抗混疊Contourlet變換在煤礦圖像重構算法中的應用

劉麗虹，俞 嘯，胡延軍,2

（1.中國礦業大學 信息與電氣工程學院，江蘇 徐州 221008；2.中國礦業大學物聯網（感知礦山）研究中心，江蘇 徐州 221008）

多媒體傳感器系統在煤礦井下應用的研究已經引起國內外研究人員的關注，其中能耗問題一直是研究熱點，需要對多媒體節點進行合理設計。在降低節點傳輸負載、節約網絡有限能量的同時，完成多媒體信息的壓縮編碼、冗余信息融合等處理。常用的編碼算法在數據采集端按照奈奎斯特采樣定理進行數據采集，造成了存儲空間及節點能量的浪費。研究如何突破以奈奎斯特采樣定理為支撐的信息獲取、處理、融合、存儲及傳輸等方式是推動煤礦信息化進一步發展的關鍵[1]。近年來,由DONOHO D、CANDES E及TAO T等人提出的壓縮感知理論為解決這一問題提供了新的思路，該理論以遠低于奈奎斯采樣頻率對稀疏或可稀疏信號進行采樣，仍可以精確恢復出原信號，具有編碼簡單、解碼復雜的特點。這樣在煤礦井下可以鋪設性能較弱的多媒體傳感器節點，不僅節約成本，也降低了采集端的工作負荷。將復雜的解碼過程交由井上計算能力強大的服務器處理，為井上調度室的指揮控制提供清晰的井下現場圖像。故該理論在煤礦井下無線多媒體傳感器網絡(WMSN)中具有很大的應用前景,如圖1所示。

圖1 壓縮感知算法在井下WMSN中的應用框圖

壓縮感知理論中，隨機采樣不需要先驗知識，只需尋求更好的正交稀疏變換，得到變換域中更稀疏的信號，便可提高壓縮感知和信號重構的性能。壓縮感知恢復算法中常用的正交變化有 DCT[2]、傅里葉變換[3]、小波變換[4]等，信號經過變化后越稀疏，越有利于提高壓縮感知信號重構的性能。近年興起的以Contourlet變換為代表的多尺度幾何變換具有良好的稀疏性質，經其變換得到的稀疏系數要比小波系數更稀疏，更有利于信號的重構。但是其基函數在頻域中是非局部的，造成了頻率混疊現象，需要用理論上更多的系數來表示,而抗混疊Contourlet[5]變換恰可以解決這個問題。

本文將雙通道濾波器組與方向濾波器組相結合，實現了一種抗混疊的輪廓波變換,提出基于抗混疊Contourlet變換的礦井圖像壓縮感知重構方法。

1 相關理論簡介

1.1 壓縮感知理論簡介

壓縮感知的采樣方式是通過將大小為M×N(M＜N)的觀測矩陣與N×N信號 x進行內積,得到M×N的采樣值y，而這M個線性投影中包含的信息可以用來重構信號x。即對x執行線性觀測：

其中x是稀疏信號或可稀疏信號，在某組正交基下展開可寫成矩陣形式 x=Ψs。Ψ∈RN×N(滿足 ΨTΨ=ΨΨT=I)與觀測矩陣 Θ 不相關[6],假設 s∈RN×N是 K稀疏（即其非零稀疏個數K＜＜N）的。采樣過程也可表示為：

壓縮感知的稀疏重構過程是從y中求解x的過程，即求解線性方程組的問題。 因為 y∈RM×N，s∈RN×N，對于式(1)未知數的個數N都大于方程的個數M，是一個欠定方程組求解問題，有無窮多解。故重建信號需滿足一定條件[7]：x是可稀疏信號，稀疏度為 K；且滿足 M＞K×log(N)。可以通過求解l0最小化問題：

1.2 抗混疊Contourlet變換簡介

Contourlet變換首先利用拉普拉斯塔式結構(LP)將圖像分成低通和高通2個子帶，對圖像進行多尺度分解獲得多分辨率特性，再用方向濾波器組(DFB)對各尺度的高通子帶進行多方向輪廓波分解。結構如圖2所示。

Contourlet變換最大的缺點是采用非理想的低通濾波器進行LP分解，在通帶區域外還有非零的頻率響應，因此變換得到的低頻子帶中還有混疊的成分，這些成分進入高頻子帶中與DFB頻域支撐交疊，造成了嚴重的頻率混疊現象，需要用理論上更多的系數來表示。為此，Minh Do提出[9]用可控塔式分解來代替傳統Contourlet變換中的LP分解實現圖像的多尺度分解，用來抑制混疊效應。其特點是第一級低通濾波器不是固定以d=2的采樣矩陣進行下采樣的，而是通過選取d的值進行可控下采樣 (d=1,1.5,2),并且使用嚴格帶限的低通濾波器，用來降低與DFB的頻譜混疊。當d=1時，Contourlet冗余度約為2.33，但此時的抗混疊性能最好，因此本文采用d=1的方案。

2 在煤礦圖像重構算法中的應用

2.1 壓縮感知重構模型

目前該問題的求解主要有貪婪算法、凸優化方法和組合算法三類方法。貪婪算法的重構效果雖不及凸優化方法，但速度快，適用于解決大尺度問題，故本文中選用OMP算法來重構圖像，其核心思想是通過遞歸對已選原子集合進行正交變換以保證迭代的最優性[10]。

