矢量場環(huán)量強度方向特性的一種證明過程

徐慧婷，焦重慶

(華北電力大學電氣與電子工程學院，北京102206)

0 引言

旋度是“電磁場”課程中一個非常重要的基本概念［1］。由于定義比較抽象且數(shù)學描述復雜，旋度這一知識點屬于“電磁場”課程中的難點內容之一。通常，《電磁場》教材引入旋度的邏輯順序為:矢量場的環(huán)量(閉合曲線積分)—環(huán)量強度(或環(huán)量面密度)—環(huán)量強度的方向特性—旋度—斯托克斯定理。其中，比較關鍵的就是環(huán)量強度的方向特性:環(huán)量強度可以表示成某一待定矢量(即后來的旋度)與環(huán)路法向單位矢量的點積。環(huán)量強度與旋度的關系類似于方向導數(shù)與梯度的關系。

在環(huán)量強度的方向特性上，《電磁場》教材上主要有兩種論述方式:①直接陳述，不加以證明;②以斯托克斯定理為基礎。

具體來說，方式①并沒有證明方向特性，而是以方向特性為已知來引出旋度并求解旋度的表達式:在直角坐標系下，分別考慮與三個坐標軸相垂直的三個微小矩形回路，依據(jù)環(huán)量強度的定義分別求出上述三個特殊矩形回路下的環(huán)量強度。這三個環(huán)量強度可以分別看成旋度在三個坐標方向的三個分量，或者說，將這三個分量組合成的矢量便是旋度［2-5］。方式②以“高等數(shù)學”課程中已證明的斯托克斯定理為基礎(該定理的證明不需要借助旋度的概念)，通過該定理將環(huán)量強度定義式中的環(huán)路積分轉換成面積分，進而可直接得出環(huán)量強度的表達式和方向特性［6-7］。

從理解上來說，方式②是一種不錯的選擇，只不過它與電磁場教材中更偏好的“環(huán)量—環(huán)量強度—旋度—斯托克斯定理”邏輯順序，即把斯托克斯定理當作旋度的后續(xù)導出內容的邏輯順序相背而已。

筆者認為，從環(huán)量強度的定義式中難以直接看出環(huán)量強度具有上述方向特性。因此，如果仍要在形式上堅持從旋度到斯托克斯定理的邏輯順序，就有必要給出一種關于環(huán)量強度方向特性的解釋或證明過程，能從環(huán)量強度的定義出發(fā)導出任意法向方向下環(huán)量強度的表達式。一旦得出了該表達式，方向特性也就不言而喻。這類似于從標量場方向導數(shù)的定義式出發(fā)，導出任意方向的方向導數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)方向導數(shù)的方向特性并進而引出梯度的概念。

本文直接從環(huán)量強度的定義式出發(fā)，針對任意給定的法向方向，通過構造正方形回路詳細推導了環(huán)量強度的表達式，從而得出環(huán)量強度的方向特性和旋度的概念。本文可當作一道綜合性較強的矢量分析和場論習題。

1 幾何模型e

如圖1所示，ABCD四點連成一個正方形。點P為正方形的中心點，點P1，P2，P3及P4分別為正方向的四條邊的中心點。en為一單位矢量，其方向滿足與正方形所在的平面垂直，并與有向閉合路徑ABCDA成右手螺旋關系。et1為點P到點P1的連線方向的單位矢量，e12為點P到點P2的連線方向的單位矢量。此外，我們假設點P的坐標為(x，y，z)，正方形的邊長為a。

按照環(huán)量強度的定義，矢量場F在點P處沿法向方向en的環(huán)量強度可表示成

圖1 環(huán)量強度推導示意圖

式中，Γ為矢量場F沿閉合路徑ABCDA的環(huán)量。

由于環(huán)量強度是在閉合路徑不斷向點P收縮的情況下環(huán)量對路徑包圍面積的比值的極限值，因此在后續(xù)的推導中，可以假設邊長a是一個很小的量，從而可以認為各條邊上的矢量場值分別近似與其中心點處的矢量場值相等。進而，式(1)中的環(huán)量Γ可變形成

式中，“*”代表矢量的點積運算(下同)。

2 矢量函數(shù)的一階近似展開

下面，我們通過一階泰勒展開方法獲得矢量場F在點P1，P2，P3及P4處的近似值。

矢量場F在點P1處的值的分量表達式為

假設 et1=cosαt1ex+cosβt1ey+cosγt1ez

由此可見，點P1的坐標可以寫成

從而F(P1)的x分量可通過多元函數(shù)的一階泰勒展開為

同理，可將F(P1)的y和z分量分別展開為

將式(4)-(6)代入式(3)中，便得到了F(P1)相對于F(P)的展開式:

同理，可得矢量場F在點P2，P3及P4處的值分別為

3 環(huán)量強度的計算公式

正方形ABCD的四條邊矢量可以分別寫成

將式(7)-(11)代入式(2)整理后得到

運用矢量恒等式B(A*C)－C(A*B)=A×(B×C)，可將上式中大括號內的內容變形成

其中，還用到了數(shù)學關系et2×et1=－en和矢量恒等式A×B=-B×A。

將式(13)代入式(12)后可得

運用恒等式A*(B×C)=B*(C×A)，可以將上式等號右邊的三個混合積分別變成

將上式代入式(14)化簡后可得

可以將上式括號內的部分定義成矢量場F的旋度，并記成

我們從上式不難得出旋度在直角坐標系下的表達式:

將式(16)代入到式(1)中，得出如下環(huán)量強度與旋度的關系:

上式表明，矢量場在空間一點處沿某一法向方向的環(huán)量強度實際上是矢量場在該點處的旋度在該法向方向上的分量，也就是所謂的環(huán)量強度的方向特性。

4 結語

本文直接從矢量場環(huán)量強度的定義出發(fā)，選用對稱性好的正方形回路，給出了任意法向方向下環(huán)量強度表達式的推導過程。基于這一表達式，可以清晰地看出環(huán)量強度的方向特性，為環(huán)量強度—旋度關系的講解和旋度概念的引入提供了一條較嚴格的數(shù)學途徑。該推導過程運用到了矢量場的一階近似展開及混合積公式等矢量恒等式，是一道不錯的綜合性矢量分析和場論練習題，可作為討論課的教學素材。

［1］ 黃輝，張小青.“電磁場”課程的三度和旋度研究型教學例析［J］.南京:電氣電子教學學報，2011，33(3):99-102

［1］ 王澤忠等著.工程電磁場［M］.北京:清華大學出版社，2011

［3］ 倪光正.工程電磁場原理［M］.北京:高等教育出版社，2009

［4］ 古恩(Guru.B.S.)等著.電磁場與電磁波(英文版)［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2002

［5］ 楊儒貴.電磁場與波［M］.西安:西安交通大學出版社，1989

［6］ 雷銀照.電磁場［M］.北京:高等教育出版社，2008

［7］ 謝樹藝.矢量分析與場論［M］.北京:高等教育出版社，1978