EKF、PF在目標跟蹤中的研究

李國新，何英杰，許海濤

（1.長安大學 信息工程學院，陜西 西安 710064；2.中國石油獨山子石化分公司 新疆 克拉瑪依 833600）

在目標跟蹤中，可靠而精確的目標跟蹤是目標跟蹤系統設計的主要目的。而對目標跟蹤技術的研究，在軍事以及民用領域中都有著十分重要的意義。對于目標跟蹤問題的解決，不同的學者提出過不同的解決方案。常規的卡爾曼濾波算法（KF）對線性高斯型的系統能得到最優估計，對非線性、非高斯系統的問題的解決主要有兩類，一類是函數近似法；另一類是基于采樣方法的近似法。

解決非線性濾波問題的最優方案，需要得到其目標狀態后驗概率密度函數的完整描述[1]。然而在實際問題中這很難。以往對非線性估計問題的處理，主要是通過擴展卡爾曼（EKF）來解決。但是擴展卡爾曼濾波對非線性的狀態方程或觀測方程作線性化處理在穩定性、收斂精度、收斂時間上往往難以滿足要求。由于近似非線性函數的概率密度分布比近似非線性函數更容易，使用采樣方法近似非線性分布來解決非線性問題的途徑在最近得到了人們的廣泛關注。采樣近似法是用帶有權值的樣本集來近似目標的狀態后驗概率密度，典型的算法粒子濾波（PF）算法。PF擺脫了解決非線性濾波問題時隨機量必須滿足高斯分布的制約條件，適用于非高斯非線性條件[2]。

1 非線性濾波方法

1.1 狀態空間描述

為定義非線性濾波問題，首先引入狀態空間模型：

其中，fk為狀態方程，wk-1是過程噪聲。hk為觀測方程，vk是觀測噪聲，k為自然數。

1.2 擴展卡爾曼濾波算法

EKF算法是一種近似方法，它將非線性模型在狀態估計值附近作泰勒級數展開，并在一階截斷，用得到的一階近似項作為原狀態方程和測量方程近似表達形式，從而實現線性化，同時假定線性化后的狀態依然服從高斯分布，然后對線性化后的系統采用標準卡爾曼濾波獲得狀態估計[3]。通過近似線性化，得到對應的擴展卡爾曼濾波法為：

EKF因為簡單易于實現在近三十年得到了廣泛應用，但是它具有如下的局限性：1）在線性化過程中引入了模型誤差，往往使得狀態的估計值產生較大的偏差，不能滿足精度的要求，甚至可能導致濾波發散；2）EKF在濾波前必須計算非線性模型的雅可比矩陣，對于高維的復雜模型，過程繁瑣且容易出錯[4]。

1.3 粒子濾波算法

粒子濾波是一種基于隨機采樣的濾波方法，主要解決非線性非高斯問題。粒子濾波實質是遞推Bayes濾波的一種實現形式，在每一時刻，利用狀態空間中一系列隨機樣本集（粒子）來近似系統狀態的后驗概率密度函數（PDF），從而得到下一時刻的狀態估計。其主要思想是利用這些采樣點和權值來獲得最小方差的狀態估計量，是一種基于仿真的統計濾波方法[5]。

粒子濾波算法的基本步驟如下[6]：

1）初始化：當k=0時，確認目標狀態的先驗概率密度函數p（x0）的表示形式，從中提取個樣本點，并給每個粒子賦初始權重為

2）狀態預測，即重要性采樣、權重計算：當時刻k=1時，從轉移先驗密度函數p中提取N個樣本點，通過公計算權重（公式中的為似然密度函數）；如果Neff=

＜Nth，則對重新采樣，重新構造狀態集合，使其近似于分布并重新設定粒子的權值為1/N；否則，不需要進行重采樣；

隨機樣本粒子在粒子濾波器中沒有明確的格式，也不受模型線性和高斯假設的約束。粒子濾波器采用這些隨機樣本就可以近似得到任意函數的數學期望，從而得到基于物理模型的近似最優數值解[7]。因此，粒子濾波器是一種適用于強非線性、無高斯約束的基于模擬的統計濾波器，具有精度高、收斂速度快等特點。

2 仿真分析

為了比較兩個濾波算法的跟蹤性能，這里引用一個經典的非線性例子進行仿真。模型如下：

實驗參數設定：wk和vk為均值為零的高斯白噪聲，協方差分別為1.0和1.0。

狀態方程和觀測方程都是非線性的形式。假設初始狀態x0=0.1，時間階數為50，粒子數為100，并且初始狀態的協方差為5。

圖1 EKF狀態估計Fig.1 EKF state estimation

圖2 PF狀態估計Fig.2 PF state estimation

通過圖1可以看出，EKF跟蹤真實的情況偏離很遠；圖2反應PF不僅能夠很快逼近真實結果，收斂速度也很快，而且與真實狀態的差距要比EKF算法小得多。

3 結 論

本文通過仿真對兩個濾波算法進行了性能分析，并給出了各算法的復雜度。通過比較，從濾波精度上看，EKF線性化過程中引入了模型誤差，往往使得狀態的估計值產生較大的偏差，不能滿足精度的要求，甚至可能導致濾波發散，同時需要計算非線性函數的雅可比矩陣，過程繁瑣且容易出錯；PF不要求模型是線性的，對任意分布的噪聲都適用，并且算法簡單，易于編程實現，濾波效果好，適用范圍更廣。從計算速度上看，EKF具有明顯的優勢，因此對于工程應用上，在精度要求不太高場合，可以優先考慮采用EKF。從應用環境來看，在非線性非高斯場合選取粒子濾波算法更好一些。

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[2]楊小軍，潘泉，王睿，等.粒子濾波進展與展望[J].控制理論與應用，2006，23（2）：261-266.

YANG Xiao-jun，PAN Quan，WANG Rui，et al.Development and prospect of paiticle filtering[J].Control Theory&Applications， 2006，23（2）：261-266.

[3]Gordon N J，Salmond D J，Smith A F M.A novel approach to nonlinear/non-gaussianbayesianstate estimation[J].IEE Proceedings on Radar and Signal Processing，1993，140（2）：1072113.

[4]胡士強，敬忠良.粒子濾波算法綜述 [J].控制與決策，2005，20 （4）：361-365.

HU Shi-qiang，JING Zhong-liang.Overview of particle filter algorithm[J].Control and Decision，2005，20（4）：361-365.

[5]朱志宇.粒子濾波算法及其應用[M].北京：科學出版社，2010.

[6]王志剛，芮國勝，胡昊.UPF算法及其在目標跟蹤中的應用[J].雷達科學與技術，2005（2）：21-23.

WANG Zhi-gang，RUI Guo-sheng，HU Hao.Unscented particle filter algorithm and its application to target tracking[J].Radar Science and Technology，2005（2）：21-23.

[7]Doucet A，de Freitas J，Gordon N.Sequential Monte Carlo Methods in Practice[M].New York：Springer，2001.