大容量動(dòng)力鉛酸蓄電池建模方法

楊占錄 張國(guó)慶 王宗亮

（海軍潛艇學(xué)院，山東青島 266042）

0 引言

隨著傳統(tǒng)能源供應(yīng)的日益緊張以及人們環(huán)保意識(shí)的提高，各大汽車制造商競(jìng)相推出或準(zhǔn)備推出電動(dòng)汽車。大部分電動(dòng)汽車使用大容量動(dòng)力電池，其中就有鉛酸蓄電池。所有電動(dòng)汽車都有電池管理系統(tǒng)（BMS），BMS對(duì)電池的當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行檢測(cè)，并根據(jù)使用情況對(duì)未來(lái)的狀態(tài)做出預(yù)測(cè)，這就需要建立蓄電池的數(shù)學(xué)模型。本文介紹幾種常見(jiàn)的蓄電池模型建立方法。

1 基于電化學(xué)機(jī)理的建模方法

蓄電池內(nèi)部電解液所含有的活性物質(zhì)，其濃度損失百分比可表示為：

式中：C*為初始濃度；C(t)為電解液中t時(shí)刻活性物質(zhì)的濃度；時(shí)間t的取值范圍[0，L]，L為放電總時(shí)間，s(t)為t時(shí)刻的荷電狀態(tài)SOC。

當(dāng)使用蓄電池一維的電化學(xué)模型，根據(jù)電化動(dòng)力學(xué)理論，最終可得到電解液活性物質(zhì)濃度損失百分比函數(shù)：

式中：v為反應(yīng)中電子的數(shù)目；F為法拉利常數(shù)；A為電極的面積；D為擴(kuò)散系數(shù)。

若考慮電流值為I的恒流放電過(guò)程，放電截止時(shí)ρ(L)=1，則可以得到以下等式：

對(duì)于給定的恒流放電集合{I*，*=1，2，…，n}，可以使用最小二乘法得到最優(yōu)的α、β參數(shù)，進(jìn)而計(jì)算ρ(t)、s(t)，其中：

蓄電池機(jī)理建模側(cè)重于蓄電池的理論研究和設(shè)計(jì)，需要較強(qiáng)的電化學(xué)理論知識(shí)和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，蓄電池電化學(xué)機(jī)理模型和實(shí)際情況有較大差距，側(cè)重于理論驗(yàn)證，一般用于蓄電池的輔助設(shè)計(jì)。

2 基于電化學(xué)經(jīng)驗(yàn)公式的建模方法

電化學(xué)專家根據(jù)電化學(xué)理論分析和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，得出一些經(jīng)驗(yàn)公式，根據(jù)這些經(jīng)驗(yàn)公式的推導(dǎo)和分析，預(yù)測(cè)蓄電池電氣外特性和剩余容量，從而形成了電化學(xué)經(jīng)驗(yàn)公式模型。

2.1 Peukert經(jīng)驗(yàn)公式、Shepherd方程

Peukert經(jīng)驗(yàn)公式為：

Shepherd方程為：

式中：I1、I2為放電電流，t1、t2、C1、C2為以相應(yīng)電流恒流放電的放電截止時(shí)間和放出的電量，U為蓄電池端電壓，ES、Ri、Ki、A、B、C均為恒定系數(shù)，可根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得。

在恒流放電條件下，Peukert經(jīng)驗(yàn)公式可以對(duì)容量進(jìn)行估算，Shepherd方程可以對(duì)蓄電池端電壓進(jìn)行估算，這兩個(gè)方程聯(lián)立求解，即可得出不同荷電狀態(tài)下蓄電池的電氣外特性。

2.2 Nernst方程和Tafel方程電池模型

將Nernst方程表現(xiàn)為半經(jīng)驗(yàn)公式形式：

式中：a、b—經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；E—蓄電池電動(dòng)勢(shì)；Q—蓄電池電量；i? t—蓄電池放電量；t—放電時(shí)間。

Tafel方程表現(xiàn)為經(jīng)驗(yàn)公式形式：

式中：c、d—經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；i—蓄電池放電電流。蓄電池電流則由下式表現(xiàn)：

式中：I—蓄電池總電流。

由以上三式可推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)的計(jì)算式：

以上四個(gè)參數(shù)可由蓄電池的放電性能曲線初步判定，可利用所推導(dǎo)的計(jì)算式反復(fù)校對(duì)經(jīng)驗(yàn)值的準(zhǔn)確性，以提高模型的計(jì)算精度[6]。

3 基于等效電路的建模方法

3.1 Thevenin等效電路

Thevenin等效電路采用直流電壓源E與內(nèi)阻r串聯(lián)，并與阻容并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)，阻容網(wǎng)絡(luò)表示蓄電池的過(guò)電壓現(xiàn)象，在蓄電池兩端并聯(lián)電阻Rg表示自放電現(xiàn)象，其電路原理圖如圖1所示。各元件的參數(shù)隨蓄電池的狀態(tài)（如荷電狀態(tài)、溫度）的變化而動(dòng)態(tài)變化，變化規(guī)律的辨識(shí)與電化學(xué)經(jīng)驗(yàn)公式模型的處理方法相同。由于等效電路模型考慮的動(dòng)態(tài)過(guò)程更加具體，所以其參數(shù)辨識(shí)也更加困難，如表示過(guò)壓現(xiàn)象的阻容網(wǎng)絡(luò)，其電容、電阻值的辨識(shí)準(zhǔn)確度很難提高。

