局部環(huán)上冪等矩陣線性組合廣義逆之間的關(guān)系

吳炎

(瓊州學(xué)院理工學(xué)院,海南 三亞 572022)

局部環(huán)上冪等矩陣線性組合廣義逆之間的關(guān)系

吳炎

(瓊州學(xué)院理工學(xué)院,海南 三亞 572022)

設(shè)R是2為單位的局部環(huán).研究了R上三個(gè)兩兩可換的n階非零冪等矩陣的線性組合廣義逆之間的包含關(guān)系,確定了R上一類特殊矩陣廣義逆的列表算法.利用這種列表算法和相關(guān)的矩陣?yán)碚?得到了這些矩陣線性組合廣義逆之間的包含關(guān)系的充要條件,推廣了矩陣自反廣義逆的逆反律的相關(guān)結(jié)果.

局部環(huán);關(guān)系;矩陣廣義逆;列表算法;矩陣線性組合

1 引言和與預(yù)備知識(shí)

矩陣廣義逆相關(guān)問(wèn)題的研究,在統(tǒng)計(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域中有著較好的應(yīng)用.關(guān)于矩陣廣義逆的逆反律、拓展等相關(guān)問(wèn)題,文獻(xiàn)[1-6]已給出了一些有意義的結(jié)果.文獻(xiàn)[7]在數(shù)域上研究并給出了三個(gè)冪等矩陣線性組合的可逆性條件,而文獻(xiàn)[1-3]研究了域上矩陣積的廣義逆及其自反廣義逆的逆反律,得到了(AB){1}?B{1}A{1},B{1,2}A{1,2}?(AB){1,2}等成立的一些條件.受此啟發(fā),本文從另一角度,通過(guò)確定局部環(huán)R上一類特殊矩陣廣義逆的列表算法,研究R上三個(gè)兩兩可換的n階非零冪等矩陣線性組合廣義逆之間的包含關(guān)系,得到了3個(gè)冪等矩陣線性組合的廣義逆之間包含關(guān)系(aA1+bA2+cA3){1}?(aA1){1}+(bA2){1}+(cA3){1}), (aA1+bA2+cA3){1,3}?(aA1){1,3}+(bA2){1,3}+cA3{1,3}等成立的充要條件,拓展了上述矩陣廣義逆的相關(guān)研究,其中a,b,c∈R.

2 一類特殊矩陣廣義逆的列表算法

表1 一類特殊矩陣廣義逆的列表算法

3 冪等矩陣線性組合的廣義逆之間的關(guān)系

本節(jié)將利用特殊矩陣廣義逆的列表算法,在局部環(huán)上討論幾個(gè)冪等矩陣線性組合廣義逆與這些冪等矩陣的純量乘積矩陣的廣義逆之間的包含關(guān)系.

以下證明,在上述16種可能情形中,當(dāng)a,b,c∈R*且a+b+c=0時(shí)的8種情形中只有一種存在.而當(dāng)a,b,c∈R*且a+b+c/=0時(shí)的另8種中,只有七種情形存在.依次討論如下:

若有a,b,c∈R*且a+b+c=0時(shí),而選取a+b,a+c,b+c中至少有一個(gè)元為零.譬如設(shè)a+b=0,則由a+b+c=0得到c=0與已知條件矛盾;對(duì)于a+b,a+c,b+c中a+c=0和b+c=0,或其中至少有兩個(gè)元素為零的情形,都得到類似的矛盾.故a,b,c∈R*且a+b+c=0時(shí),只有a+b,a+c,b+c∈R*成立,即1)存在.

若a,b,c∈R*且a+b+c/=0時(shí),而選取a+b=a+c=b+c=0,則有a=b=c,且由a+b=0和a=b得到2a=0,而2是R的單位,故有a=0與題設(shè)條件矛盾.因此當(dāng)a,b,c∈R*且a+b+c/=0時(shí),只有上面2)至8)共七種情形存在.故(i)得證.

(ii)在假設(shè)條件下,由(i)及(aA1+bA2+cA3){1}/=?,就有條件1)-8)之一成立.在這些條件中,無(wú)論何種情形都有a,b,c∈R*,故由(20)-(22)式及定理2.1(i)得

其次,在所設(shè)條件下,由于有條件2)-8)之一成立.此時(shí)無(wú)論2)-8)的哪個(gè)條件成立, aA1+bA2+cA3的標(biāo)準(zhǔn)形(23)式中均有a,b,c,a+b+c∈R*,且a+b,a+c,b+c中每一個(gè)元只能取可逆元或零,都適合定理2.1(i)和(ii)條件,故可由定理2.1(ii)中列表算法得到, (aA1+bA2+cA3){1}中任一元素可表為:

對(duì)于2)-8)中任何一種情形,由于(24)式成立,故對(duì)由(31)式所表示的(aA1+bA2+cA3){1}中任一元F,都有F=F1+F2+F3,其中F1,F2,F3分別是形如(26)-(28)的一個(gè)取定的矩陣.因此比較(31)、(26)、(27)、(28)式中右邊矩陣的(1,1)位置元,就有(25)式成立.