由壓縮感知理論可設礦井圖像信號x∈RN×N。

實際測量中y值易受外界噪聲干擾，解碼模型可變換為：

由壓縮感知理論可知，s為稀疏變換系數組成的向量，Θ為隨機矩陣，的每一列對應稀疏變換的基向量與Θ不相關。在實際計算中可由稀疏變換得到，Θ為隨機高斯矩陣，通過優化求解最優的通過=，對進行稀疏逆變換得到時域的，即可重構圖像。

2.2 OMP重構算法

求解l0范數最小化問題是NP難題組合，但參考文獻[11]證明，測量矩陣滿足RIP準則時，l1范數最小化與l0范數最小化的求解近似等價，故式(5)可轉化為求解l1范數最小化的凸優化問題，即：

即轉化成一個非線性凸優化問題,這里采用正交匹配追蹤(OMP)算法來找到這K個關鍵分量。對于y1(即y的第一列)，設計算恢復矩陣A的所有列與y1的每一列內積，內積絕對值最大的一列就是對應的非零元素K的位置，再根據最小二乘法找出使得‖y-As‖2最小的那個s中的元素值，就是非零元素K的大小，依此循環迭代就可找出這幾個K值的位置和大小。

OMP算法[12]詳細步驟描述如下：

(1)參數初始化，包括殘差 r0=y，索引集 Z0=φ，重構信號x0=0，迭代次數 n=0；

(2)計算殘差向量與測量矩陣A每一列的內積，得出gn=ATrn-1；

(3)找出 gn值最大的元

(4)更新索引集合Zn=Zn-1∪g0gggggg以及原子集合=∪{ad};

(6)更新殘差 rn=y-Axn，n=n+1；

(7)判斷是否滿足 n＞K。若滿足，則令 x′=xn，r=rn，迭代循環停止；不滿足，則返回步驟(2)，繼續循環。

(8)輸出 x的稀疏逼近值x′，及重構誤差 r。

3 實驗仿真

實驗采用大小為256×256的煤礦井下圖像，稀疏基分別采用sym4小波、Contourlet、抗混疊 Contourlet，測量矩陣采用隨機高斯矩陣，重構算法采用OMP恢復算法。

3.1 不同采樣率下的壓縮感知重構效果

基于抗混疊Contourlet變換的重構圖像在細節處的表現良好，尤其是在具有方向的紋理和邊緣處。當采樣率為0.5時，已能很清晰地恢復出圖像，且采樣值越高，恢復的圖像效果越好，如圖3所示。

3.2 基于不同稀疏基表示的重構圖PSNR值比較

圖4給出了基于不同稀疏基變換和采樣率的重構圖像與原圖的PSNR值，更加直觀地對比了各稀疏基結合OMP算法的重構效果。

從圖中可以看出抗混疊Contourlet的效果要略好于傳統的Contourlet變換。當采樣率小于0.3時，恢復的圖像失真嚴重，比較它們的PSNR值已經沒有意義。采樣率高于0.3時，在同等采樣率，恢復算法都采用OMP重構算法的情況下,基于Contourlet變換和抗混疊Contourlet變換的重構圖像的質量要比基于Sym4小波的更優，因為Contourlet變換比小波變換更能稀疏地表示礦井圖像中的邊緣和輪廓信息。抗混疊Contourlet變換抑制了混疊效應，其基函數的頻域局部性更好，具有更集中的方向選擇性,驗證了圖像抗混疊Contourlet變換的稀疏性更好。

本文將抗混疊 Contourlet變換應用于礦井圖像的壓縮感知重建中。OMP重構算法是目前圖像重建的一種比較經典的算法,在此優化算法下,將抗混疊Contourlet變換、傳統Contourlet變換和Sym4小波變換作為壓縮感知稀疏域，并觀察其表現。仿真結果顯示，相較于小波變換和Contourlet變換，抗混疊Contourlet變換不管在恢復的視覺效果還是PSNR指標上,都比Sym4小波和傳統Contourlet變換更好。目前多尺度幾何分析作為圖像處理的一個研究熱點，壓縮感知作為一種新技術，其理論框架和算法實現都還在發展中,并能夠解決煤礦井下的實際問題，有望給信號處理領域帶來重大影響。

[1]曹新德.壓縮感知理論在井下救災系統中的應用研究[EB/OL](2010-12-28).中國科技論文線,http://www.paper.edu.cn/index.php/default/releasepaper/content/201012-1175.

[2]沙威.壓縮感知引論[EB/OL](2008-11-20).http://www.eee.hku.hk/～wsha.

[3]岑翼剛.基于單層小波變換的壓縮感知圖像處理[J].通信學報,2010,31(8A):53-55.

[4]LUSTIG M,DONOHO D,PAULY M.Sparse MRI:the application of compressed sensing for rapid[J].Magnetic Resonance in Medicine 2007,58:1182-1195.

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[7]DONOHO D.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006,52(4):1289-1306.

[8]DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006.52(4):1289-1306.

[9]LU Y,DO M N.A new contourlet transform with sharp frequency localization[C].IEEE International Conference on Image Processing,2006(10):1629-1632.

[10]趙瑞珍.壓縮傳感與稀疏重構的理論及應用[EB/OL](2009-10-30).中國科技論文在線，http://www.paper.edu.cn/index.php/default/releasepaper/content/200910-662.

[11]DONOHO D,TSAIG Y.Extensions of compressed sensing[J].Signal Processing,2006,86(3):533-548.

[12]TROPP J,GILBERT A.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans.Inform,Theory,2008,53(12):4655-4666.