信息都可以被等價于一組特定的0/1的組合，就像存儲于計算機里的數據一樣。所以構成信息的最小單位就是0/1，稱作位元（或比特）。這樣一來，上面的問題就簡化為“對于一個給定大小的空間，最多有多少個位元能夠存儲于其中”。

要回答這個問題，需要借助一個十分重要也非常有趣的物理量——熵。熵是用來衡量一個系統有序與無序程度的量，熵越大，系統就越無序（通俗地說，就是越亂）。熵本身是一個宏觀物理量，但描述的卻是一個系統微觀的有序、無序程度。如果把你的臥室看做一個宏觀系統，臥室里的床、椅、鞋、襪等則是構成這個系統的微觀元素，臥室里面越亂，它的熵就越大。從在物理學中占有重要地位的熱力學第二定律出發，可以得出熵增加原理：一個孤立系統（即與外界沒有能量交換的系統）的熵是永不減少的。仍以臥室為例，如果沒有任何人花力氣去整理它（在這里“整理”可以被看做從外界輸入能量），從某種意義上說這個臥室就可以被看成是一個孤立系統，它的熵就永遠不會減少，即只可能變得越來越亂。

信息論之父香農（Claude Shannon，1916-2001）于一九四八年發表的論文《通信的數學理論》被視為現代信息論研究的開山之作，在該文中他首次提出了信息熵的概念。信息熵描述的是隨機變量的不確定性，也就是不可預測性。它不但在數學表達形式上與物理熵一致，在實質上也與物理熵有著緊密的聯系。不難想象，一個系統越無序，對它就越難準確描述，當然也就越不可預測。兩間放有相同東西的房間，比如說里面都有十本雜志，一間很亂（物理熵高），雜志東一本西一本，床上、地上哪兒都有。一間很整齊（物理熵低），所有的雜志都摞在床頭柜上。如果有人進來隨手拿起一本雜志向某個方向胡亂一扔（雜志位置變動的信息），對前者來說，幾乎無法判斷出房間里面有什么變化（難以得到信息），而對后者，變化則是一目了然的（容易得到信息）。

信息與熵的關聯是比較顯而易見的，但信息與黑洞之間能有什么聯系呢？在回答這個問題之前，讓我們先來看看黑洞的一些重要性質。

黑洞最初是被作為廣義相對論的一個數學結論而提出。它的發現本身就頗有戲劇性。愛因斯坦在一九一五年提出廣義相對論的引力場方程，這個非線性的方程是廣義相對論的核心，但在數學上卻很難解。在廣義相對論發表之初，那些引起舉世轟動的預測，都是愛因斯坦在對該方程進行了一些近似之后才最終得到的。然而就在引力場方程問世之后不久，極具天才的天體物理學家史瓦西（Karl Schwarzschild，1873—1916）就得到了第一個精確解。史瓦西出生于德國法蘭克福，十六歲時就發表了一篇關于行星軌道的論文。他在斯特拉斯堡與慕尼黑大學求學，一八九六年獲得博士學位，一九一二年成為普魯士科學院的會員。一九一四年第一次世界大戰爆發，史瓦西盡管已年過四十，居然投筆從戎參加了德軍，并成了一名炮兵上尉。一九一五年在俄國前線的戰壕里，他寫了一篇關于相對論的重要論文(完成于一九一六年初)，得到了一般性引力理論方程的第一組精確解。其中一個解是關于“非轉動性、球對稱的天體”，另外一個解的對象則是關于在真空中任意質量的星體周圍的空間特性。正是這第二個解奠定了經典黑洞研究的基礎，在天體物理學和宇宙學中具有里程碑的意義。他把論文寄給了愛因斯坦，并由愛因斯坦協助發表在普魯士科學院會刊上。然而當論文發表時，史瓦西已經因病去世了。

史瓦西的經典黑洞的結構其實十分簡單。它有一個邊界（事件視界），包括光在內的任何東西一旦越過了事件視界就有去無回，從那一瞬間起，它們與外界就斷絕了所有的聯系，當然也無法與外界交換信息。事件視界的大小（也就是我們通常說的黑洞的大小）由黑洞的質量決定。事件視界并不是實體，在那兒其實什么都沒有，它只是代表有去無回的分界線。黑洞的中心是一個密度無限大的“奇點”，任何掉進黑洞的物體最后都會消失于這個“奇點”。在“奇點”與事件視界之間也是什么都沒有。事件視界具有很奇特的性質：對于一個被吸入黑洞的物體，當它穿過事件視界時，不同的觀測者會看到完全不同的現象。在一艘飛船被吸入黑洞的過程中，如果讓它每秒鐘都發出一次無線電信號，在外界的觀測者看來，飛船越靠近事件視界，信號到達的間隔會變得越長，當它穿過事件視界時，信號就再也收不到了——飛船徹底消失了。但是對飛船里的觀測者，飛船穿過事件視界時，任何特殊的事情都不會發生，真正的毀滅只發生于飛船到達“奇點”的那一瞬間。

在我們的宇宙里，天文學家已經觀測到了很多各式各樣的黑洞。銀河系的中心就是一個非常巨大的黑洞。通常當一顆質量很大的恒星將它可以用來進行核聚變的物質消耗殆盡時，就會發生由引力引起的“坍塌”，恒星的密度會變得極大而形成黑洞。

