F-S-可補的子群對有限群結構的影響

趙勇

(廣安職業技術學院教育系,四川 廣安 638000)

F-S-可補的子群對有限群結構的影響

趙勇

(廣安職業技術學院教育系,四川 廣安 638000)

設F是一個群系.群G的一個子群H在G中F-S-可補,如果存在G的子群K,使得G=HK且K/K∩HG∈F,其中HG表示G包含在H中的最大的正規子群.本文利用群系理論研究子群的F-S-可補性對有限群結構的影響,得到如下結論:設F是子群閉的局部群系,G是有限群且GF是可解的.則G∈F的充要條件是下列條件之一:(1)G存在正規子群N使得G/N∈F且N的極小子群及4階循環子群(p=2)均在G中F-S-可補.(2)G存在正規子群N使得G/N∈F,N的4階循環子群在G中有F-S-補且N的極小子群皆包含在ZF∞(G)中.應用這些結論,可以得到一些推論,其中包括已知的相關結果.

群系;F-S-可補;極小子群

1 引言

1996年,文獻[1]引進了C-正規子群的概念,并證明:如果有限群G的極小子群及4階循環群在G中C-正規,則G是超可解群.1999年,文獻[2]證明了G的所有素數階子群在G中都有補的有限群恰好是Sylow子群是初等交換群的超可解群.還有許多學者利用極小子群的特殊性質研究有限群的結構,文獻[3]證明了:若G的每個素數冪階循環子群是G的弱s-補子群,則G為超可解群.近來,文獻[4]引入了F-S-補的概念,并利用了某些子群的F-S-可補性給出了群結構的新刻畫.本文將在以上的結論的基礎上運用群系理論來討論極小子群在F-S-補的條件下對有限群結構的影響.

一個群類F稱為群系,如果它關于同態像和次直積都是封閉的.一個函數f稱為一個群系函數,如果對于任意素數p,f(p)為一個群系.一個群系F稱為局部的,如果存在一個群系函數f滿足F={G|G/CG(H/K)∈f(p),對于G的所有主因子H/K且p||H/K|},此時稱f局部定義了群系F,并記作F=LF(f).如果一個群系滿足條件:由G/Φ(G)∈F總有G∈F,則稱F為飽和群系.熟知,一個群系是局部的當且僅當它是飽和的.在本文中U表示所有超可解群構成的群類,Np表示所有p-冪零群構成的群類,N 表示所有冪零群構成的群類.明顯地,U,Np,N都是子群閉的局部群系.文中所有群為有限群.未交待的定義和符號是標準的.

2 預備知識及引理

3 主要定理

[1]Wang Yanming.C-normality of groups and its properties[J].Joural of Algebra,1996,180:954-965.

[2]Ballester-Bolinches,Guo X Y.On complemented subgroup of fi nite groups[J].Arch.Math.,1999,72(3):161-166.

[3]郭鵬飛,郭秀云.弱s-置換性傳遞的有限群[J].純粹數學與應用數學,2009,25(4):649-653.

[4]Miao L,Guo W.Finite groups with some primary subgroupsF-S-supplemented[J].Comm.Algebra, 2005,33(8):2789-2800.

[5]Guo W.The Theorey of Classes of Groups[M].New York:Science Press,2000.

[6]Li Shirong.On minimal subgroups of fi nite groups III[J].Communications in Algebra,1998,26(8):2453-2461.

[7]徐明曜.有限群導引:上[M].北京:科學出版社,1993.

[8]李長穩,郭文彬.關于F-S-可補子群[J].數學研究與評論,2007,27(1):207-211.

The in fl uence of F-S-supplemented subgroups on the structure of fi nite groups

Zhao yong
(Department of Education,Guang′an Vacational and Technical College,Guang′an 638000,China)

LetFbe a class of groups.A subgroupHis calledF-S-supplemented inGif there exists a subgroupKofGsuch thatG=HKandK/K∩HG∈F,whereHGis the maximal normal subgroup ofGcontained inH.In this paper,theF-S-supplemented subgroups ofGis used to study the structure ofGby the theory of formations.The following results are obtained:LetGbe a fi nite group,Fbe a formation andGFbe soluble. ThenG∈Fif and only if one of the following two conditions:(1)Ghas a normal subgroupNsuch thatG/N∈Fand the subgroups of orderpor 4 ofNareF-S-supplemented inG.(2)Ghas a normal subgroupNsuch thatG/N∈F,the subgroups of prime order ofNare contained in(G)and the subgroups of order 4 areF-S-supplemented inG.By these results,we may get a series of corollaries,which contain known results.

formations,F-S-supplemented,the minimal subgroups

O152.1

A

1008-5513(2012)05-0614-06

2012-01-16.

四川省學術委員會基金(SZD0406).

趙勇(1982-),碩士,講師,研究方向:有限群論.

2010 MSC:20D10,20D15,20D20