緊支撐正交的二維小波

何永滔

(中山大學數學與計算科學學院,廣東 廣州 510275)

緊支撐正交的二維小波

何永滔

(中山大學數學與計算科學學院,廣東 廣州 510275)

基于Householder矩陣擴充,構造了緊支撐正交的二維小波,所構造小波函數的支撐不超過尺度函數的支撐,并且給出了容易實施的顯式構造算法.另外,還通過構造反例說明Riesz定理不適用于二元三角多項式.最后,構造了算例.

多分辨分析;仿酉矩陣擴充;二維正交小波;多相位分解;Riesz定理

1 引言

眾所周知,小波因具有良好的時頻局部性而廣泛地應用于信號分析,圖象處理,邊緣檢測,數值計算等領域.構造小波是小波分析的核心內容,多分辨分析是構造小波的重要工具.在實際應用中,小波的緊支撐性能使快速小波變換是有限和,小波的對稱性能使信號避免失真,小波的正交性能夠保持信號的能量,因此構造具有緊支撐,對稱性,正交性等良好性質的小波就成為小波分析工作者關注的熱點之一.目前已有相當多的文獻研究小波的構造,其中一維小波的研究成果比較成熟.1988年文獻[1]給出了一維2帶緊支撐正交小波的構造.但除Haar小波外,一維2帶緊支撐正交小波不可能具有對稱性,這就限制了它在現實生活中的應用.人們開始關注其他尺度因子的情形,1995年文獻[2]構造了一維3帶緊支撐正交對稱與反對稱的小波,研究了其精細結構.1998年文獻 [3]構造了一維4帶對稱正交的尺度函數與小波.1999年文獻[4]構造了一維M帶的緊支撐小波,研究了所構造小波的性質.高維小波是處理高維信號的重要工具,但是有關高維小波構造的文獻比較少.雖然文獻[5]利用Householder矩陣擴充構造了高維正交小波,構造過程簡單清晰且易于實施,但擴充所得的矩陣元素中含有Laurent多項式分母.這就使得當所給的尺度函數具有緊支撐性時,所構造的高維小波可能沒有緊支撐性.本文通過Householder矩陣擴充構造了緊支撐正交的二維小波,擴充所得的矩陣元素分母中不含Laurent多項式,所構造的緊支撐正交二維小波的支撐不超過尺度函數的支撐.另外,本文通過構造反例說明Riesz定理不適用于二元三角多項式.最后,給出了構造算例.

2 預備知識

為了敘述的方便,引入記號:

3 矩陣擴充與二維正交小波

4 緊支撐正交二維小波的消失矩性質

5 Riesz定理不適用于二元三角多項式

6 緊支撐正交二維小波的構造算法

7 構造算例

致謝感謝程東升博士在編程方面有益的幫助.

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[7]Lawton W,Lee S L,Shen Z W.An algorithm for matrix extension and wavelets construction[J].Math. Comp.,1996,65(214):723-737.

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[9]Han B,Jia R Q.Optimal interpolatory subdivision schemes in multidimensional spaces[J].SIAM J.Numer. Anal.,1999,36(1):105-124.

Compactly supported orthogonal bivariate wavelets

He Yongtao
(School of Mathematics and Computational Science,Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275,China)

Based on the Householder matrix extension method,we construct compactly supported orthogonal bivariate wavelets.The supports of the constructed wavelets are not larger than that of scaling function,an explicit algorithm that can be easily applied is also presented.Furthermore,we prove that Riesz theorem can not be applied to bivariate trigonometrical polynomial.Finally,an example is given.

multiresolution analysis,paraunitary matrix extension,bivariate orthogonal wavelets, polyphase decomposition,riesz theorem

O174

A

1008-5513(2012)01-0008-09

2011-07-15.

國家自然科學基金(11071261,10911120394).

何永滔(1979-),博士生,研究方向：時頻分析與圖像處理.

2010 MSC:42C40,65T60