基于資源作為決策變量的多項目資源共享管理方法

徐 琳

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

在多項目環境下，隨著項目數量的增加，規模的擴大以及地域范圍的擴展，必然會引起多項目并行實施過程中對有限資源的競爭。因此，合理有效地配置項目資源以保證各并行項目的工期要求是多項目管理研究的重點。然而，在多項目背景下各項目之間存在資源競爭、工期沖突等多種限制及聯系，彼此并不孤立存在，而且這些相互聯系加大了多項目資源共享的難度，尤其是并行項目間的資源沖突;同時，各項目由于資源的共享彼此相依，一個項目的延遲往往會引起整個項目系統的延期。因此，有效解決多項目資源共享，對確保各項目按時、按質完成以及提升組織的經濟效益具有重要意義。為此，本文針對各項目資源受限、工期固定條件下的多項目管理問題，在綜合考慮項目活動間資源約束及邏輯關系，假定活動所分配資源數量與活動持續時間成反比關系的條件下，以資源為決策變量，從活動分配的資源數量入手，建立了以資源為決策變量的多項目資源優化配置方法，以優化多項目整體工期。

1 資源作為決策變量在多項目管理中的理論依據

1.1 多項目管理中資源沖突的產生

在企業管理中，絕大部分的項目需要在多項目環境下執行，項目與項目之間存在工期沖突、資源競爭等多種聯系，而且這些聯系并不孤立存在，這使得項目管理變得非常復雜。傳統的項目管理方法在單項目管理中能很好地發揮作用，但在資源有限的情況下，由于這些方法忽視了資源約束的存在，已經不能有效地對并行多項目進行管理。

傳統的關鍵路線法(CPM)及計劃評審技術(PERT)等項目管理工具把重點放在了活動間前后關系的分析上，并沒有足夠重視資源約束，對資源的規劃功能較弱，導致計劃與實際執行進度之間存在較大偏差。圖1 為關鍵路線法下單項目資源沖突示意圖。

圖1 單項目資源沖突示意圖

圖中假設活動1 的持續時間為8個工作日，活動2的持續時間為10個工作日，活動3的持續時間為15個工作日，活動4 的持續時間為10 個工作日，活動5 的持續時間為6 個工作日。在活動1 ～5 這個系統中，活動1、3、5是關鍵路徑;然而，活動2 需要使用與活動l 相同的資源A，而該資源只能同時執行1項活動。因此，由于資源沖突的存在，活動2和活動1不能同時展開。在考慮資源限制的情況下，活動1、2、4應該作為關鍵活動。由此可見，在資源的規劃上，計劃評審技術及關鍵路線法等項目管理工具由于忽視資源約束，極易造成資源沖突在活動間產生，故效果不佳。

資源的共享和活動間的邏輯關系會使各活動聯系緊密，1個活動的延遲會傳遞到下1個活動上，這會造成逾期累積而不僅僅是平均分攤。1個項目在多項目系統中的延遲也會傳遞給下1個項目，進而推遲整個系統的運行時間。圖2為多項目資源沖突示意圖。

圖2 多項目資源沖突示意圖

圖2中，項目2的活動3、項目1的活動1 及活動3共享資源A。如果項目1 中活動3延期完工的話，項目2中活動3的延期開工便不可避免;即使項目1中活動3沒有延期，當項目2中活動1未能及時完工時，也會導致資源A的閑置。顯然，在多項目系統中，人力、時間、資金等資源在項目間和項目內部需要共享，這樣一來項目之間便會為了人力、時間、資金等資源而進行競爭，這將使得資源沖突加劇，資源在多項目間的配置難度將大大增加。

1.2 資源作為決策變量的理論依據

項目資源分配與項目進度在多項目環境下關系密切。一方面，項目進度深受項目資源分配方法的影響，縮短項目進度可以通過資源在項目間的有效分配來實現，這對于產品周期的縮短具有積極意義，進而能使產品更早投入并占領市場，實現更多的利潤;另一方面，資源分配和項目進度安排又不可分割，聯系緊密。項目進度安排中的一個重要部分便是資源分配，稀缺資源的使用情況和時間節奏是項目進度安排所必須考慮的問題。在一定程度上，項目進度安排決定著項目的資源分配問題，確定每個時間段上每個活動分配的資源，有效地把組織資源分配到每一個項目的各活動中，通過資源的合理配置，可優化多項目整體工期。多項目資源共享問題在當前資源受限、活動持續時間一定、分配給各活動資源數量一定且已知活動間邏輯關系的情況下，為一個建立模型并對其進行求解以優化多項目工期的過程。

