勻速直線運動模糊圖像復原的改進算法

閆永存，楊燕翔，黃小莉，朱曉虹

（西華大學 電氣信息學院，四川 成都 610039）

運動模糊圖像是由于攝像設備和對象在曝光瞬間存在相對運動而形成的，運動模糊恢復就是利用運動模糊退化的某種先驗知識來重建或恢復原有圖像，它是圖像恢復中的重要課題之一，可廣泛應用于天文、交通、醫學圖像、軍事及公安刑偵等領域。運動模糊圖像的復原是圖像復原中較常見和較難的一類，也是目前的研究熱點之一。任何變速的、非直線運動在某些條件下可以被分解為分段勻速直線運動，因此勻速直線運動模糊復原問題具有一般性和普遍性，此類圖像復原的關鍵在于點擴散函數的確定，在實際中造成圖像模糊的原因往往是未知的，因此運動參數的精確估計是復原此類圖像的關鍵和前提，學者們也提出了一些方法，如：Cannon等[1]利用勻速直線運動模糊圖像的方向與其頻域上的零值條紋方向垂直這一特點，估計出運動方向和點擴散函數尺度；陳前榮等[2]利用方向微分的特點以及雙線性插值的方法自動鑒別運動模糊方向；賀衛國等[3]從理論上分析了模糊距離的頻譜特點，并對模糊尺度提出了精確估計的方法，但沒有涉及模糊方向的估計。

文中在原有算法基礎上進行了改進，并以sadhna圖像為例進行實驗研究，驗證了該算法可以達到精確估計點擴散函數，改善復原效果、抑制振鈴效應的目的。

1 圖像退化模型及復原原理

假設 g（x，y）代表一幅退化圖像，f（x，y）為原圖像，h（x，y）為退化的點擴散函數，n（x，y）為加性噪聲，則f?（x，y）為復原之后的圖像，退化模型及復原過程可以用圖1來描述。

圖1 模糊圖像的一般退化模型及復原處理模型Fig.1 The model of blurred images deterioration and restoration

目前，圖像復原的方法有逆濾波、維納濾波、有約束最小平方、最小二乘方濾波等，其中維納濾波是一種最早、也很常用的線性圖像復原方法，由于其復原效果良好，計算量較低，并且抗噪性能優良，在圖像復原領域得到了廣泛應用并不斷得到改進發展，故本文選用維納濾波進行圖像復原。該方法的目標是尋找一個估計值使得誤差函數 e2=E{（ f-2}最小。該表達式在頻域表示為：

可見，用維納濾波實現運動模糊圖像的復原實質上就是求取退化函數H（u，v）和K值（信噪比）的過程，其取值的準確性將直接影響復原效果。通常K值可手工調節，因此對于點擴展函數未知的運動模糊問題，估計點擴展函數就成為圖像恢復過程中的重要步驟。

2 點擴散函數的確定

對于勻速直線運動模糊圖像，其點擴展函數可描述為：

其中d為運動模糊長度，θ為運動模糊方向與水平方向角度。

對于二維的運動模糊點擴散函數，很顯然存在兩個參數：運動模糊方向和模糊尺度。準確地估計出運動模糊方向，就可以通過圖像旋轉，將運動模糊方向旋轉到水平軸方向，對應的運動模糊點擴散函數即由二維變為一維的，運動模糊點擴散函數的估計及圖像復原問題將得到簡化。

3 改進的模糊圖像復原方法

3.1 基于方向微分的運動模糊方向鑒別

原始圖像可看作是自相關及其功率譜是各向同性的一階馬爾科夫過程，運動模糊就是減小了運動方向上圖像的高頻成分，方向偏離越大影響越小，對于垂直于運動方向上圖像的高頻成分沒有影響。因此對模糊圖像進行方向性的高通濾波（方向微分），得到圖像灰度值（絕對值）之和最小時對應的方向即為運動模糊方向。方向微分示意圖如圖2所示。

圖2 方向微分示意圖Fig.2 Direction derivation

對運動模糊圖像g（i，j）進行方向微分（微元大小為 Δr，方向角為α），得到微分圖像為：

3.2 基于微分圖像的自相關函數鑒別模糊尺度

模糊帶內相近的像素點灰度值形成了低頻區域，所以模糊像素軌跡內部的像素值更加相關。而求沿運動方向微分后圖像的自相關函數可以得到一個對稱圖像，圖中有一個中心峰值和對稱分布在峰值兩邊的負峰，負峰與中心正峰之間的距離就是模糊尺度[4]。自相關函數公式如下：

M為圖像列數，N為圖像行數。為了有效抑制噪聲，通常把每行的自相關函數在列方向求和取平均，即：

計算流程如下：

2）計算g′（i，j）水平方向自相關s（i，j），s（i，j）的每行都包含一對共軛相關峰，對稱分布在零頻尖峰兩側；

3）將s（i，j）在列方向相加求和，得到一行數據Sadd（·），求和可以有效抑制噪聲，突出負相關峰；

用上述方法求出圖像的運動模糊角度和模糊方向，并將其數據代入公式（2），即可得到點擴散函數h（x，y）。

3.3 維納濾波與直方圖均衡相結合的改進算法

維納濾波在抗噪性能方面效果較好，但不能完全將噪聲濾除，圖像的復原效果因此會受到影響，故文中采用維納濾波結合直方圖均衡法對圖像進行復原。

直方圖均衡的基本思想是對原始圖像中的像素灰度做某種映射變換，使變換后的圖像是灰度級均勻分布的，從而提高圖像的對比度。為了研究方便，用r和s分別表示歸一化了的原始圖像灰度和變換后的圖像灰度。 即：0≤r≤1，0≤s≤1（0代表黑， 1 代表白）。 在[0，1]內s=T（t），T（r）為變換函數，為使其具有實際意義，T（r）應滿足下列條件：