證明(i)必要性由定理3.1得到,下面再證明充分性.

以下要證(24)式成立,只證(43)式中任一取定矩陣fiW可表為:fiW=W1+W2+W3即可,其中W1,W2,W3分別是形如(33)、(35)、(37)式的一個(gè)取定矩陣.通過(guò)比較(33)、(35)、(37)和(43)式中的對(duì)應(yīng)位置元素易見,在一形如(43)式的矩陣fiW被取定后,可按(33)、(35)、(37)式中元素的以下取法,來(lái)確定形如(33)、(35)、(37)式的各自一個(gè)取定矩陣W1,W2,W3:

II)(33)、(35)、(37)式中非對(duì)角線上元的選取:

當(dāng)(43)式中元Xij=0(i/=j;i,j=1.2,…,8)時(shí),在(33)、(35)、(37)的矩陣中相應(yīng)位置上,選取Hij=Yij=Zij=0(i/=j;i,j=1.2,…,8)(Hij,Yij,Zij中已為0的,就保持不變).

當(dāng)(43)式中元Xij/=0(i/=j;i,j=1.2,…,8)時(shí),由于(33)、(35)、(37)中矩陣的相同位置元Hij,Yij,Zij(i,j=1,2,…,8)中至少有一個(gè)為任意選取的矩陣,若有Hij,Yij,Zij(i/= j;i,j=1.2,…,8)中Yij(或Hij或Zij)為任選矩陣,則選取Yij(或Hij或Zij)等于Xij,而其余兩個(gè)均取0(若已經(jīng)是0,就保持不變).

依上法選取W1=(Hij),W2=(Yij),W3=(Zij)中元素后,就使得由(43)式所表示的(aA1+bA2+cA3){1}中任一取定元fiW能表成fiW=W1+W2+W3,也即保證(24)式成立.

(ii)用定理2.1(iii)及引理3.1,用類似定理3.1及(i)的方法可證明之.用推論3.1及類似以上方法還可以得到如下較為整齊的結(jié)果:

[1] Shinozaki N, Sibuya M. Further results on the reverse order law [J]. Linear Algebra Appl., 1979,27:9-16.

[2] Pierro De A R, Wei Musheng. Reverse order law for re°exive generalized inverse of products of matrices[J].Linear Algebra Appl., 1998,277:299-311.

[3]劉淑丹,游宏.域上矩陣積的廣義逆及自反廣義逆的逆反律[J].數(shù)學(xué)年刊:A輯,2004,25(4):523-530.

[4]吳炎.Galois環(huán)上特殊矩陣的分類及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

[5]吳炎,張宗杰,符曉芳.局部環(huán)上矩陣廣義逆半群的子集及其性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐和認(rèn)識(shí),2011,41(6):168-174.

[6]吳炎,邱發(fā)儒,易文靜.相似變換下方陣的拓展I-逆及其應(yīng)用[J].河南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,40(6):565-570.

[7]張俊敏,成立花,李祚.冪等矩陣線性組合的可逆性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,23(2):231-235.

The relationship between generalized inverse of linear combinations of idempotent matrices over a local ring

Wu Yan

(School of Physics and Engineering, Qiongzhou University, Sanya 572022, China)

Let R be a local ring with 2 is an unit. In this paper, the inclusion relation of the generalized inverse of linear combinations of three nonzero n times n idempotent matrices which are mutually commutative are studied over a local ring R, and the tabulation algorithm for the generalized inverse of a class special matrix are given. Moreover,by using the tabulation algorithm and the relative matrix theory , the necessary and su±cient conditions of inclusion relationships about the generalized inverse of linear combinations of these matrices are obtained, and the relative theory of reverse order law for re°exive generalized inverse of matrix are also generalized.

local ring, relationship, generalized inverse of matrices, the tabulation algorithm, linear combinations of matrices

O151.21

A

1008-5513(2012)02-0155-12

2011-11-14.

海南省自然科學(xué)基金(109005);三亞市基金(SY 11036).

吳炎(1964-),教授,研究方向：矩陣與矩陣群及其應(yīng)用.

2010 MSC:15A 09