帶有短缺量拖后率的時(shí)滯變質(zhì)品庫(kù)存模型研究

曹慶奎， 車(chē)美林，吳向儒 （河北工程大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河北 邯鄲 056038）

變質(zhì)品庫(kù)存研究是庫(kù)存理論研究中的一個(gè)分支。Wee和Yu[1]在1997年給出了變質(zhì)的定義：變質(zhì)是指腐爛、受損壞、利用價(jià)值降低以及邊際價(jià)值損失等使物品的固有價(jià)值降低的現(xiàn)象。目前對(duì)變質(zhì)產(chǎn)品的研究主要有兩類(lèi)：一類(lèi)認(rèn)為變質(zhì)品有一段效用周期，在此期間產(chǎn)品不會(huì)發(fā)生任何質(zhì)變，過(guò)了效用周期產(chǎn)品完全失效。另一類(lèi)認(rèn)為產(chǎn)品的變質(zhì)是連續(xù)的，用變質(zhì)率來(lái)描述物品變質(zhì)特性的參數(shù)。在目前相關(guān)的文獻(xiàn)中，變質(zhì)率包括以下幾種：Padmanabhana[2]研究了常變質(zhì)率，Goswani[3]研究了與時(shí)間線性相關(guān)的變質(zhì)率，Mahapatra[4]使用了兩參數(shù)Weibull分布函數(shù)，Charkrabarty[5]使用了更為普遍的三參數(shù)Weibull分布函數(shù)。日常生活中，水果蔬菜的腐爛、食品的變質(zhì)等，在進(jìn)入庫(kù)存后要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后才開(kāi)始發(fā)生變質(zhì)，它們的變質(zhì)特性具有遲滯性，即變質(zhì)在遲滯期后發(fā)生，遲滯期內(nèi)不發(fā)生變質(zhì)現(xiàn)象，其中時(shí)間分界值由實(shí)驗(yàn)測(cè)定或由經(jīng)驗(yàn)得出[6]。

在已有的庫(kù)存控制模型中，有的假定不允許缺貨，如羅毅平，劉潔[7]和純?cè)瑹槪瑔惕F[8]研究了時(shí)滯變質(zhì)物品在不允許缺貨情況下的庫(kù)存問(wèn)題。有的假定允許缺貨，如羅毅平，李承高[6]研究了變質(zhì)物品在允許缺貨情況下的庫(kù)存問(wèn)題，且假定需求穩(wěn)定。實(shí)際上缺貨時(shí)間越長(zhǎng)，愿意等待供貨的顧客就會(huì)越少，即短缺量拖后率隨缺貨時(shí)間發(fā)生變化。閔杰，周永務(wù)[9]考慮了短缺量拖后率，但沒(méi)考慮變質(zhì)品的時(shí)滯變質(zhì)特性；戴高升，黎放[10]考慮了允許缺貨條件下時(shí)滯變質(zhì)品的庫(kù)存模型，但沒(méi)考慮缺貨量拖后率。本文在文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]研究的基礎(chǔ)上，考慮允許缺貨且短缺量部分拖后，物品具有時(shí)滯變質(zhì)性。使其更符合現(xiàn)實(shí)情況，為零售商的最優(yōu)訂貨策略提供理論依據(jù)。

1 假設(shè)條件和符號(hào)含義

本文在建立變質(zhì)品庫(kù)存模型的過(guò)程中，引入了以下假設(shè)和符號(hào)：

（1）本文建立的是某個(gè)零售商在一個(gè)周期內(nèi)的單一變質(zhì)商品的庫(kù)存模型。

（2）t時(shí)刻的需求率f（）t為：

（3）貨物允許缺貨，且短缺量拖后率與顧客等待時(shí)間有關(guān)。假設(shè)b（）t表示缺貨期間顧客愿意等待供貨的比例函數(shù)；T表示一個(gè)訂貨周期的長(zhǎng)度；t0表示一個(gè)周期內(nèi)不允許缺貨的時(shí)間長(zhǎng)度，且，

（4） S（）t表示t時(shí)刻等待供貨的需求量。

（5）不發(fā)生變質(zhì)的遲滯區(qū)為th，其后為變質(zhì)區(qū)，且變質(zhì)區(qū)的變質(zhì)率為常數(shù)。C表示庫(kù)存總成本；Ce表示總變質(zhì)成本；Cf表示總?cè)必洃土P成本；Cg表示總庫(kù)存持有成本；Co表示每次訂貨的訂購(gòu)成本；Ca表示單位易變質(zhì)品單位時(shí)間的變質(zhì)成本；Cd表示單位易變質(zhì)品單位時(shí)間的缺貨懲罰成本；Cb表示單位易變質(zhì)品單位時(shí)間的庫(kù)存持有成本。