圖1 Thevenin等效電路

根據(jù)電路定律可得到：

式中：E0—理想電壓源；r—內(nèi)阻；C0—平行極板之間的電容；R0—極板與電解液之間的非線性接觸電阻。

3.2 PNGV模型

PNGV等效電路電池模型通過(guò)對(duì)電池參數(shù)的線性化處理來(lái)模擬電池在一定 DOD水平下的動(dòng)態(tài)性能。這個(gè)線性的等效電路模型能較好地預(yù)測(cè)電池在 HPPC測(cè)試循環(huán)下的電池端電壓[5]。模型的等效電路和數(shù)學(xué)公式描述如下所示。

式中： VOC—理想電壓源，它表示的是電池的開(kāi)路電壓； 1 /—該電容描述的是因電流的時(shí)間積分而引起的開(kāi)路電壓的變化；RO—電池的歐姆內(nèi)阻； RP—電池內(nèi)部極化電阻（如由于濃差極化）； CP— RP的并行電容；τ—極化時(shí)間參數(shù)；IP—極化電阻的電流； VL—電池端電壓。

圖2 PNGV等效電路

4 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法

由于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有逼近多輸入輸出參數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，使其可以估計(jì)電池在不同放電狀態(tài)下所能夠放出的容量。

4.1 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種單向傳播的多層前向網(wǎng)絡(luò)，它除了有一個(gè)輸入層和一個(gè)輸出層外，還有一層或多層的隱層，同層節(jié)點(diǎn)中沒(méi)有任何耦合。輸入信號(hào)從輸入層節(jié)點(diǎn)依次傳過(guò)各隱層節(jié)點(diǎn)，然后傳到輸出節(jié)點(diǎn)，每一層節(jié)點(diǎn)的只影響下一層節(jié)點(diǎn)的輸出。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有的非線性映射能力保證其能夠成功逼近各種非線性函數(shù)。另外，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將信息分布式存儲(chǔ)于連接權(quán)系數(shù)中，使網(wǎng)絡(luò)具有較高的容錯(cuò)和魯棒性。因此在目前的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際應(yīng)用中，大部分是采用 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及它的變化形式。

4.2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法

徑向基函數(shù)神經(jīng)（Radial Basis Function neural）網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分為三層：輸入層由一些源點(diǎn)組成，將網(wǎng)絡(luò)與外界聯(lián)系起來(lái)；第二層是網(wǎng)絡(luò)中僅有的一個(gè)隱層，它的作用是從輸入空間到隱含層高維空間的非線性轉(zhuǎn)換；輸出層為線性層。對(duì)于RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，所需要確定的自由參數(shù)主要是其傳遞函數(shù)徑向基函數(shù)的中心、寬度和輸出單元的權(quán)值。而根據(jù)傳遞函數(shù)的自由參數(shù)確定方式不同，徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)又有著不同的訓(xùn)練學(xué)習(xí)策略，比如建立在插值理論基礎(chǔ)之上的學(xué)習(xí)策略，結(jié)合正則化理論及核回歸理論的學(xué)習(xí)策略。

蓄電池SOC估計(jì)是通過(guò)蓄電池的工作電流、電壓和溫度這三種便于測(cè)量的參數(shù)，估計(jì)蓄電池實(shí)時(shí)的荷電狀態(tài)數(shù)值。對(duì)上述參數(shù)合理地選取，可以設(shè)計(jì)具有不同輸入輸出參數(shù)的多種 SOC估計(jì)模型。最為直接的方式是使用電壓、電流和溫度作為輸入，SOC值作為輸出，函數(shù)關(guān)系可以表述為：，這是標(biāo)準(zhǔn)模型。

5 建模方法比較

模糊系統(tǒng)對(duì)非線性映射有任意逼近能力，基于模糊理論的模糊辨識(shí)方法正廣泛地被用于復(fù)雜系統(tǒng)的辨識(shí)與控制，因此亦有學(xué)者采用模糊理論進(jìn)行蓄電池建模。

除以上常見(jiàn)方法外，還有一些不太常用的建模方法。主要有：回歸分析建模方法、基于灰色理論的蓄電池建模方法、基于支持向量機(jī)方法的建模方法、鍵合圖建模方法、基于Map模型的建模方法。由于建模方法較多，可以將兩種建模方法結(jié)合使用，但是這些建模方法或者過(guò)于簡(jiǎn)單，或者過(guò)于理論化，應(yīng)用以上建模方法作為大容量動(dòng)力蓄電池建模的備選方案時(shí)應(yīng)慎重。

基于電化學(xué)機(jī)理建立模型的難度大，并且模型計(jì)算與實(shí)際情況相差較大。基于電化學(xué)經(jīng)驗(yàn)公式建模與基于等效電路建模，有一定的相近性，其關(guān)鍵問(wèn)題在于公式中的眾多參數(shù)如何確定。

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法應(yīng)用比較廣泛。建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的關(guān)鍵是選擇合理的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、優(yōu)化的算法以及大量合理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。其中網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以通過(guò)程序的自動(dòng)選擇來(lái)實(shí)現(xiàn)，算法可以借鑒廣泛應(yīng)用的成熟算法。如果建立蓄電池充放電實(shí)驗(yàn)室，設(shè)計(jì)合理的充放電試驗(yàn)，獲取大量有效數(shù)據(jù)，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可以建立滿足實(shí)際使用需求的蓄電池模型。

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