灰色數列模型在圖像邊緣趨勢預測中的應用

林 濤， 吳 鏑

（1.河北工業大學 計算機科學與軟件學院，天津 300130；2.河北工業大學 控制科學與工程學院，天津 300130）

灰色系統理論是我國學者鄧聚龍教授于19世紀80年代創立并發展的理論。30多年來，灰色系統理論引起了國內外學者的廣泛關注，灰色系統理論已經成功應用到了工業、農業、社會、經濟等領域，解決了生產、生活和科學研究中的大量實際問題。灰色數列預測是灰色系統理論的一項重要內容，其利用動態GM（1，1）模型，對系統的時間序列進行數量大小的預測[1-2]。

文獻[3]將灰色數列預測應用到圖像邊緣檢測過程中，并進行了仿真實驗，得到了預計的實驗效果。筆者是在檢測到圖像邊緣的基礎上，將灰色數列預測應用到預測圖像邊緣點分布過程中。并根據模型精度檢驗結果在理論上分析了預測誤差，得出了模型滿足實驗要求的結論。

1 數列生成

為了避免應力集中，刀具形狀盡量避免有小角度出現，而且圖像視場范圍接近5 mm×5 mm，所以提取出的邊界點擬合的弧線段曲率很小。根據邊緣檢測算法得到的圖像邊緣輪廓由分布在圖像邊緣的點組成的，掃描圖像可以將邊界點提取出來。按照提取出的邊界點數目將邊界點分成幾組，分組進行直線擬合，計算各擬合段直線的斜率，根據分段擬合出的直線斜率變化率判斷刀具刀尖尺寸輪廓線延長方向。并根據計算出的延長線斜率變化，選擇運動控制命令，并添加必要的參數。

點P[0]、P[1]、…P[n]是 n+1個邊緣檢測分布在邊緣上的點，根據點的數量將點分成m段，進行直線擬合。

擬合將得到m段擬合直線的斜率：

刀具圖像、圖像邊緣點以及邊緣點擬合直線如圖1所示。

由于無法得知直線段斜率變化規律，不能用傳統的數列計算求解后面直線段斜率變化情況。為了預測刀具輪廓的變化趨勢，本文根據段直線段的斜率 K（1），K（2），…K（m）的擬合計算值，建立動態GM（1，1）模型，將灰色數列預測方法引入預測斜率 K（m+1），K（m+2），…的過程中。

圖1 刀具邊緣直線段擬合結果Fig.1 Fitting result of tool edge line segment

2 灰色數列預測GM（1，1）模型建立

灰色 GM（1，1）模型建立主要有 3個過程：灰色生成、GM（1，1）模型建模、模型精度檢驗。

2.1 灰色生成

將原始數列中的數據按照某種要求做數據處理稱為生成，本質上是從雜亂無章的數據當中發現某種規律。常用的灰度生成方法有累加生成、累減生成、級比生成、均值生成等。本研究中采用一次累加數列方式進行處理。

取原始斜率數列：

一次累加，記生成數為 K（1）（ j），若 K（0）（ j）與 K（1）（ j）滿足關系

一次累加完成，記為1-AGO（Accumulating Generation Operator）。

2.2 GM（1，1）模型建模

GM（1，1）是對離散直線段斜率數列建立的一階微分方程模型，形式為：

當Δt很小并近似取1個單位時，由導數定義，近似的離散形式

則有式（4）的離散形式：

得

將式（8）展開，得

Φ=[a u]T為待辨識的參量，則式（9）可寫成

最小二乘法求取向量參數，

將參數代入式（9），求得離散解為：

將式（12）進行原始數據還原，得到：

式（13）即為灰度數列預測模型，根據式（13），得到近似的斜率K?（ j），j=1，2…，m 以及預測的斜率j>m。

2.3 預測模型精度檢驗

上式得的到預測邊緣斜率趨勢的模型函數，為了驗證得到的斜率變化模型是否滿足精度要求，對式（13）使用相對誤差檢驗法進行精度校驗。

計算殘差得：

式中，e（ j）=K（0）（ j）-

相對誤差：

平均相對誤差：

首先抓取一幀圖像，如圖1所示，提取邊緣并分段求取斜率。求取的斜率數據如表1所示。由于模型（13）從第二段直線斜率開始預測，則第一段直線斜率預測保持與實際斜率一致。GM（1，1）模型斜率預測結果如表1所示。

表 1 GM（1，1）模型精度檢驗表Tab.1 GM（1，1） model accuracy test

3 數據分析

從模型精度檢驗表的實驗結果中可以看到：應用GM（1，1）模型計算的結果數據平均相對誤差約為0.02，而最大殘差約為-0.03。由于圖像視場范圍約為5 mm×5 mm。假設模型以最大誤差預測邊緣直線段斜率變化，則斜率誤差即為-0.03。

按照模型預測斜率，平臺在X向運行一個視場的范圍時，即 Δx=5 mm，得到

可見，在一個視場范圍內，Y向誤差僅為-0.15 mm，遠遠小于5 mm。而且在跟蹤過程中會采集下一幀圖像重新進行上述分析，不會產生積累誤差，完全能夠滿足平臺跟蹤刀具邊緣輪廓的目的。

4 結 論

將灰色系統理論應用到圖像處理領域已經有很多人研究、討論過，但是將其用于圖像邊緣變化趨勢預測還沒有人涉及，本文進行了一個全新的嘗試，將灰度理論的一個分支——灰度數列預測模型應用于刀具圖像邊緣趨勢預測中，根據實驗結果、誤差分析以及預測誤差導致最大的偏差，得到了該方法完全滿足刀具邊緣預測的要求，增加了灰度系統理論又一個應用方向。隨著設備自動化程度以及智能程度的提高，本文提出的應用方法在工程領域具有很大的潛力。

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