單周-PID控制buck電路在DCM模式下的研究

李鵬 吳浩偉 周樑 徐正喜

（武漢第二船舶設計研究所，武漢 430064）

0 引言

單周控制是由美國學者Smedley和Cuk教授在上個世紀90年代提出的一種新型的大信號、非線性的控制策略[1]，即在一個開關周期內，強制積分變量的平均值與參考值相等，以此來實現對時變電壓或電流的瞬時控制。

單周控制的開關變換器[2]，可分為連續導電（CCM）和不連續導電（DCM）兩種工作方式。在一個開關的周期內，其能有效地抑制輸入擾動，結構簡單、響應速度快。但是抑制負載擾動能力均較差，特別是在輕載的情況下，有時會發生超調或者阻尼震蕩的現象。為了改善單周控制，必須將單周控制和PID控制結合起來。本文首先建立單周控制在DCM下的連續時間模型[2]，在單周控制的基礎上設計PID控制器，將單周控制和PID控制相結合，組成單周-PID閉環控制系統[3]，并比較單周-PID控制與單周控制的輸出特性。

1 連續時間模型的建立

以buck變換器為例，建立連續時間模型。

圖1中，當buck電路工作在DCM模式下時，一個開關周期Ts分為三個階段：T1，開關管S導通，二極管D截止，二極管的兩端電壓Ud=Uin；T2，開關管S斷開，二極管D續流，Ud=0；T3，開關管S斷開，二極管D截止，Ud=Uo。

參考電壓Uref的表達式如下式1所示：

圖1 單周控制的buck變換器

采用小信號模型進行分析，得到動態模型：

式（2）中大寫符號為穩態值，小寫帶箭頭符號為瞬時值。由于 T3時段內二極管 D兩端的電壓Ud等于輸出電壓Uo，因此用Uo取代Ud。

在實際的計算機控制系統中，第K個開關周期的占空比Dk取決于上一個周期，即K-1個周期二極管D兩端電壓Ud的取值。前面的式1并沒有將前一個周期的狀態考慮進去，為此，將式 1進行改進，得到參考值如式3所示：

由于開關頻率fs遠高于系統的帶寬，在一個開關周期內，可以近似的認為輸出電壓Uo和輸入電壓Uin為常量。因此，式3可簡化為：

對于式（4），考慮系統在擾動下的動態模型，得到單周控制器的離散表達式如下：

將上式（2）的動態模型轉化為 Z域下的模型：

進一步，將式（6）中的z用指數項 esTs替代，

同時考慮采樣保持器的因素：

得到單周控制的最終模型如下：

對于指數項 esTs和 e-sTs，用泰勒級數表示：

用泰勒級數的一階展開式來近似，得到：

DCM模式下控制到輸出的傳遞函數[4]如下：

由式（10）、（11），得到參考值到控制的傳函：

由式（11）、（12），參考值到輸出的傳函如下：

根據上式（11）、（12）和（13），可以得到單周控制的連續時間模型[2]如下圖2所示。

圖2 單周控制的連續時間模型

從此圖中可以看出，由于輸出濾波器的模型獨立于單周控制器之外，當負載發生變化時，輸出濾波器的參數發生變化，這樣負載擾動越過了單周控制器，影響到整個控制系統。此圖說明，單周控制不能有效的抑制負載擾動，為了改善單周控制的缺點，得到單周控制的連續時間模型后，需在此基礎上設計PID控制器，引入輸出反饋，組成一個閉環控制系統。

2 PID控制器的設計

以 buck變換器為例，設計單周-PID控制系統。如下圖3所示：

圖3 單周-PID控制的buck變換器

此buck變換器可以看成雙環控制系統，內環為單周控制，外環為 PID控制。負載電壓 Uo與參考電壓 Uref進行比較，得到誤差信號，此誤差信號經過PID控制器，生成參考值，與二極管D兩端電壓Ud的積分值進行比較。

圖4 單周-PID控制系統的小信號模型

根據圖2和圖3，可以得到圖4的單周-PID控制系統的小信號模型。采取經典的方法[5]設計PID控制器，為了使單周-PID控制系統能正確的運行，必須滿足以下條件[3]：

式（14）中Mmax和Mmin為buck變換器的最大與最小變壓比，uc即為圖4小信號模型中的PID控制器的輸出。

3 單周-PID控制系統的仿真

以buck電路為例，用MATLAB對整個控制系統進行仿真。Buck電路的參數如下：

輸入電壓Uin為15 V，參考電壓Uref為5 V，濾波電感L為500 μH，電容C為20 μF，負載R為200 Ω，開關頻率 fs為100 kHz。

圖5為單周-PID控制buck變換器的主電路圖，圖6為控制電路圖。

圖5 單周-PID控制buck變換器主電路圖

圖6 單周-PID控制buck變換器控制電路圖

當負載R為200 Ω時，此時的buck變換器工作在DCM模式，首先建立單周控制buck變換器的連續時間模型，在此基礎上得到參考值到輸出的傳遞函數Guref(s)，其伯德圖如下：

圖7 單周-PID控制傳函Guref (s)伯德圖

通過分析傳遞函數Guref(s)的伯德圖，采用傳統的方法設計PID控制器[5]，可以得到帶輸出反饋的單周-PID控制系統。下面來比較單周-PID控制系統與單周控制系統的輸出特性。

圖8 單周控制buck變換器輸出電壓

圖9 單周-PID控制buck變換器輸出電壓

圖10 單周控制buck變換器輸出電壓紋波

圖11 單周-PID控制buck變換器輸出電壓紋波

圖12 單周控制buck變換器負載擾動波形

圖13 單周-PID控制buck變換器負載擾動波形

從圖 8至圖 13，通過比較單周控制與單周-PID控制buck變換器的輸出電壓波形，得到以下結果：單周-PID控制系統與單周控制系統相比，動態響應的速度更快，抑制負載擾動的能力更強，輸出電壓的紋波更小，不存在穩態誤差。不論是動態性能，還是穩態性能，都有了很好的改善。

4 結論

本文主要研究單周控制的buck電路在DCM模式下的工作狀態。通過建立單周控制buck電路的連續時間模型，在此基礎上設計PID控制器，組成一個單周-PID的閉環控制系統。該系統綜合了單周控制與PID控制的優點，與原有的單周控制系統相比，有更好的動態與穩態性能，并能有效的抑制負載擾動，具有較強的實用價值。

[1]K. M. Smedley, S. Cuk. One-cycle Control of Switching Converters[J]. Power Electronics, IEEE Transactions on November 1995,10(6)： 625-633.

[2]L. Egiziano, N. Femia. Dynamic Model of One-Cycle control for converters operating in CCM and DCM [C].IEEE Industrial Electronics, IECON 2006-32nd Annual Conference on 6-10 Nov 2006： 2150-2155.

[3]Mohsen Ruzbehani, Luowei Zhou. A New Approach in Combining One-Cycle Controller and PID Controller[C].Industrial Electronics,2004 IEEE International Symposium on May 2004,2：1173-1177.

[4]Dragan Maksimovic, Robert Erickson. Fundamentals of Power Electronics[M]. Second Edition, Kluwer Academic Publishers Group, January 2001.

[5]胡壽松. 自動控制原理[M]. 第四版, 北京： 科學出版社, 2001.