模糊值函數的凸性與次可微性

關世霞,包玉娥,趙慧冬

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古 通遼 028043)

模糊值函數的凸性與次可微性

關世霞,包玉娥,趙慧冬

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古 通遼 028043)

在Goetschel-Voxman所定義的序關系下,首先討論了模糊值函數的凸性,得到了凸模糊值函數的若干充分條件,并證明了凸模糊值函數的Jensen不等式;其次,討論了凸模糊值函數的次可微性,給出了次微分的若干重要性質,并得到了次可微條件下取得最優解的充分必要條件以及若干個次可微的充分條件.

模糊值函數;梯度;次微分;最優解

1 引言

自從模糊數學理論建立以來,由于它在處理廣泛存在的模糊性方面的成功,在某種程度上彌補了經典數學和統計數學的不足.對于數學規劃方面的許多實際問題人們也越來越多地使用了模糊數學的知識,并在眾多學者的共同努力下,模糊規劃得到了迅速的發展.在經典數學中凸性理論在數學規劃中有著非常重要的作用.隨著模糊規劃研究的深入與發展,自然想把經典數學規劃中的某些方法推廣應用到模糊規劃中,從而也開始探討了凸模糊集合和凸模糊值函數在模糊規劃中的應用,豐富了數學規劃的研究內容.

2003年文獻[1]提出了模糊值函數的方向導數和次微分,梯度與次梯度等概念并應用于模糊規劃中.同樣為了探討模糊規劃的對偶理論,2005年文獻 [2]也提出了凸模糊值函數的次梯度,次微分等概念,討論了凸模糊值函數的極值問題.上述工作中由于模糊數的序結構條件比較強,導致經典凸分析中的很多結果在模糊數空間中無法推廣和表示.2001年文獻[3]利用Goetschel-Voxman在文獻[4]中所給出的序關系,討論了模糊值函數的凸性問題,得到了很好的結果.2010年文獻[5]中,同樣利用此序關系討論了模糊值函數的可微性,并利用梯度討論了模糊規劃及凸模糊規劃等問題,給出了取得最優解的一些條件.在文獻[6]中討論了一類廣義凸模糊值函數的若干性質.在此基礎上,利用Goetschel-Voxman在文獻[4]中所給出的序關系,進一步討論了模糊值函數的凸性以及凸模糊值函數的次可微性等問題.

2 預備知識

設u是實數集R上的一個模糊集,如果u滿足下列條件:

(1)u是上半連續的;

3 模糊數值函數的凸性

4 模糊數值函數的次可微性

5 結論

凸模糊值函數是模糊規劃中的重要內容,從而對模糊值函數的凸性和次可微性問題的研究不但有深刻的理論意義,而且還有著潛在的應用價值.本文利用Goetschel-Voxman給出的序關系,首先討論了模糊值函數的凸性,得到了凸模糊值函數的一些新性質,并證明了凸模糊值函數的Jensen不等式;其次,討論了凸模糊值函數的次可微性,證明了次微分的若干重要性質,并將其應用于模糊規劃中,得到了凸模糊值函數取得最優解的充要條件.這些結論對凸模糊值函數的微分理論及其應用研究提供了一個新的思路.

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Convexity and sub-di ff erentiability of fuzzy-valued function

Guan Shixia,Bao Yu′e,Zhao Huidong
(College of Mathematics,Inner Mogolia National University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

Under the order relations de fi ned by Goetschel-Voxman.Firstly,we discussed the convexity of fuzzy-valued function,got a number of sufficient conditions about convex fuzzy-valued function,and proved its Jensen inequality.Then,we discussed the sub-di ff erentiability of fuzzy-valued function,and presented many important properties of sub-di ff erential.At the same time,we gained the necessary and sufficient conditions which we obtained the optimum solution under the sub-di ff erential condition and many sufficient conditions of sub-di ff erential.

fuzzy-valued functions,gradient,sub-di ff erential,optimum solution

O159.2

A

1008-5513(2012)05-0676-11

2011-11-16.

內蒙古教自然科學基金(2010MS0119).

關世霞(1985-),碩士生,研究方向:模糊分析,凸性理論及其應用.

2010 MSC:03E72