管狀曲面在曲線論中的應用

蘇農,劉玲

(北京信息科技大學數學系,北京 100192)

管狀曲面在曲線論中的應用

蘇農,劉玲

(北京信息科技大學數學系,北京 100192)

研究了圍繞曲線的管狀曲面上的曲率線,漸近線與測地線,給出它們的方程,揭示了這些曲線與Bertrand曲線或Mannheim曲線之間的關系,采用新的方法給出一條曲線是Bertrand曲線或Mannheim曲線的充要條件的另一種證明以及Mannheim侶線的曲率與撓率之間的關系.

管狀曲面;漸近線;測地線;Bertrand曲線;Mannheim曲線

1 引言

Bertrand曲線和Mannheim曲線是兩類經典的曲線,很多微分幾何教材中有比較詳盡的描述[1],文獻[2]給出了Bertrand曲線和Mannheim曲線推廣的一個充要條件.另外,文獻[3]利用主法線曲面的性質闡述了這兩類曲線.本文將從圍繞曲線的管狀曲面的角度進行描述.

根據定義,顯然Γ的平行曲線,Bertrand侶線(若存在)以及Mannheim侶線(若存在)均在圍繞Γ的某一管狀曲面上.

引理 1.1[4]過Γ的管狀鄰域中一給定點p,存在唯一的平行曲線.

2 平行曲線與管狀曲面上的正交曲率線網

3 Bertrand曲線與Mannheim曲線

4 Mannheim侶線

[1]吳大任.微分幾何講義[M].北京:高等教育出版社,1959.

[2]王衛東,羅斌.關于 Bertrand曲線和 Mannheim 曲線推廣的一個充要條件 [J].純粹數學與應用數學, 2004,20(1):24-28.

[3]袁媛,劉會立.曲線的主法線曲面[J].東北大學學報:自然科學版,2007,28(1):145-148.

[4]蘇農.歐式空間中的平行曲線[J].沈陽師范大學學報:自然科學版,2009,27(1):24-27.

[5]陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學出版社,2006.

Applications of tubular surfaces in theory of curves

Su Nong,Liu Ling
(Department of Mathematics,Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100192,China)

This paper studies the lines of curvature,asymptotic curves and geodesics on a tubular surface around a smooth curve,provides their equations and shows the relations between these lines and Bertrand-curve or a Mannheim-curve.Another proofs of the sufficient and necessary conditions of a curve to be a Bertrand-curve or a Mannheim-curve are given.As a further result,the relation of the curvature and the torsion of a Mannheim mate is also obtained.

tubular surface,asymptote,geodesic,bertrand-curve,mannheim-curve

O176

A

1008-5513(2012)01-0067-06

2011-04-16.

北京市教委科研計劃面上項目(SQKM201211232017);北京信息科技大學科研基金(5026010949).

蘇農(1966-),碩士,講師,研究方向：微分幾何.

2010 MSC:53A04,53A05