素理想P在F()中分解

高恩偉,張金霞

(遼寧大學數學院,遼寧 沈陽 110036)

高恩偉,張金霞

(遼寧大學數學院,遼寧 沈陽 110036)

用擴張平移方法將基域中不含有ι次本原單位根的素理想分解問題轉化為基域中含有ι次本原單位根的素理想分解問題,完全解決了素理想P在代數數域F的ι次根擴張F()中的分解問題.

素理想分解;全分歧的;素的;完全分裂

1 引言及預備知識

眾所周知,素理想分解問題是代數數論的重要課題之一,利用基域中素理想的分解狀況,不僅可以刻畫基域的有限擴張問題[1],而且由類域論知道,它還可以決定素理想本身的性質,這說明,如何判斷基域中的素理想在其有限擴張中的分解狀況是一個十分有意義的問題.由于在F為代數數域,且含有ι次本原單位根(ι為素數)時.文獻[2]完全解決了F中素理想在F()中的分解問題.因此,只就F中不含有ι次本原單位根時的情況來討論.相關文獻參見文獻[3-5].

以下設F為代數數域,?為其秩為1的非平凡,非阿基米德賦值,R為其賦值環,P為的極大理想(素理想),xι?μ在F上不可約(μ∈R),ι為素數,?ι為ι次本原單位根,若K/F為ι次Galois擴張,則有下述的

證明由定理的證明過程中即可得出.

注由于文獻[2]完全解決了基域中含有ι次本原單位根時的ι次根擴張中的素理想分解問題,因而上述定理完全解決了代數數域的素數次根擴張中的素理想分解問題,這一結果包含了文獻[3]中相應的結果,改進了文獻[4]的結果.

[1]丁石孫.Galois擴張的一個算術刻劃[J].數學進展,1983,12(4):291-293.

[2]Erich Hecke.Lectures on the Theory of Algebraic Numbers[M].New York:Springer-Verlag,1981.

[3]Velez W Y.Prime ideal decomposition in F()[J].Paci fi c Journ.,1978,75:589-600.

[4]郝一凡,高恩偉,張金霞.素理想(P)在Q()中的分解[J].數學雜志,2002,22(1):94-96.

[5]張金霞,高恩偉.素理想(P)在F()中的分解[J].純粹數學與應用數學,2009,25(4):140-144.

[7]戴執中.賦值論概要[M].北京:高等教育出版社,1981.

[8]馮克勤.代數數論[M].北京:科學出版社,2001.

Decomposition of prime ideal P in F()

Gao Enwei,Zhang Jinxia
(College of Mathematics,Liaoning University,Shenyang 110036,China)

The problem of laws of decomposition of prime ideal in the base fi eld F which there is not ι-degree primitive root of unity has been changed to the problem of laws of decomposition of prime ideal in the base fi eld which involved ι-degree primitive root of unity by the method of translation of extension.When is the fi eld of algebraic numbers,The problem of laws of decomposition of prime ideal in the base fi eld F(μ1ι)has been solved completely.

prime ideal decompusition,fully rami fi ed,prime,complete split

O156.2

A

1008-5513(2012)05-0569-04

2011-09-06.

國家自然科學基金(10671134).

高恩偉(1962-),教授,研究方向：代數數論.

2010 MSC:11N05