一般情況下，項目進度的展開包含以下步驟:對工作結構進行分解、對活動先后次序進行排序、對活動時間進行預測以及對網絡進度進行規劃。估計活動持續時間時，必須足夠重視可使用的資源數量，也即是說，在估計某項活動的持續時間時，項目管理人員必須對未來的資源可用數量有所考慮。預測活動持續時間是制定項目計劃基礎工作中的關鍵環節，其準確性的高低對各節點網絡、各活動時間的確定和整個項目所需總時間的花費均有重大影響。在估計活動持續時間時，必須充分考慮人、財、物等各種因素，做到統籌兼顧，避免顧此失彼。如果活動持續時間估計太長，會延長整個項目的完工期;相反，如果活動持續時間估計太短，則會造成工作被動、緊張的局面。活動持續時間在實際工作中往往會受到活動實際工作量以及分配到該活動的資源數量的影響。

在已有研究的基礎上，假定活動工作量在每個活動中與活動持續時間成正比關系，資源數量在每個活動中與活動持續時間成反比關系，并將工作量、資源變量、活動持續時間的含義作如下規定。

1)工作量Ua為活動量的變量，表示活動a 的工作量。

2)資源數量Ra為資源分配數量的變量，表示活動a 的資源分配數量。本文以每項活動分配的資源數量為變量，假定每項活動只用到1 種資源，通過對分配給每項活動的資源數量進行優化，來對多項目總體工期進行優化。

3)活動持續時間Da為活動開始到活動結束所經過的時間跨度，表示活動a 的活動持續時間。在資源變量及活動工作量已知的情況下，可以計算活動持續時間。工作量Ua、資源數量Ra、活動持續時間Da三者有如下關系

在按項目進行管理的組織中，各種資源可在項目間進行自由流轉。由于活動分配的資源數量與活動持續時間成反比，故在已知活動工作量和活動間邏輯關系的前提下，本文以每項活動分配的資源數量為決策變量，通過對其進行優化，可實現多項目資源的優化配置。

2 資源作為決策變量的多項目資源共享管理方法

多項目資源共享是否合理將嚴重影響各項目的完工期，而其在資源受限條件下又非常復雜。假設各項目工期固定、資源受限，以此實現多項目加權超期之和最小的問題可以描述如下:組織內部同時進行著m 個項目，這些項目將共享L種資源;項目優先級為已知，共享的每種資源都有有限的供給量;每個活動只用共享資源中的1 種，且同一項目中不同活動使用的共享資源不同;每個活動只能在其前面的所有活動完成之后才能開始。

2.1 資源作為決策變量的多項目資源分配模型

為了使復雜問題得到合理簡化，鑒于模型主要用于求解多項目間資源在受限情況下的分配問題，本著盡可能符合實際背景的原則，本文做出如下假設:

1)各項目的優先級已經確定;

2)在各項目執行期間，各種共享約束資源總供給量保持不變;

3)項目內部活動間的邏輯關系為“開始—結束”關系，即任一活動只有在其所有緊前活動都結束后才能開始;

4)各項目中所有活動所涉及的工作一旦開始，那么在執行完成之前不能被其他活動中斷;

5)活動持續時間與所分配的資源數量(在一定資源區間內)成反比關系，與活動工作量成正比關系;

6)每個活動最多受到1 種資源約束。

根據以上假設，對項目優先級進行綜合考慮，得到了用于求解多項目間資源在受限情況下分配問題的模型。此模型將各活動分配的資源數量作為一個決策變量，通過對共享資源數量進行優化，達到了多項目整體工期優化的目的。

1)目標函數，用于求解m 個項目超期之和的最小值

2)第t 天實際使用第f 種資源的數量St

3)第t 天項目k 使用第l 種資源的數量

4)項目k 活動i-j 的開始時間限制

5)項目k 活動i-j 的結束時間限制

6)資源限制

7)項目k 的實際工期求解函數

8)項目k 的緊前關系約束

9)項目k 各活動的持續時間

10)項目k 活動i-j 實際可分配資源數量的約束

式中:F(m)為目標函數，表示企業m 個項目加權超期之和;m 為項目代碼;Tk為項目k 的實際完工工期;T*k 為項目k 的合同工期;l 為資源代碼;Sl為第l 種資源的可用數量;Xkij為0，i 變量，當項目k 代碼i、j 相聯系時取1，否則取0;Ykij為項目k 活動i-j 分配第l 種資源的上限;Zkij為項目k 活動i -j分配第l 種資源的下限;TS(ki，kj)為項目k 活動i -j 的實際開始時間;TF(ki，kj)為項目k 活動i - j 的實際結束時間;R(lt)為第l 種資源在第t 天的實際使用量;Rk(lt)為項目k在第t 天使用第l 種資源的數量;Rkij(l)為項目k 活動i-j 分配第l 種資源的數量;Wki為項目k 活動i 的開始時間;Ukij為項目k 活動i-j 的工作量;Dkij為項目k 活動i -j 的持續時間;Pk為項目k 的優先級。

