0-1動態數據的雙向差分的模型構建

程毛林

（蘇州科技學院 數理學院，江蘇蘇州215009）

0 引言

事物的發展大體上可分為單調型和起伏型兩大類，單調型是指事物隨時間遞增或遞減，起伏型是指事物隨時間呈波動起伏。這兩種情況的動態數據預測有時采用灰色預測[1～2]，其變化規律可用微分方程來表示，其中含有未知參數，預測由微分方程的解進行。估計未知參數是建立模型預測的關鍵，由于實際觀測數據為離散的，我們將微分用差分來代替，這樣微分方程變為差分方程，然后根據差分方程來估計參數[3～4]。顯然微分用差分來代替會產生誤差，如何減小誤差，是一項重要的課題。本文給出了兩種方法來減小誤差，首先差分分別用向前差分和向前差分來代替微分，讓前差和后差的誤差平方和最小[5～6]；其次對預測的殘差建立起伏型動態序列雙向差分模型[7～8]以作精度修正。在平常預測中，一般對原始序列直接進行預測，但對原始序列的狀態預測的研究和應用很少[9～10]，為此本文給出了0-1動態數據的雙向差分建模方法。當然首先要將觀測序列按某一標準轉為0～1動態數據，然后建模預測。文章最后對我國國內生產總值指數變化狀態作出了很好的預測。

1 0-1動態數據的雙向差分建模方法

1.1 原始數據的0-1化處理

設原始序列為Y(0)={yt1,yt2,···,ytM}，其中xti為第ti年的數值，這里假定Y(0)為非負遞增型時間序列，ti為等間隔。序列均值

這里u為或人為標準。這樣得到0-1序列:

將Z(0)中“1”態出現的時間即“1”所對應的序號重新排列成一個新的時間序列：

1.2 雙向差分建模方法

設時間序列X(0)={xt1,xt2,···,xtN}

對X(0)進行一次、二次乃至n次累計計算，得生成序列：

這是連續型微分方程模型，下面關鍵是估計出b0,b1，為此需要進行離散化。這里設：

X(0)作一次累計（即l=1)，顯然x(1)t1=x0t1。

不失一般性，設時間序列為等間隔，Δt=ti+1-ti=1，由（1）式及差分和微分的關系得：

這里εt為誤差。

由數值計算知，差分有向后差分：Δbx(1)tk=x(1)tk-x(1)tk-1=b0+x(1)tkb1+εbtk向后差分:

這里εbtk為向后差分代替微分引起的誤差，εftk為向前差分代替微分引起的誤差。讓達最小，得關于b0和b1的正規方程組：

這里：

這樣得到雙向差分預測模型為

由估計x(1)tk，再用，還原得到原始序列，當：

k=N+1,N+2,···,N+q時可計算得到q步預測。

1.3 起伏型序列的建模

設Et={et1,et2,···,etN}為起伏型動態序列,無明顯趨勢。一般單調型動態序列的殘差為起伏型動態序列。若動態序列Et遵從微分方程：

則可用它的解對序列進行擬合和預測，上式解為：

式中ωk為可能的周期，如時間為1到T年，可能的周期為

下面估計ak,bk。式（3）中的微分用差分代替，同時考慮等間隔，有：

分別用向后差分和向前差分寫為：

式中：

2 我國國內生產總值指數變化狀態的雙向差分建模

我國1996年到2010年國內生產總值指數（上年=100，不變價）序列為：

Y(0)={110.0,109.3,107.8,107.6,108.4,108.3,109.1,110.0,110.1,111.3,112.7,114.2,109.6,109.1,110.3}

Z(0)={1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1}這樣X(0)={1,8,9,10,11,12,15}

顯然X(1)={ }1,9,18,28,39,51,66 為單調型動態序列，設滿足微分方程：

由本文給出的單調型動態序列的雙向差分模型建立方法，由（2）得:

這樣得到X(1)序列的雙向差分預測模型為:

表1 原始數據與預測結果

X(1)序列擬合值見表1，均方根誤差RMSE=0.2701，即平均相差0.2701天，平均絕對值相對誤差MAPE=[0.58%]，可以看出擬合精度高。為進一步提高精度，可對X(1)序列預測殘差后6項Et建立起伏型動態序列雙向差分模型。

Et=[0.0685,0.1719,0.1928,-0.0006,-0.5560,0.3608]

由于觀測數據是N=6為偶數，為了避免求解矩陣出現0行、0列 ，令：

設原始序列滿足微分方程：

由（5）式計算可得：

進而由（4）式寫得預測模型：

模型預測誤差見表1，可以看出誤差進一步縮小。

這樣得到X(1)序列最后的預測值。用，還原得到原始序列預測值，見表1。可以看出誤差極小，模型擬合效果很好。

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