基于時步有限元的永磁同步電機穩態參數改進計算方法

李和明 張 健 劉明基 羅應立

（華北電力大學電氣與電子工程學院 北京 102206）

1 引言

準確得到永磁電機的直交軸穩態參數對于電機的驅動控制、性能計算都非常有必要[1-3]。對于中型以上的電勵磁同步電機，使用磁路分析的方法計算直交軸穩態參數已經有足夠的精度[4,5]，但對于結構較為復雜的永磁電機，特別是轉子帶有起動籠型導條的自起動永磁同步電機磁路耦合非常緊密，使用磁路分析的方法已經不能滿足精度要求。永磁同步電機中永磁體的大小及排列方式多種多樣，當永磁體的布局及隔磁橋、主氣隙及第二氣隙大小改變時，以及由均勻氣隙改為非均勻氣隙時，都會嚴重影響主磁路磁導引起局部飽和現象，使得由磁路分析方法得到的結果存在不可接受的誤差。

近年來數值解法尤其是有限元方法發展迅速，使用有限元方法可以方便地計算得到電機內的磁場分布，因此有限元方法在計算結構復雜的永磁電機穩態參數中已經被廣泛地應用。文獻[6]介紹了從能量角度使用有限元計算電感（X=ωL）的兩種方法：一是計算某個電流激勵下的磁鏈，除以電流可以得到電感；二是根據該電流激勵下的磁場儲能W，由W=I2L/2計算得到電感。這兩種方法計算簡單、方便實施，可以單獨計算直軸電抗或交軸電抗，但對于直、交軸磁路結構不同且存在著交叉飽和的永磁同步電機來說不太適用，而且磁路飽和程度又嚴重影響電抗參數，進而影響使用動態方程仿真電機動態特性的精度[7]。文獻[8]通過將永磁體的剩磁設為零并分別施加直軸、交軸電流，計算得到了直、交軸電抗參數，這種方法同樣不能計及直、交軸交叉飽和效應，以及永磁體的存在引起的磁路飽和變化。文獻[9]提供了一種在任意負載下，考慮交叉飽和作用時計算直、交軸電抗的方法，該方法通過相量圖法計算電抗參數，通過對定子內圓表面磁位進行諧波分析的方法得到基波磁通，進而得到氣隙電動勢。這種方法無法計及正弦電樞電流產生的諧波磁場所感應的基波電動勢，也就是忽略了諧波漏電抗（差漏抗），在電機設計得較為飽和時特別是大負載時會引入較大誤差。

使用功角測試的方法測試穩態參數已經有許多文獻做了研究[4,10]，得到了具有一定精度的結果。本文提出一種基于2-D平面場的時步有限元計算方法，該方法既能充分體現直、交軸交叉飽和作用，又能計及槽漏抗、諧波漏抗。通過給定端口電壓和負載轉矩大小，可以計算永磁電機在任意工況下穩定運行時的直、交軸同步電抗參數，并通過實驗證明該方法準確可靠。

2 2-D時步有限元

基于Maxwell方程組的有限元方法已經被多種商業軟件使用。針對本文所研究的永磁電機有限元模型，其方程可簡化為式（1）所示形式。關于有限元的具體推導過程可以參考專門文獻，在此不再贅述。

式中 Ω—求解區域；

Γ1—定子鐵心外圓邊界；

Γ2—永磁體和其他媒介的交界；

A—矢量磁位；

Js—電流密度；

σ—材料的電導率；

μ—不同介質的磁導率；

δc—永磁體等效面電流密， δc=Hc×n；

Hc—永磁體矯頑力。

因為有限元方法能夠充分考慮非線性、飽和等因素，所以相對于磁路法具有較高的計算精度。時步有限元方法是指將計算過程劃分為若干步，下一步的計算以上一步的結果為基礎。本文為了研究電機運行過程中的飽和及交叉飽和效應，以及永磁體在該飽和條件下所感應的電動勢，需要使用時步有限元方法進行計算。在負載條件下，每個時步計算完成之后，凍結各單元的磁導率，以永磁體單獨作用為激勵條件進行線性磁場計算，得到該時步下的磁場分布，再轉入下一時步的計算。相當于每個時步下先后計算兩個磁場，第一個磁場(常規時步有限元)計算得到有限單元磁飽和分布，該分布用于求解第二個只有永磁體勵磁的線性磁場，而后由磁位對時間求導，即可得到永磁體在負載飽和條件下的“空載”感應電動勢Epm，該方法計算流程如圖1所示。

