運用迭代FFT算法優化平面稀疏陣列①

張 飛，黃 偉，陳客松

（電子科技大學 電子工程學院，四川 成都610054）

0 引 言

在許多實際工程應用中，只要求天線陣列有窄的掃描波束，而不要求有相應的增益。如高頻地面雷達天線、抗環境干擾的衛星接收天線和射電天文中的干涉陣列等。增益與照射口徑的面積有關，陣列波束寬度與口徑的最大尺寸有關，因此，可以采用稀疏陣列（即從規則的柵格中抽去天線單元或接匹配負載）的方法構造出一個降低增益的高方向性天線陣列，以較少的天線單元數達到掃描波束變窄、空間分辨率提高以及天線單元間互耦減弱等技術指標，從而大大降低生產成本［1]。陣列的周期性變稀會使陣列方向圖出現非常高的副瓣，稀疏陣列優化設計的主要目標就是實現旁瓣性能最優化，即盡可能的降低峰值旁瓣電平（PSL）。

近年來，隨著計算機技術的飛速發展，高效的陣列優化方法已成為研究熱點。用于平面稀疏陣列優化的算法主要有遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法以及最近出現的蟻群算法等。這些算法從本質上來說都是基于隨機性的自然算法，需要很長的運算時間才能得到優化結果。

介紹了一種基于迭代FFT算法的平面稀疏陣列優化方法。這是一種全新高效的優化方法。在稀疏陣列中，陣列因子與陣元激勵之間存在傅里葉變換關系，在旁瓣約束下，對初始陣元激勵進行少次迭代，就能使陣列的旁瓣性能得到顯著的優化。以陣列大小為10×20的矩形平面稀疏陣列作為優化實例，證實了該方法的高效性和穩健性。

1 矩形平面稀疏陣列模型

一個稀疏率為f、可放置陣元的柵格數（陣列大小）為M×N，柵格間距為dx＝dy＝d的矩形平面稀疏陣列如圖1所示。陣元數目為T＝f×M×N.陣列方向圖可以表示為

式中：EF（μ，v）為天線單元的方向圖函數；又稱單元因子；AF（μ，v）為陣列因子；Amn為第（m，n）陣元的激勵；k＝2π／λ，λ為波長；μ＝sinθcosφ；v＝sinθsinφ.當陣元均為理想的全向性天線單元，各陣元等幅同相激勵，主波束指向陣列法線方向時，EF（μ，v）＝1，平面稀疏陣列的方向圖為

圖1 矩形平面稀疏陣列模型

二維離散傅里葉逆變換，可以表示為

比較式（3）與式（4）可以看出陣元激勵Amn與陣列因子AF之間存在傅里葉變換關系。如果優化目標是要獲得可視區的峰值旁瓣電平（PSL）最小的矩形平面稀疏陣列，則最優化模型為

式中：Fmax為主瓣峰值。如果第（m，n）陣元被稀疏，則Amn＝0，否則Amn＝1.這里規定矩形平面陣列的角陣元不能被稀疏。

2 迭代FFT算法

運用迭代FFT算法來實現矩形平面稀疏陣列優化的流程圖如圖2所示［2]。實驗表明，一次迭代循環往往經過4～6次迭代便會結束，每一次迭代循環得到的最優PSL（局部最優PSL）未必能達到給定的旁瓣約束條件，但是制定合理的旁瓣約束條件，就能使局部最優PSL接近給定的旁瓣約束。因此只要進行足夠多次迭代循環，每次迭代循環都以一個隨機的初始陣元激勵矩陣開始，各個迭代循環相互獨立，就有很大的概率得到一個最優或近似最優的陣元分布，取局部最優PSL中的最小值作為最后的優化結果。因為運用FFT快速算法計算方向圖函數，并且每次迭代循環的迭代次數很少，所以整個優化過程很快就能完成。

圖2 流程圖

3 計算機仿真結果

分別給出了對稱和非對稱矩形平面稀疏陣列的優化結果。仿真參數為：陣列大小為10×20，陣元均為理想的全向性天線單元，柵格間距d＝0.5 λ，二維逆FFT與FFT運算點數K×K＝256×256，迭代循環總次數Num＝1 000次。規定平面稀疏陣列的角陣元不能被稀疏。

