基于Neville算法的GPS精密星歷數據加密及精度驗證①

曾 超，劉智敏

（山東科技大學測繪與工程學院，山東 青島266590）

0 引 言

精密星歷是按一定的時間間隔（通常是15 min），由若干衛星跟蹤站的觀測數據經事后處理得到的衛星三維坐標、三維運動速度及衛星鐘改正數等信息。國際地球動力學服務組織（IGS）組織提供的精密星歷通常需要在測量約2周后獲得，其提供的數據采樣間隔為15min，而實際觀測中的采樣率一般為30s、15s甚至更密。為了滿足精密單點定位等一系列高精度衛星定位服務的需求，常采用適當的方法對精密星歷提供的數據進行加密［1，2]。

精密星歷數據的加密主要包括衛星在空間的三維坐標的加密及鐘差改正數加密。常用的加密方法有拉格朗日多項式插值（Lagrange Polynomial Interpolation）、切比雪夫多項式擬合（Tshebyshev Polynomial Interpolation）、納威（Neville）算法等［3]。以上三種方法中，拉格朗日多項式插值在展開級數較高的情況下容易產生龍格振蕩且耗費時間較多［4]；切比雪夫多項式擬合雖然可以避免擬合區間兩端產生數據振蕩和跳躍，但其數學模型相對復雜計算量較大［5]；納維爾算法是一種逐次線性插值方法，數學模型簡單計算量小，內插區間兩端無數據跳躍和振蕩現象。根據相關成果表明［5]：上述三種方法均能達到理想精度。

采用納維爾算法對精密星歷三維坐標數據和鐘差改正數據進行加密，將坐標數據與廣播星歷計算數據進行比對判斷精度，將鐘差加密結果與IGS提供的30s鐘差信息進行比較獲取精度。

1 Neville算法插值原理

Neville算法作是一種逐次線性插值方法。常用的拉格朗日多項式有一個缺點，即在計算函數近似值精度不夠需要增加插值節點導致原有數據不能利用，而且一般的多項式插值不容易估計誤差，所以，只能靠經驗估計確定插值多項式的次數。Neville算法則能有效地克服上述缺點。

Neville算法進行插值計算的遞推公式為

通過表1可以簡單明了地展現Neville算法的計算過程［6]。

表1 Neville算法的計算過程

不難看出，需要增加一個節點時就計算一行，I0，1，I0，1，2，I0，1，2，3，I0，1，2，3，4依次是1次到4次插值多項式的值。如果插值精度不滿足要求，只需增加一個節點即可，前面的計算結果完全有效。并可以逐次生成插值結果，每做一步檢查一次計算結果的精度，如不滿足精度要求，則繼續增加節點，直到滿足精度要求為止。

2 Neville算法的編程實現及精度驗證

2.1 Neville算法的編程實現

由于精密星歷的數據格式比較固定，包括頭文件和一天之中的96個歷元數據，且每一顆衛星的數據包含坐標信息及鐘差改正信息，容易讀成矩陣數據。根據這一特點可采用Matlab進行編程實現精密星歷的加密。

決定函數 Neville（x1，y1，x）算法精度的是它的階數，在本程序中就是選取的節點時間段數x1。通過實驗數據反復計算可知，當階數為11時，Neville算法計算的結果精度達到最佳；y1為與x1相對應的節點數據，可以是精密星歷提供的衛星坐標數據或鐘差改正數據；x為需要加密的時間段。在本程序中，為了匹配精密星歷數據15min采樣率的特點，將加密的區間固定為15min，這樣也能最大化利用精密星歷提供的數據。

2.2 衛星坐標加密精度驗證

根據已有的文獻資料對于精密星歷衛星坐標加密的精度驗證來看，基本上是采用幾種加密方法加密出與精密星歷提供的15min采樣率相一致的數據進行比對［7]，得出相關結論。需要指出的是，如果和精密星歷提供的數據進行精度對比，則需要剔除提供對比數據的該歷元，計算時取30min間隔的星歷作為內插點內插計算各個內插時間段中間時刻的衛星位置［8]，這樣就無法充分利用精密星歷的數據。

對此，通過對廣播星歷計算衛星坐標和精密星歷提供的整點坐標之間的關系研究，得出了一種驗證Neville算法加密結果精度的方法。

對于如何通過廣播星歷計算瞬時衛星坐標，可以查閱文獻［1，9]，同樣采用 Matlab進行編程實現。廣播星歷采用IGS網站提供的2010年6月16日的文件brdc1670.10n，精密星歷則選用同天的jpl15883.sp3文件。時間區間選取2010年6月16日8時至9時，表2即為選取5顆衛星分別在每隔15min的節點上Δs的計算結果，其中Δx＝｜x廣－x精｜，Δy＝｜y廣－y精｜，Δz＝｜z廣－z精｜，Δs＝單位均為m.

由于Neville插值屬于線性插值，再由表2數據可以推測，Δs值與時間序列存在某種線性關系。利用Matlab的最小二乘法［10]對此相關數據進行處理得到如圖1的結果。

表2 PRN2、7、9、15、22號衛星的相關計算結果

根據表1提供的數據得出，當采用4階多項式擬合時，殘差最小。利用廣播星歷計算的衛星坐標對精密星歷加密數據進行精度驗證的思想：利用已知5個節點數據進行最小二乘擬合，選取最優擬合多項式，再利用該多項式求出對應加密間隔的值λ，并與Δs值進行作差處理（需剔除五個節點數據）ε＝｜λ－Δs｜，通過分析差值數據ε的中誤差σ間接驗證利用Neville方法加密坐標數據的精度。

現對PRN2衛星在8時0分0秒至9時0分0秒這一區間加密的衛星坐標數據按照上述方法進行精度驗證，結果如圖2所示。經過計算各衛星的差值數據ε的中誤差σ值參見表3.

圖1 五顆衛星Δs值與時間擬合曲線及殘差

表3 各衛星的差值數據ε的中誤差σ

由表3數據顯示最大中誤差為6.07mm，最小為1.71mm，通過多天多顆衛星的大量同類實驗數據計算表明，利用Neville算法進行30s坐標內插的數據精度符合精密單點定位計算要求。

2.3 衛星鐘差改正數精度驗證

將一小時區間內加密所得到的鐘差改正數據與IGS提供的30s鐘差改正數文件的數據進行對比，結果如表4所示。

表4 加密鐘差與IGS提供鐘差的差值比較

表4中的數據顯示，加密鐘差數據與IGS提供的30s鐘差數據的最大差值未超過1ns，最大精度可達10－3納秒級。同樣對多天多歷元衛星的鐘差加密數據進行相同處理后發現：Neville算法加密30s鐘差的精度可以滿足精密單點定位的需求。

4 結 論

利用Neville算法編程實現精密星歷的衛星坐標和鐘差加密計算，根據Neville算法的線性插值特性，對已有加密坐標精度的驗證方法進行改進，結合廣播星歷計算瞬時衛星坐標，通過最小二乘擬合實現加密坐標精度的驗證，得到毫米級的精度驗證結果。不足之處在于此種驗證方法只適用于Neville算法，對于其他加密方法如拉格朗日內插、切比雪夫多項式擬合等非線性方法并不適用。對于鐘差改正數的加密驗證結果得到亞納秒級的精度，均符合精密單點定位計算的要求。

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