2.2 基于遺傳算法的模型求解

遺傳算法是一種基于選擇機制和生物進化的隨機搜索算法，其對求解問題的限制以及本身的并行性較少，具有收斂快、通用性強以及計算簡單等優點。同時，由于他能在整個解空間進行搜索，有利于找到最優解，故在解決多項目資源優化問題中得到了廣泛應用。圖3 為基于遺傳算法的多項目管理問題求解流程。

圖3 基于遺傳算法的多項目管理問題求解流程

利用遺傳算法對模型進行求解包含如下步驟。

1)產生潛在初始解群體的方法。隨機選取作為一組初始解的n 個解，稱作一個種群(population)。在以資源為決策變量的多項目資源共享管理中，每個初始解均表示在分配不同資源組合的情況下，多項目所有活動的總體工期。一系列初始解構成的解集稱為原始群體。初始解具有隨機性，如果時間允許，其可能產生于整個解空間之中，能更好地體現優化問題所描述的生態環境。母體數N 是每一代的個體總數，為固定值，即初始解的個數。因為總計算時間會受到每一代運算量的影響，結果會受到初始解分布情況的影響，所以N對計算時間和計算結果都有影響。N 越大，所需的時間越多。根據經驗數據，合適的N 值應該在50 左右。

在首次迭代時，初始解群體會在解空間中隨機產生，此時應設置進化代數f 為1;否則，應當操作遺傳算子產生一些新個體，并從記憶庫中提取Nm個最優個體來組成新一代群體，并將進化代數t 增加1。

2)染色體編碼方式的確定。使用遺傳算法進行求解前，需要對目標問題進行編碼和譯碼。由遺傳算法編碼空間向問題空間的映射稱作譯碼(decoding);相應地，由問題空間向遺傳算法編碼空間的映射稱作編碼(encoding)。編碼很大程度依賴于問題的性質，是遺傳算法的關鍵步驟，其好壞對遺傳操作的設計效果有直接影響。在進行編碼時，必須對“染色體”的可行性、合法性、約束性及有效性進行考慮。

3)染色體的Lamarkian 特性。染色體的Lamarkian 特性是指染色體的優點(merit)是否可以通過遺傳操作傳到后代種群的一種特性。如果通過遺傳操作后代可以有效繼承父代的優點，編碼便具有Lamarkian 特性;反之，編碼便不具有Lamarkian 特性。

4)解碼的復雜性。不同的編碼方案所帶來的解碼復雜程度不同，由于個體經過遺傳操作后，必須通過解碼才能確定其適應值，因此解碼的復雜性也是需考慮的一個因素。

5)編碼的空間特性。這里希望得到僅含可行解的搜索空間，因此編碼時需要考慮碼所表征空間的冗余性、完全性和可行性。

6)存儲的需求。編碼可以分為二進制編碼和非二進制編碼兩大類，編碼方法的選取與實際問題密切相關。二進制編碼將問題空間的參數表示為字符集{0，1}構成的位串，具有域的獨立性，對處理的所有問題非常簡潔、一致。然而，其對于許多問題的處理又不自然，此時便要用到非二進制編碼。

本文考慮問題的具體要求，采用非二進制編碼。結合上述分析，選取活動分配的資源數量作為染色體基因值，按照活動編號順序將所有活動排列成1 行，組成1 個染色體串。圖4 為染色體結構。圖1 中，Rkij(l)表示第k 個項目活動i→j 分配第l 種資源的數量

圖4 染色體結構

與傳統二進制編碼相比，這種染色體編碼方式具有如下優點:①串行進度安排方案的特點在圖4 所示的表示方法中得到了巧妙利用，使得解碼和編碼過程算法基本保持一致，讓工作變得比較簡單;②定做的遺傳算子的存在能滿足編碼方案的要求，又避免了后代染色體在二進制編碼方案中出現。

