三邊固定三角形板在集中彎矩作用下的彎曲

何 偉，蘆 亮

(中國人民解放軍92306 部隊，海南陵水 572425)

隨著經濟的發展，大型廠房，高層建筑的建設得到了迅猛的發展。這樣不可避免的渉及到彎矩作用對三角形板的彎曲的影響。如大型船板在電機偏心轉子作用下引起的彎矩，突然啟動機械設備引起的彎矩等等。本文應用混合變量法［1］研究三角板上任意一點作用一集中彎矩的三角形板的彎曲問題。

1 斜邊自由兩邊固定的三角形板的彎曲

1.1 對實際系統的約束分布

取在一流動坐標(ξ，η)處有一單位集中力作用的四邊簡支矩形板的一半為基本系統，如圖1 所示而取斜邊自由兩邊固定，在任意一點(x0，y0)處有一集中彎矩作用的同一直角

三角形板為實際系統，如圖2 所示。

在計算三角形板的彎曲時，將要用到單位載荷基本系統的相應量由文獻［2］得

圖1 基本系統

圖2 實際系統

圖3 解除約束的實際系統

對于實際系統，解除固定邊的彎曲約束，這一約束被分布彎矩所代替，如圖3 所示。

1.2 撓曲面方程

假設自由邊的撓度和轉角方程分別為

并且在圖1 所示基本系統與圖3 所示實際系統之間應用混合變量法。混合變量的總勢能為

則可得到作為實際系統的三角板的撓曲面方程為如下形式

于是我們得到

式中αn=nπa/b。

將式(11)～式(16)代入式(10)，便得到三角形板撓曲面的一般方程。

1.3 邊界條件

撓曲面方程(10)必須滿足下述邊界條件

將式(10)代入式(17)～式(20)經整理，最后得到四個方程。

1.4 數值計算

作為數值算例，取a=b=1 m，集中彎矩M=100 N·m，彈性模量E=200 GPa，泊松比v=0.3，分別取彎矩作用在點(0.2，0.2)、(0.3，0.3)和(0.5，0.5)處，計算出斜邊的撓度。m=n=1，2，3，…，各取到80，用Matlab 軟件編程［3］計算可得參數am，bm，Em和An，將所得結果代入撓曲面方程中，即得到撓曲函數的數值解。表1 給出了斜邊撓度值的本文計算的結果和ANSYS 有限元［4］計算結果。

表1 斜邊的撓度變化數據表Ma2/bD(×10－3)

2 結論

本章依據彎曲薄板的混合變量法，對三邊固定的三角形板進行了計算，給出了集中彎矩作用下三角形板的撓曲面方程。對不同問題在Matlab 平臺上進行了數值計算，計算表明:用混合變量法所求的結果是正確的。

［1］付寶連.彈性力學中的能量原理及其應用［M］.北京:科學出版社，2004:561—585

［2］徐翔.從Levinson 理論一致變分到高次翹曲梁理論［J］.工程力學，2008，25(2):56－61

［3］陳杰.MATLAB 寶典［M］.北京:電子工業出版社，2007

［4］王新敏.ANSYS 工程結構數值分析［M］.北京:人民交通出版社，2007:378－384