黑洞在物理學中從來就是一個“麻煩制造者”。讓我們來做一個想象中的實驗：劃定一個半徑為一米的球形區域，然后不斷往里面扔書、手機、電腦等等，這些東西都帶有一定數量的信息（當然也都有一定數量的熵）。假設我們有辦法控制這個區域使其不能增大，隨著越來越多的東西被扔進去，該區域中物質的密度就會越來越大。當密度最終達到了一個臨界值，這個區域就將成為一個黑洞。此后再往里面扔東西，就無論如何也沒辦法保持區域不增大了，因為黑洞的半徑與它的質量成正比。由于任何東西都不可能從黑洞里逃出來，所以這部分信息也就再也不能為外界所知了。更糟糕的是，經典黑洞是沒有溫度的，沒有溫度的物體的熵是零，而熵是零意味著信息不存在。也就是說，經典黑洞會讓宇宙的熵減少（這與熱力學第二定律相悖）并使信息消失。這就在理論上產生了極大的危機。我們都知道能量守恒是物理世界的根本定律之一，能量可以傳輸、轉換，但不能消失。信息也一樣，可以傳輸、轉換，甚至被掩蓋、隱藏，但不能徹底消失。

第一個在黑洞熵的研究上獲得實質性突破的，是柏肯斯坦（Bekenstein）。他那時還在普林斯頓大學讀研究生（一九七三），師從大名鼎鼎的惠勒（John Wheeler，1911—2008，“黑洞”這個名詞就是他創造的）。柏肯斯坦基本上憑的是物理直覺和唯象的分析，他雖然得到了一個重要結論——黑洞的熵與黑洞的表面積成正比，卻沒能計算出正確的比例常數。由于柏肯斯坦的結論缺少堅實的理論基礎，當時沒有引起太多人的重視。直到霍金于一九七四年非常巧妙地將量子效應應用于黑洞的研究，得出了黑洞具有溫度的重要結論，才徹底解決了物理學上的這一“危機”。

在量子理論中，真空并不是真的什么都沒有，而是不斷有正粒子和反粒子對（比如電子和正電子）在生成和湮滅。只是這個過程極為短暫，從宏觀上看就像什么都沒發生一樣。但如果正-反粒子對恰好是在黑洞的事件視界上生成，情況就會大不一樣。黑洞會“優先”將反粒子吸入，而正粒子則飛向外界。于是從外界看起來，黑洞就像一個生成源，會輻射正粒子。另一方面，由于反粒子帶有負能量，吸入反粒子會使黑洞的能量減少，再通過著名的E=mc2就推斷出黑洞的質量會變小。此一過程在整體上看就像黑洞會輻射粒子并逐漸縮小，換句話說就是黑洞會蒸發。這項結論在物理界引起極大的轟動，被命名為霍金蒸發。能夠輻射的物體有溫度，也就允許有熵。以霍金蒸發為基礎，不但可以導致柏肯斯坦的結論，而且能計算出黑洞熵與黑洞表面積之間的正確的比例常數。

在霍金的論文發表后，黑洞具有熵已成為不爭的事實。但是黑洞是否會吞噬信息的問題還遠沒有解決。霍金和卡特爾（Carter）等人在一九七三年曾嚴格證明了“黑洞無毛定理”：“無論什么樣的黑洞，其最終性質僅由幾個物理量（質量、角動量、電荷）唯一確定。”即當黑洞形成之后，只剩下這三個不能變為電磁輻射的守恒量，其他一切信息（“毛發”）都喪失了，黑洞幾乎沒有形成它的物質所具有的任何復雜性質，對前身物質的形狀或成分都沒有記憶。也就是說黑洞雖然有熵，但被帶入的信息終究還是被毀滅了，即使從理論上講也無法“復原”。霍金的這一觀點當時被物理界的絕大多數人所接受，只有特霍夫特（Gerard，t Hooft，獲一九九九年諾貝爾物理學獎）和沙氏金(Leonard Susskind)等少數幾個人提出質疑。他們認為信息和能量一樣是不可毀滅的，即使黑洞也不能讓信息消失。

特霍夫特是一個很有想象力的人，他在一九九三年猜測，信息并沒有被黑洞吞噬，而是像熵一樣“留”在了黑洞的表面。這是一種全息效應，與我們通常說的全息攝影的原理頗為相似：將描述一個三維空間物體的全部信息存儲在一個二維的表面上。一九九四年沙氏金把這個猜測提升為全息原理，它不但適用于黑洞，對任何給定的空間，其內的所有信息都可以由邊界面上的信息來完整描述。推而廣之，宇宙中的所有信息全都反映在宇宙的邊界上。沙氏金甚至認為真實的物理實際是在邊界的表面上，我們生活的三維空間不過是全息影像而已。這個原理實在有點太過玄乎，所以盡管沙氏金提供了一些直觀的論證，特霍夫特也曾嘗試通過建構某種模型來支持該原理，但開始時基本上沒什么人相信。霍金等人還從理論上對全息原理提出了強烈質疑。直到一九九七年底，智利物理學家馬德西納提出了在超弦理論研究中占重要地位的馬德西納猜想，情況才發生了根本的變化。馬德西納猜想大體上是說描述某種較高維空間的物理性質的弦論可以等價為低一維的空間中的量子場論，也就是在空間與包圍它的表面之間建立起了某種對偶關系。這個猜想雖然還沒有被完整證明，但已在弦論研究的很多方面得到了驗證，今天幾乎沒有人懷疑它的正確性。馬德西納猜想為全息原理奠定了一個堅實的理論基礎，沙氏金最終利用超弦理論得以回答本文最開始提出的問題。他的結論是：在一個給定大小的空間中，能夠存儲于其內的信息確實是有限的，這個極限就是該空間的表面面積除以普朗克面積（普朗克長度約為1.6x10-35米，普朗克面積則約為2.6x10-70平方米）。值得注意的是，該極限是與給定空間的表面積成正比，而不是像通常直觀想象的那樣與其體積成正比。以一個半徑為一米的球體為例，其表面積大約為十二平方米，可存于其內的信息的極限差不多是4x1070個位元。這是一個理論上存在、實際上可能永遠接近不了的極限。