圖1 時步有限元計算流程Fig.1 TS-FEM calculation procedure

圖1中t表示經過離散的計算時間，離散步長為 dt；k表示計算感應電動勢時用到的系數，該系數由電機的繞組布置，定子槽區域以及剖分單元面積等決定。

常見的商業軟件包有Ansys、Ansoft等，Ansoft軟件在關于電機的常規計算仿真上使用非常方便，在建模完成并設定完邊界條件、激勵項之后，即可方便地進行仿真，也可以先行使用磁路模塊設計，然后自動生成有限元模型，但該軟件無法輸出每一時步下的單元磁導率，無法實現上述流程的計算。Ansys軟件包擁有包括電磁場在內的多場耦合計算的強大功能，傾向于從物理本質上去解決問題。基于Ansys的時步有限元計算，每個時步完成之后將單元節點的求解結果輸出為結果文件以備在下一個時步計算時使用。該軟件雖然可以輸出單元磁導率，但上述計算流程是兩條線程分別計算，單純使用Ansys亦難以實現。

本文依據式（1）參考了文獻[11，12]介紹的方法自行編制了時步有限元計算程序，并對一臺22kW 的自起動永磁同步電機進行了建模計算。該樣機的部分截面如圖2所示，由三角有限單元組成的區域是永磁體區域。樣機基本參數見下表。

圖2 永磁電機截面圖Fig.2 Partial section of the PMSM

表 永磁電機樣機基本參數Tab. Specifications of the PMSM prototype

3 矢量圖法求解永磁電機穩態參數

在永磁電機的經典文獻中，矢量圖法一般被認為是一種較為可靠的計算穩態參數測試方法[4]，其最大特點是各電氣量之間相對關系明確，物理概念清晰。

3.1 常規矢量圖法求解穩態參數

圖3所示是一臺運行在電動機狀態下的永磁電機穩定運行時各矢量之間的關系[5]。其中Xd、Xq分別代表直交軸電抗，E0為空載感應相電動勢，U是外加相電壓，R是電樞相電阻，I、Id和Iq分別表示電樞電流及其直交軸分量，θ和φ分別代表矢量U超前E0和U超前I的角度。所示各矢量間的關系，可以由如下等式描述

式中

圖3 永磁電機的時空矢量圖Fig.3 Time and space phasor diagram of PM motor

從式（2）～式（5）可知，為了計算某工況下的 Xd和 Xq，需要獲得電樞繞組相電阻 R1的大小以及矢量U、I、E0的幅值和相位。

3.2 改進矢量圖法求解穩態參數

在使用上述常規的矢量圖法求解時，感應電動勢使用的是恒定空載感應電動勢，這事實上假定了在負載運行時由永磁體激勵的感應電動勢大小不受直、交軸電流大小等條件的影響。實際上，在永磁電機的負載運行時，由于電樞反應磁勢加載在直交軸之間的位置上，由永磁體激勵的磁場的軸線并不在直軸上，即存在著直、交軸交叉磁化的現象[13]。所以，當由永磁體激勵的磁場所感應的電動勢 Epm不僅僅有交軸分量EpmQ而且還有直軸分量EpmD時，就需要對矢量圖進行修正，如圖4所示。

圖4 修正的永磁電機負載運行矢量圖Fig.4 Improved time and space phasor diagram of PM motor

同理，還需要對式（2）、式（3）進行修正

4 考慮交叉飽和的Epm計算

本文討論的由矢量圖法計算穩態參數，而定子繞組電動勢大小和相位的求取是工作重點。

4.1 交叉飽和效應分析

按圖1所示的計算流程，在電機穩態運行時，不同工況下電機內磁力線走向與飽和情況如圖5所示。

圖5 不同負載條件下磁場圖與磁場飽和程度Fig.5 Flux and saturation field contour under different load condition

