小波檢測并估計非參函數變點

趙文芝,夏志明

(1.西安工程大學理學院,陜西 西安 710048;2.西北大學數學系,陜西 西安 710127)

小波檢測并估計非參函數變點

趙文芝1,夏志明2

(1.西安工程大學理學院,陜西 西安 710048;2.西北大學數學系,陜西 西安 710127)

研究隨機設計下非參函數變點的小波檢測與估計問題.將小波方法與設計點轉化方法相結合給出變點的檢測統計量并研究檢測的一致性.給出了變點個數和變點位置的估計量,證明了變點個數估計量的相合性并得到變點位置估計量的收斂速度.

變點;非參數回歸模型;小波變換;收斂速度

1 引言

本文考慮非參數回歸模型

其中εi是均值為0方差為1的i.i.d.序列,Xi是與εi相互獨立,支撐區間為[0,1]的設計點.

考慮如下假設檢驗問題:

H0: f在[0,1]上連續可微;

H1(m):f存在至少1個至多m個不連續點,在其余點是光滑函數.

本文假定回歸函數f中不連續點的個數和不連續點的位置都是未知的,但是不連續點個數的上界是已知的.在備擇假設H1(m)中,m就表示的是這樣的上界.

小波系數能夠反應原函數的局部特性:在光滑點的小波系數絕對值較小而在不連續點的小波系數絕對值較大[1].小波系數的這種性質使之成為處理非參數回歸模型變點問題的一個有力工具.選取適當的臨界值,考察小波系數的絕對值是否超過給定的臨界值.若小波系數的絕對值超過給定的臨界值則認為該函數存在變點,否則認為該函數是光滑的.文獻[2]率先用小波方法檢測并估計非參數回歸模型變點.文獻[3]用小波系數的累積和對變點進行檢驗.文獻[4]給出了非參數回歸模型變點的Minimax估計.上述文獻解決的都是固定等距設計且誤差為Gauss過程時的變點檢測問題.文獻[1]用廣義Pareto分布對小波系數進行建模,解決了方差有窮的厚尾信號的變點檢測問題.文獻[5-6]用有界小波分別估計固定設計下以及隨機設計下含有變點的非參函數.文獻[7]用小波方法來檢測異方差自回歸模型的變點.文獻[8]用小波方法檢測誤差為 Gauss過程時分段光滑函數的變點.文獻[9-10]用小波方法檢測非參數(自)回歸模型的變點,文獻[11]用小波方法檢測異方差回歸模型的變點,文獻[12]用小波方法檢測回歸函數導函數的變點.文獻[13]用小波方法檢測并估計均勻隨機設計下,即模型(1.1)中Xi～U[0,1]時非參函數變點的檢測與估計.文獻[14]研究半參數回歸模型估計的收斂速度.本文研究Xi是一般隨機設計時非參函數變點的檢測與估計問題.

本文需要如下假設條件:

2 變點的檢測

3 變點的估計

該收斂速度與文獻[2]的收斂速度一致.文獻[2]的結論是在i.i.d.正態隨機誤差下得到的,且數據是在固定設計下得到的,而本文結論是在一般的i.i.d.誤差下得到,且數據是在隨機設計下獲得的.

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Wavelet detection and estimation change point in nonparametric regression model

Zhao Wenzhi1,Xia Zhiming2
(1.School of Science,Xi′an Polytechnic University,Xi′an 710048,China;
2.Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

This paper considers the detection and estimation problem of change point in nonparametric regression model in a random design.The test statistics is proposed by method of wavelet and design point transformation.The consistence of the test is proved.The consistence of estimator for numbers of change point while the convergence rate for location of change points are given.

change point,nonparametric regression model,wavelet transformation,convergence rate

O212.1

A

1008-5513(2012)01-0041-06

2011-10-01.

陜西省教育廳基金(2010JK561);西安工程大學基礎研究基金(2010JC07);

國家自然科學專項基金(數學天元)(11026135,11126312);教育部人文社科基金(10YJC910007).

趙文芝(1979-),博士,講師,研究方向：非線性時間序列分析及應用.

2010 MSC:62G08