1）在 0≤r≤1 區間，T（r）為單調遞增函數；

2）在 0≤r≤1 區間，有 0≤T（r）≤1。

由概率論知，若圖像灰度級的概率密度函數Pr（r）和變換函數T（r）已知，且T-1（s）是單調遞增函數，則變換后圖像灰度級的概率密度函數Ps（s）如下式所示：

對于連續圖像，當直方圖均衡化（并歸一化）后有Ps（s）=1，即：

式（8）就是所求的變換函數。

對于離散圖像，假定數字圖像中的總像素為N，灰度級總數為L，第k個灰度級的值為rk，圖像中具有灰度級rk的像素數目為nk，則該圖像中灰度級rk的像素出現的概率為：

對其進行均勻化處理的變換函數為：

利用式（10）對圖像做灰度變換，即可得到直方圖均衡化后的圖像。

該方法可以將濾除高頻噪聲，提高有用信號的幅度，增加對比度，同時縮小疊加噪聲信號的動態范圍，抑制振鈴效應有效的結合起來，高文碩等[5]證明了這一點。但不能完全去除振鈴效應，因此文中在濾波前用最優窗法對圖像進行處理。

3.4 最優窗法

在恢復圖像過程中，由于圖像邊緣的像素沒有足夠的相鄰像素可以利用，所以會導致恢復圖像的邊緣變差，并且整幅圖像有明暗相間的條紋，即振鈴效應。為了解決這個問題，早期學者常采用邊界修正法，但效果不夠令人滿意。Aghdasi[6]在1996年提出循環邊界法，其缺點是圖像尺寸變為原來的4倍，運算量增加很多。基于循環邊界法的缺點，Limetal提出了對二維模糊圖像[7]進行恢復的最優窗法。其具體實施過程為：恢復窗將圖像平面分成9個區域，每個區域編號如圖3所示。 標號為 9 的中央區域

區域 1、8、7 的縱坐標取值范圍為[0，PSFV-2]，區域 2、6、9的縱坐標取值范圍為[PSFV-1，VL-PSFV]，區域 3、4、5 的縱坐標取值范圍為[VL-PSFV+1，VL-1]；在水平方向上，區域 l、2、3 的橫坐標取值范圍 [0，PSFV-2]，區域4、8、9的橫坐標取值范圍為[PSFH-1，VL-PSFH]，區域 5、6、7 的橫坐標取值范圍為[VL-PSFV+1，VL-1]。在圖3中，每一個區域都有各自獨立的邊界，即各個子窗區域的尺寸不一定相同。

最優窗計算公式為：

圖3 最優窗法區域分布圖Fig.3 Areal distribution of optimal window method

最優窗對模糊圖像的邊界進行加權處理，以致像素值向外逐步過渡到零，其目的是待處理圖像的邊界結合處不會出現灰度值的跳變，振鈴效應因此得到抑制。

4 實驗結果及分析

文中通過實驗驗證了改進算法的可行性和有效性，以sadhna模糊圖像的復原為例，圖4（a）是原始圖像，對其進行模糊加噪運算，模糊角度為53°，模糊長度為45，高斯噪聲為0.01。圖4（b）是降質后的模糊圖像，采用本文算法估計出的模糊方向為51°，模糊長度為 46，圖4（c）是普通維納濾波復原圖像，圖4（d）是人工調整參數為真實值的復原結果。利用本文的改進算法得到的復原結果如圖4（e）所示。實驗結果如圖4所示。

圖4 運動模糊圖像及復原結果Fig.4 Motion blurred images and results of restoration

由實驗結果可知，方向微分法可以很大程度地提高模糊角度的估計準確性，利用自相關函數負尖峰值可以較準確地鑒別出模糊長度，從而可以提高圖像還原質量。最優窗法對振鈴效應可以有較好的抑制作用，最后得到了復原效果較為理想的圖像。

5 結束語

文中對運動模糊圖像的退化模型、維納濾波復原原理、點擴散函數的求取過程進行了詳細闡述，提出了一種改進的模糊圖像復原算法，并對振鈴效應進行處理，以sadhna圖像的復原為例進行了實驗驗證。結果表明，文中方法可以較準確地估計出運動模糊參數，并且提高了運算速度，振鈴效應得到有效抑制。

[1]Cannon M.Blind deconvolution of spatially invariant image blurs with phase[J].IEEE Trans on Acoustics，Speech and Signal Processing，1976（24）：58-63.

[2]陳前榮，陸啟生，成禮智.基于方向微分的運動模糊方向鑒別[J].中國圖象圖形學報，2005，10（5）：590-595.

CHEN Qian-rong，LU Qi-sheng，CHENG Li-zhi.Identification of motion blur direction from motion blurred image by direction derivation method[J].Journal of Image and Graphics，2005，10（5）：590-595.

[3]賀衛國，黎紹發.勻速直線運動模糊長度的精確估計[J].計算機應用，2005，25（6）：1316-1320.

HE Wei-guo，LI Shao-fa.Estimating the blurring length of uniformlinearmotionblurredimages[J].Computer Applications，2005，25（6）：1316-1320.

[4]吳振宇.模糊圖像復原方法研究[D].長沙：國防科學技術大學，2009.

[5]高文碩.鄭偉偉，楊磊.運動模糊圖像復原技術的改進算法[J].中國傳媒大學學報自然科學版，2010，7（1）：72-76.

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[6]Aghdasi F，Ward R K.Reduction of boundary artifacts in image restoration[J].IEEE Trans.Image.Proc.1996，5（4）：611-618.

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