從圖5a可以看出，在只有永磁體單獨激勵的空載運行條件下，磁力線走向和磁路飽和云圖均嚴格關于d軸對稱。從圖5b可以看出，在由永磁體和電樞電流共同激勵的負載運行條件下，電機內定、轉子鐵心飽和分布發生了嚴重畸變，已經不再關于 d軸對稱，偏向了+q軸方向。從圖5c可以看出，基于上述兩種飽和條件，在永磁體單獨激勵下分別建立磁場，氣隙磁通密度法向分量Bn在360°電角度θe內的畸變分布如圖6所示。

圖6 永磁單獨激勵下的氣隙磁通密度Fig.6 Air-gap flux density excited by PMs

為了便于分析，在定轉子相對位置相同的條件下，提取圖5c所示的兩種磁場飽和情況下的氣隙磁通密度進行對比，如圖6所示。由于負載飽和條件下-q軸方向飽和程度較低，氣隙磁場磁極中心已經偏離了+d軸軸線，偏向了-q軸方向，即存在著-q軸磁場，由電機學可知，隨轉子同步旋轉的-q軸磁場將產生d軸電動勢。

4.2 定子Epm的求取

使用有限元方法求取定子繞組感應電動勢有多種方法，一是在定、轉子某個固定相對位置下計算得到氣隙磁通密度，使用磁路法公式進行計算，該方法適合于靜態場計算。對于時步有限元方法，通過與定子繞組交鏈的磁鏈對時間求導求取感應電動勢的波形，磁鏈由繞組區域的節點矢量磁位A來表示[12]。在每個時步下使用負載飽和磁導率，完成永磁線性場計算之后，通過前向歐拉法利用式(8)計算得到該時刻下的永磁電動勢epm(t)為

式中 K—一個由繞組連接方式等諸因素決定的系數，它是一個常量；

np—該線圈邊所包含的單元總數；

Δe—單元面積；

Ai，Aj，Am—單元的三個節點的矢量磁位。

進行整個周期計算，即得到該周期下的感應電動勢波形，圖7a所示的是在兩種飽和條件下分別求得的感應電動勢波形。

圖7 不同飽和條件下Epm求取Fig.7 Epm calculation under different saturation conditions

使用矢量圖法求解參數時，以各矢量列寫方程，所以此處只需要分析各量的基波分量。從圖7b中可知，在負載場飽和條件下，永磁感應電動勢基波Epm按分別向+d和+q軸投影的方法分解為直、交軸分量，假定在空載情況下轉子作同樣的旋轉得到的感應電動勢E0的相位角為零度時，EpmD、EpmQ分別為

式中 EpmD，EpmQ—永磁磁場在直軸和交軸上感應的電動勢；

α—Epm落后E0的角度。

得到之后，其他各量按常規方法求取，即可代入到式（6）、式（7）求取直交軸電抗。

5 穩態參數的計算算例

本文對圖2所示的樣機進行了仿真計算，端部漏抗Xe參照文獻[14]介紹的適用于普通交流電機的磁路分析方法計算得到，并且不考慮在大電流情況下的漏磁路飽和問題，認為該值在合理的負載范圍內保持恒定。經計算該樣機的Xe=0.0215Ω，其他計算條件可以任意給定，現以額定負載工況為例：負載轉矩TL=280N·m、線電壓Ul=380V進行計算，以A相為例，各矢量為

進而得到功角θ=35.70°、功率因數角φ= -4.50°、內功率因數角ψ=40.20°，代入式（6）、式（7）計算得到Xd=2.692Ω和Xq=6.371Ω。

需要說明的是，上述算例是在一個任意負載下的計算結果，當負載以及供電電壓發生改變時，由于鐵心飽和程度也會相應地發生變化，所以 Xd與Xq的值也會相應地改變。這就意味著同步電抗并不是一個恒定不變的值。為此，本文改變運行工況，重復進行上述計算步驟可以得到一系列隨負載變化的電抗參數。

如果不考慮交叉飽和作用，認為永磁感應電動勢不隨飽和情況變化而改變，使用事先計算得到的空載感應電動勢E0=224V，連同式（10）的電壓和電流矢量一起代入式（2）、式（3），求得Xd=2.173Ω和Xq=4.828Ω。

6 測試對比

測試 Xd和 Xq的方法有多種，如電壓積分法、電流衰減法、雙回路法、矢量圖法等，不同的方法各有局限性和優點[5]。為了與前文的計算結果進行更好地對比，使用矢量圖法測試穩態參數[2]，測試平臺如圖8所示。

