二進小波的構造方法研究

吐爾洪江·阿布都克力木,阿布都許庫熱·阿布都克力木,張海英

(1.新疆師范大學數學科學學院,新疆 烏魯木齊 830054;2.新疆博樂市第七中學,新疆 博樂 833400; 3.新疆工業高等專科學校電氣與信息工程系,新疆 烏魯木齊 830091)

二進小波的構造方法研究

吐爾洪江·阿布都克力木1,阿布都許庫熱·阿布都克力木2,張海英3

(1.新疆師范大學數學科學學院,新疆 烏魯木齊 830054;2.新疆博樂市第七中學,新疆 博樂 833400; 3.新疆工業高等?？茖W校電氣與信息工程系,新疆 烏魯木齊 830091)

提出兩種二進小波的構造方法.首先,將Mallat構造的B-樣條二進小波推廣得到一種構造B-樣條二進小波的新方法;其次，基于二進提升方案提出構造二進小波的另一種新方法—–構造定理，并通過調整定理中提升參數的形式、以新的B-樣條二進小波作為初始二進小波,具體構造了具有有限長單位脈沖響應、高階消失矩、線性相位的提升二進小波,這些提升二進小波不能由Sweldens提升方案得到.

二進提升方案;消失矩;二進小波濾波器

1 引言

小波分析作為一種新的有效地圖像處理工具已備受關注,與此同時,許多小波的構造方法也被提出.本文提出兩種二進小波的構造方法：第一種,通過引入參數,將M allat構造的B-樣條二進小波[1]推廣得到一種構造B-樣條二進小波的新方法;第二種,Sweldens提升方案僅局限于雙正交小波的構造[23],對于構造二進小波,這種提升方案無能為力.二進提升方案克服了Sweldens提升方案的局限性,此方案從二進小波出發構造新的二進小波[45]或雙正交小波[6],本文基于二進提升方案提出了構造二進小波的一種新方法—–構造定理,用于構造具有高階消失矩的提升二進小波,并且具體構造了有限長單位脈沖響應、高階消失矩、線性相位的提升二進小波,而這些提升二進小波卻不能由Sweldens提升方案得到.

2 二進小波的構造

定義2.1若

成立,則稱ψ(t)為p階消失矩小波.

圖1 尺度函數φ(t)與小波ψr(t)的圖像(r=1,r=2)

2.2 提升二進小波的構造

2.2.1 構造定理

下面提出二進提升方案,此方案以二進小波濾波器作為初始濾波器,用于構造二進小波濾波器或雙正交小波濾波器.

下面的推論說明Sweldens提升方案是二進提升方案的特例,雙正交小波空間是二進小波空間的子空間.

推論2.1若濾波器是雙正交小波濾波器,在(2.3)式中取s2m+1=0,則(2.3)式為Sweldens提升方案.

基于二進提升方案,提出如下兩個構造定理,運用這兩個定理,通過調整提升參數的形式,能夠構造具有高階消失矩的提升二進小波濾波器.

2.2.2 高階消失矩的提升二進小波的構造

選取某二進小波濾波器作為初始二進小波濾波器,利用定理2.1、定理2.2,構造具有更高階消失矩的提升二進小波濾波器.本節以2.2.1構造的新的B-樣條二進小波濾波器(以r=1,m=2的濾波器為例)作為初始二進小波濾波器.

r=1,m=2的濾波器中g具有1階消失矩.應用定理2.1,考慮到緊支撐和線性相位的要求,選取適當的提升參數,構造有2階或更高階消失矩的濾波器gl.此時,b s(ω)滿足條件:

圖2 兩個尺度函數和小波()的圖像

圖3 兩個尺度函數和小波(φ,ψllss,~φllss,~ψllss)的圖像

圖4 兩個尺度函數和小波(φlr,ψllsr,~φllsr,~ψllsr)的圖像

此提升過程也適用于r=1,m=1,3,…與r=2,m=1,2,…的B-樣條二進小波濾波器.所以從二進小波濾波器出發應用定理2.1、定理2.2,選取適當的提升參數可以構造滿足實際需要的各種特性的二進小波濾波器.

3 結論

本文先后提出兩種構造二進小波的方法:第一種,通過引入參數,將Mallat構造的B-樣條二進小波推廣得到新的B-樣條二進小波;第二種,在二進提升方案的基礎上,基于消失矩條件提出了兩個構造定理,用于構造具有高階消失矩的二進小波濾波器,并且從r=1,m=2的二進小波濾波器出發具體構造了具有有限長單位脈沖響應、高階消失矩、線性相位的二進小波濾波器.鑒于二進小波變換的平移不變性的特點和本文構造的二進小波濾波器所具有的優點,將其應用于圖像增強、邊緣檢測和特征提取等方面或許會取得更好的圖像處理效果.

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Study on new construction methods of dyadic wavelet filters

Turghunjan Abdukirim1,Abduxukur Abdukirim2,Zhang Haiying3

(1. School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi 830054, China;2. Xinjiang Bortala No.7 High School, Bortala 833400, China;3. Electrical and Information Engineering Department, Xinjiang Ploytechnical College, Urumqi 830091, China)

In this paper, we study on two new construction methods of dyadic wavelet filters. One method isthat new B-spline dyadic wavelet filters are obtained by generated B-spline dyadic wavelet filters proposed by Mallat. Other is that two theorems for constructing lifting dyadic wavelet filters with higher number of vanishing moments are proposed based on the dyadic lifting schemes. Meantime we design lifting dyadic wavelet filters with finite impulse response, higher number of vanishing moments and linear phase according to new B-spline dyadic wavelet filters .These lifting filters can not be obtained by Sweldens lifting scheme.

dyadic wavelets, dyadic lifting scheme, vanishing moments

O235

A

1008-5513(2012)02-0149-06

2011-08-01.

國家自然科學基金(10661010);新疆維吾爾自治區自然科學基金(200721104).

吐爾洪江·阿布都克力木(1962-),博士,教授,研究方向:小波分析、數字圖像與模式識別.

2010 MSC:94A 15