基于MATLAB 的壓桿穩定性分析

劉明超，李 慧，劉俊杰

(1.山東大學土建與水利學院，山東濟南 250002;2.北京理工大學宇航學院，北京 100081)

壓桿穩定性分析是工程實踐中的常見問題。為了保證機構安全可靠地工作，必須使壓桿處于直線平衡狀態，如果將壓桿的工作載荷控制在臨界載荷允許的范圍內，則壓桿就不會失穩。由此可見，臨界載荷的確定對于壓桿穩定性的分析是非常重要的。

在實際分析壓桿穩定性的問題中，臨界載荷的確定通常采用手工計算的方法，往往比較繁瑣。本文在經典穩定性理論的基礎上將計算過程系統化、公式化，繪出了流程圖，并編寫了壓桿穩定性分析的MATLAB 程序，與手工計算相比，更加方便實用。

1 經典穩定性理論

1.1 大柔度壓桿臨界應力(歐拉)公式

對于滿足λ≥λp的壓桿，就稱之為大柔度壓桿，也即細長壓桿。其在失穩時處于線彈性范圍(即彈性壓桿)，臨界應力計算可采用歐拉公式:

式中:λ為壓桿的柔度。

1.2 中柔度壓桿臨界應力經驗公式

對于滿足λs≤λ≤λp的壓桿，稱為中柔度壓桿。其失穩時橫截面上的應力超過了材料的比例極限σp，但未超過屈服極限，材料仍滿足非線彈性應力應變關系，壓桿將發生非線彈性失穩。

對中柔度壓桿，臨界應力的計算公式是以實驗結果為依據歸納出的經驗公式，常用如下直線公式:

式中:λ為壓桿的柔度;a、b 均為材料常數，可查表得出。

1.3 小柔度壓桿臨界應力公式

對于滿足λ＜λs的壓桿，稱為小柔度壓桿。其失穩時橫截面上的應力理論上超出了σs，故其不會發生失穩，它的破壞是由于軸向壓縮的強度不夠造成的。故應由軸向壓縮的強度條件控制其軸向應力，即:

注:對于脆性材料，可將式中σs換為σp。

2 穩定性分析的程序設計

2.1 程序流程圖

繪制程序流程圖如圖1 所示。

圖1 壓桿穩定性分析程序流程

2.2 MATLAB 程序

程序采用可視化界面操作，操作界面如圖2 所示。

圖2 程序操作界面

3 算例驗證

圖示結構中，AC為剛性梁，BD為直徑d=24 mm 的圓截面桿，彈性模量E=200 GPa，λp=100，λs=60，中柔度壓桿臨界應力經驗公式為σcr=(304－1.12λ)MPa，已知s=1 m，l=0.5 m，F=5 kN，試校核該結構的穩定性是否合格。

圖3 結構計算簡圖

受力分析，得BD 桿為壓桿，壓力為:

該題目中BD 桿為壓桿，校核其穩定性，根據受力分析結果輸入參數，運行MATLAB 程序，分析結果如圖4 所示。

圖4 穩定性分析結果

由程序分析所得結果可知，該壓桿穩定性合格。

4 結束語

通過以上理論分析和算例驗證我們發現，利用計算機和MATLAB 軟件進行結構穩定性分析方便實用，很大程度上提高了工作效率。同時，本文只給出了分析圓截面桿的程序，按照同樣的思路稍作修改即可推廣到其他規則截面。

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