3.1 對稱矩形平面稀疏陣列優化結果

稀疏率為54%，旁瓣約束為－24.00dB的對稱矩形平面稀疏陣列優化結果如圖3所示，優化后的PSL為－18.68dB，與文獻［3]中對相同陣列大小，相同稀疏率的對稱矩形平面稀疏陣列運用遺傳算法進行優化，得到的PSL－14.40dB相比改善了4.28dB.其中3（a）圖為優化后的陣元位置分布圖，白色表示該位置有陣元，黑色表示該位置無陣元，3（b）圖為陣列方向圖，只取了四分之一象限，3（c）圖是其在v＝0和μ＝0時的截平面波束圖。

3.2 非對稱矩形平面稀疏陣列優化結果

稀疏率為54%，旁瓣約束為－25.00dB的非對稱矩形平面稀疏陣列優化結果如圖4、圖5所示，優化后的PSL為－19.69dB，與3.1節中的對稱矩形平面稀疏陣列的優化結果相比改善了1.01 dB.圖5是優化過程中，優化效果最好、優化效果最差、迭代次數最少和迭代次數最多的迭代循環中的PSL變化情況，從圖中可以看出稀疏陣列的旁瓣性能經過少次迭代后得到了顯著的改善。

通過對上述仿真結果的觀察和比較，可以發現，得到的矩形平面稀疏陣列優化結果是符合陣列優化規律的，即在優化陣列中，陣元的稀疏總是發生在陣列邊緣，而陣列中心的陣元一般不會被稀疏掉［4]。并且陣元關于陣列中心非對稱分布，增加了可利用的優化自由度，更利于提高稀疏陣列的旁瓣性能［5]。

圖5 峰值旁瓣電平的收斂情況

3.3 優化方法的性能分析

以上所有仿真均在MATLAB7.1中完成，計算機配置為：AMD Phenom（tm）9650Quad－Core處理器，主頻為2.3GHz，每次仿真所花費的時間僅需1min左右。表1給出了陣列大小為10×20，稀疏率為54%，旁瓣約束為－24.00dB的對稱矩形平面稀疏陣列20次相對獨立的優化結果，其中最好的結果為－18.68dB，最差的結果為－17.84 dB，平均值為－18.08dB，方差為0.028 2.結果表明每次優化得到的PSL總是在一個很小的范圍內變化。這說明了該優化方法具有高效性和穩健性。

表1 矩形平面稀疏陣列20次相對獨立的優化結果（PSL／dB）

4 結 論

迭代FFT算法在解決稀疏陣列的優化問題上，有其獨特的優勢。使用迭代FFT算法快速地實現了矩形平面稀疏陣列的優化設計，對解決此類問題提供了有益的啟示，為工程運用提供了有價值的參考。仿真結果證明了該方法的高效性和穩健性。此外，該優化方法還可直接應用到大型平面稀疏陣列的優化設計當中。

［1]王玲玲，方大綱.運用遺傳算法綜合稀疏陣列［J].電子學報，2003，31（12A）：2135－2138.

［2]KEIZER W P M N.Large planar array thinning using iterative FFT techniques［J].IEEE Trans.Antennas and Propagation，2009，57（10）：3359－3362.

［3]HAUP T R L.Thinned arrays using genetic algorithms［J].IEEE Trans.Antennas and Propagation，1994，42（7）：993－999.

［4]陳客松，何子述，韓春林.利用GA實現非對稱稀疏線陣旁瓣電平的優化［J].電子與信息學報，2007，29（4）：987－990.

［5]陳客松，何子述，唐海紅.對稱線陣的優化稀疏研究［J].電子與信息學報，2009，31（6）：1490－1492.

［6]KEIZER W P M N.Linear array thinning using iterative FFT techniques ［J].IEEE Trans.Antennas and Propagation，2008，56（8）：2757－2760.

［7]KUMARUMAR B P，BRANNER G R.Generalized analytical technique for the synthesis of unequally spaced arrays with linear，planar，cylindrical or spherical geometry［J].IEEE Trans.Antennas and Propagation，2005，53（2）：621－634.

［8]CHEN Ke－song，HE Zi－shu，HAN Chun－lin.A modified real GA for the sparse linear array synthesis with multiple constraints［J].IEEE Trans.Antennas and Propagation，2006，54（7）：2169－2173.