2 建立模型

t，因此在缺貨期間t時(shí)刻顧客等待的需求量S（）t應(yīng)滿足如下微分方程：

零售商的缺貨點(diǎn)t0主要有以下兩種情形：

2.1 t0發(fā)生在非變質(zhì)期內(nèi) （t0≤th）

庫(kù)存水平在周期T內(nèi)應(yīng)受到如下微分方程的約束：

則一個(gè)周期內(nèi)的庫(kù)存總成本包括以下四部分：

（1）每周期的訂貨成本C0

（2）每周期的總變質(zhì)成本

（3）每周期的庫(kù)存總持有成本

（4）每周期的缺貨懲罰成本

2.2 t0發(fā)生在變質(zhì)期內(nèi) （t0≥th）

庫(kù)存水平在周期T內(nèi)應(yīng)受到如下微分方程的約束：

邊界條件為：I t0（）=0I（）T=0

方程的解為：

則一個(gè)周期內(nèi)的庫(kù)存總成本包括以下四部分：

（1）每周期的訂貨成本C0

（2）每周期的總變質(zhì)成本

（3）每周期的庫(kù)存總持有成本

（4）每周期的缺貨懲罰成本

庫(kù)存總成本C=C0+Cg+Ce+Cg+Cf

3 算例分析

超市經(jīng)銷(xiāo)某一變質(zhì)性商品，已知Co=800元；Ca=4元；Cd=2元；Cb=0.4元；D=10；δ=0.3；β=0.2；θ=0.1；th=3天；T=7天。經(jīng)過(guò)計(jì)算，得出當(dāng)t0=2＜3時(shí)，庫(kù)存總成本C=4 439.74元；t0=4＞3時(shí)，庫(kù)存總成本C=4 485.79元。由此可知，缺貨時(shí)點(diǎn)發(fā)生在變質(zhì)期前的庫(kù)存成本比發(fā)生在變質(zhì)期后小。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)果蔬食品等具有遲滯變質(zhì)現(xiàn)象的易變質(zhì)品庫(kù)存模型進(jìn)行了研究，建立了庫(kù)存模型，使得總成本最低，最后給出了算例，得出缺貨時(shí)點(diǎn)發(fā)生在變質(zhì)期前的庫(kù)存成本比發(fā)生在變質(zhì)期后小的結(jié)論。本文所建的模型還可以做更深層次的研究，如考慮資金的時(shí)間價(jià)值、采購(gòu)周期不相等等情況，雖然這些假設(shè)條件會(huì)增加數(shù)學(xué)分析的難度，但會(huì)更符合實(shí)際情況。

[1] WeeH.M.,Yu J.A.Deteriorating inventory model with a temporary pirce discount[J].International Jounral of Production Economics,1997,53(3):81-90.

[2] Padmanabhana M,Vrath P.EOQ models for perishable items under stock dependent selling rate[J].European Journal of Operational Research,1995,86(2):281-292.

[3] Goswani A,Chaudhuri K.S.Variations of order-level inventory models for deteriorating items[J].Journal of Production Economics,1991,27:111-117.

[4] Mahapatra N K,Maiti M.Decision process for multi-objective,multi-item production-inventory system via interactive fuzzy satisifcing technique[J].Computesr＆Mathematics with Applications,2005,49(5):805-821.

[5] Chakrabarty T,Girl B C,Chaudhuri K S.An EOQ model for items with Weibull distribution deteiroration,shortages and trended demand:an extension of Philip's model[J].Computers＆Operations Research,1998,25(7):649-657.

[6] 羅毅平，李承高，夏文華.允許缺貨的時(shí)滯變質(zhì)物品的庫(kù)存模型[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2000,17(4):6l-66.

[7] 羅毅平，劉潔純，陳大學(xué),等.庫(kù)存系統(tǒng)中的時(shí)滯變質(zhì)物品的EOQ模型[J].工科教學(xué)，2001,17(3):38-41.

[8] 袁煒，喬鐵.變質(zhì)率影響下的易變質(zhì)品庫(kù)存模型研究[J].濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,22(5):141-143.

[9] 閔杰，周永務(wù).帶有時(shí)變短缺量拖后率且需求依賴庫(kù)存水平的EOQ模型[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2010,19(2):222-227.

[10] 戴高升，黎放.允許缺貨條件下時(shí)滯變質(zhì)物品庫(kù)存控制策略[J].物流科技，2010(8):19-21.