3 資源作為決策變量的多項目資源共享方法應用

以某航空研究所為例，在研究所內部由于多項目資源共享牽涉到眾多部門，通過對具有相似功能的資源進行歸類，調整后的研究所成為了一個資源平臺。同時，研究所通過對相似項目進行整合，形成了項目成組管理模式，非常有利于資源效用最大限度地發揮。此外，資源在研究室內部也由若干項目組成一個小組，若干組項目便對應著研究室的多個小組。以某成組項目為例來介紹多項目資源共享以資源為決策變量的方法實施程序。在與關鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)進行比較的基礎上，驗證了以資源為決策變量的多項目資源共享方法的有效性。

3.1 背景分析

假設研究所現在面臨甲、乙、丙3 個項目。項目按重要程度和緊急程度依次為項目甲、項目乙、項目丙，工期分別為50、60、70 d，每個項目均包含光學設計、結構設計、系統設計、視頻電子集成、制造、控制系統設計、裝配調控檢測以及空間環境模擬等8 項任務。圖5 為項目雙代號網絡圖。

圖5 項目雙代號網絡圖

由于研究所資源有限，若項目甲、項目乙和項目丙同時進行，則資源沖突將不可避免。因此，明確每項任務的基礎之后，辨別出瓶頸資源是首要任務。即必須弄清制約多項目各活動的資源因素，進而確定每個時間段內每項活動的資源分配數量。

1)對每項活動需要使用的資源數量進行明確。巧婦難為無米之炊，資源的支撐完成活動的基礎，活動的持續時間取決于資源搭配的合理程度及分配的數量。

2)通過分析活動需要使用的資源，對關鍵資源予以確定。在對每項活動需要使用的資源數量進行明確的基礎上，需要對每項活動的關鍵資源進行確定，同時對各項活動所需的資源進行分析。

3)對活動工作量進行明確。由于資源分配數量與活動持續時間成反比關系，活動工作量與活動持續時間成正比關系，故必須根據模型需要對各活動的工作量進行確定。對活動工作量進行確定可采用專家判斷法，通過與以往相似項目歷史信息進行類比實現。表1 所示為活動信息。

表1 活動信息

3.2 資源作為決策變量的多項目管理方法應用研究

運用前述多項目資源共享以資源為決策變量的方法，根據表1 給定的約束條件和相關數據，可通過求解得到分配給各活動的具體資源數量，詳細信息見表2。

在此基礎上，假定項目每天均是工作日，并且甲的第1個活動從一已知時間開始，就能得到每個活動分配的資源以及開始、持續和結束時間。

3.3 關鍵鏈多項目管理方法應用研究

依照前文給定的約束條件，可運用關鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)，采用最快完成時間，求解得到每個項目活動的開始時間、結束時間以及資源在各活動間的分配情況，見表3。

表2 多項目各活動分配資源數量

表3 各項目活動分配資源數量

為了能與本文所述方法一致，同樣假定項目每天均是工作日，并且甲的第1 個活動從一已知時間開始，就能夠得到每個活動分配的資源及開始、持續和結束時間。

3.4 數據對比及原因分析

提取2 種方法求解得出的計算工期，通過將合同工期與以上2 種方法求解得出的計算工期進行比對，不難發現2 種方法孰優孰劣。本文方法與關鍵鏈多項目管理方法具體的比對結果見表4。

表4 本文方法與CCMPM 的結果對比分析

分析表4 可知:在本文所述方法下，3 個項目在合同期內均能完成。然而，關鍵鏈在多項目管理方法下，第3 個項目將會延期4.6 個工作日，雖然能夠在規定的合同期內完成前2 個項目，但3 個項目的整體效果不如本文的方法。比對顯示本文方法具有一定的優勢。通過與關鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)進行實踐比較，本文方法的適應性和先進性得到有效驗證。

下面對本文所述方法與關鍵鏈多項目管理方的優劣進行比對分析。在關鍵鏈多項目管理方法下，企業只對活動的先后順序和資源約束等情況進行了考慮。以資源為決策變量，通過對每個活動分配的資源數量進行優化，使得實現資源共享在多項目間得到了有效實施，擴大了對多項目進行優化的范圍。通過對求解區域進行比對可知，本文方法通過假設活動分配的資源數量與活動持續時間成反比關系，每個活動的工作量確定，擴大了資源共享管理的求解區域，因此有利于找到更滿意的解。

4 結束語

當前對多項目資源共享的研究主要集中于多項目工期的優化，而且這一研究基于各項目持續時間和各項目所分配數量這一既定假設。本文在活動分配資源與活動時間成反比的假設下進行研究，將資源作為研究變量，通過對資源配置進行優化來更好地實施多個項目，在此基礎上，建立了資源作為決策變量的多項目資源共享管理方法，給出了數學模型及算法。通過與關鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)實際應用結果的比對，進一步驗證了本文資源配置方法的可行性和有效性。

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