圖8中直流電機根據需要可以運行在電動或發電狀態，運行在發電狀態時將其發出的電能通過逆變的方式回饋電網，并通過控制逆變器的工作狀態改變施加在永磁電機上負載。圖8中的傳感器同時有三方面的作用：采集軸上傳遞的扭矩大小；由其集成的光電碼盤實時檢測轉速；該傳感器集成有第二碼盤，每周輸出一個脈沖信號，同以檢測電機端口電壓相位與轉軸位置之間的相對關系。

圖8 電機多功能測試平臺Fig.8 PMSM multifunction test platform

使用矢量圖法測試參數需要分兩步進行：首先，使直流電機工作在電動機狀態，驅動永磁電機于同步轉速下空載發電運行，由高速數據采集系統采集出空載感應線電動勢E0波形和轉子位置脈沖信號，如圖9所示。

圖9 E0和轉子位置脈沖信號Fig.9 E0 and the rotor sign positions in time domain

然后改變永磁同步電機為電動機工作狀態，在保證轉子轉向與發電狀態測試時轉向相同的條件下，測試在負載條件下供電線電壓的基波相位相對于轉子位置脈沖的相對位置如圖10所示。

圖10 U和轉子位置脈沖信號Fig.10 U and the rotor sign positions in time domain

在完成永磁同步電機空載發電和電動帶載運行之后，以轉子位置脈沖信號作為標志位置，將感應電動勢波形與供電電壓波形疊放在同一張圖上（見圖 11），保證標志位置完全重疊，供電電壓波形超前感應電動勢波形的角度就是所要求的功率角。

圖11 U、E0和轉子位置脈沖信號疊加圖Fig.11 superposition of U，E0 and rotor sign positions

由于本測試認為在負載運行時感應電動勢的大小保持不變，幅值位置處在交軸軸線上，屬于前文所述的常規矢量圖法測試。將使用上述方法測試的電壓、電流、反電動勢和功角，代入到式（2）～式（5），得到 Xd和 Xq。通過改變圖 8中所示直流發電機逆變上網的功率來改變被試永磁電機的負載，測試得到同步電抗隨負載率變化的曲線。

眾所周知，由于電機負載運行時主磁場由永磁體和定子電樞電流共同激勵產生，無法分離，在測試時無法測出，為了與常規矢量圖法對比，本文使用時步有限元方法分別依常規矢量圖法和改進矢量圖法計算了 Xd和 Xq。并且計算了在額定電壓下同步電抗參數隨負載變化的曲線，如圖12所示。

圖12 時步有限元兩種計算與實測結果對比Fig.12 Compartment of two kinds calculated results and the measured resaets

在圖12中，常規矢量圖法測試值，指使用本節介紹的方法進行測試得到的值；常規矢量圖法計算值，是指以時步有限元為工具模擬實際測試方法計算得到的值。可以看出 Xd的值除去測試的第一點外，其他值都吻合得非常好，這是因為在負載較小時繞組總電流較小。在電流較小時式（2）及式（3）接近奇異，較小的電流誤差會引起測試所得參數較大的變化，這種情況對于Xq的測試更為明顯，以至于在負載率達到50%以上時計算與測試值吻合度才相對較高，但這也證明了有限元方法整體上是可靠的。改進矢量圖法計算值，是指考慮直軸磁場產生直軸電動勢的情況下計算得到的電抗參數，可以看出該方法與不考慮交叉飽和磁化的“仿真測試計算”方法計算的結果差別較大，這也證明了忽略交叉飽和會引入較大的計算和測試誤差。

7 結論

本文研究了永磁電機在負載工況下交叉飽和效應的存在性，以及由其導致的永磁磁場畸變產生帶有直軸分量感應電動勢的問題，證實了常規矢量圖法求解穩態參數存在一定誤差。為了避免該誤差，本文在使用時步有限元方法進行常規負載計算的同時，又計算了該負載飽和條件下永磁體單獨激勵時的繞組感應電動勢，并分解得到直、交軸分量，進而對常規矢量圖進行改進，最終得到了計及交叉飽和效應的直、交軸電抗參數。通過對比兩種方法的計算結果和實測數據，揭示了常規矢量圖法的局限性，從而為計算該電抗參數提供了新的方法。

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