非線性系統相平面法教學中的新方法

王 冰

(河海大學能源與電氣學院，南京 江蘇 211100)

“自動控制原理”課程是工科電氣信息類各專業一門重要的技術基礎課。通過本課程的學習，使學生掌握自動控制系統的基本原理和分析方法，建立校正概念。其中，非線性系統分析是經典控制理論關于非線性系統的重要的章節，主要講述了兩種非線性系統分析方法:相平面法和描述函數法，一些論文對這部分的教學作了有益的探討[1，2]。

在非線性系統分析這一章的教學中，相平面法是其中的重點和難點。多數教材在這一部分敘述中都包括以下部分:相平面的基本概念、相軌跡的繪制方法、線性系統的相平面分析、非線性系統的相平面分析[3，4]。其中，既涉及到大量的理論概念也包括多種實際應用的操作方法，學生在學習中往往顧此失彼，面對習題也無從下手。

在長期教學的基礎上，我們將該部分內容用點、線、面加以歸納總結，便于學生掌握，并運用于具體習題的求解中。現在，我們從點、線、面三個方面來解析這部分的內容，將其中的主要理論和方法串接起來討論。

1 相平面中的點

首先看看相軌跡上的點，具體來說包括兩類:起點和奇點。所謂起點，即相軌跡的起始點。在繪制相軌跡中，根據相平面選取的坐標，通過已知的初始條件可以推得相關的信息。

奇點也稱為平衡點，具體定義如下:二階系統微分方程的一般形式為

所以相軌跡上每一點切線的斜率為

2 相平面中的線

在對相軌跡的點進行分析后，我們運用線的功能對相軌跡進行完善和準確定位。這里的線也包括兩類:等傾線和漸近線。

先來看看等傾線的概念，由式(2)可以在相平面上畫出一條線，這條線上的各點具有相同的切線斜率，均為α。相軌跡上具有等斜率點的連線稱為等傾斜。理論上，如令α為不同的常數α1、α2…，根據等傾線方程可在相平面上繪制若干條等傾線。當等傾線足夠密集時，在等傾向上的短線方向作一小線段，與第二條等傾線相交;再由這個交點按照第二條等傾線上的短線方向作一小線段，與第三條等傾線相交;依次連接作下去，可得到一條從起點出發的完整的相軌跡。這種等傾線法是一種應用性較強的繪制相軌跡的工程方法，但是在課堂教學中可操作性較差。我們更希望采用等傾斜線作為對點的補充，在相軌跡繪制中為一些關鍵點(如軌跡與坐標軸的交點)提供斜率信息，以便將由起點至終點(一般就是奇點)的中間部分軌跡較為準確、平滑地連接起來，從而提高相軌跡繪制的可靠性和準確性。

還有一類線是漸近線，它是指斜率較為特殊的等傾線，如與橫坐標軸平行(α=0)。并非每條相軌跡繪制都會用到漸近線，但在很多情況下，漸近線對我們繪制非線性系統相軌跡是有幫助的，尤其是在不同區域過渡時，可以作為繪制相軌跡的參照線。

至此，我們已經分析了兩點(起點和奇點)和兩線(等傾線和漸近線)的使用方法，對于一般線性系統的相軌跡繪制，運用以上方法已經可以得到比較準確的相平面圖。但對于非線性系統的相軌跡繪制，還需要運用面的功能。

3 相平面中的面

相平面法就繪制一個面，而對于非線性系統的相軌跡，則需要根據非線性環節的特性，對這個面進行分區。而后在每個區內對應一個線性系統，繪制相應的相軌跡。我們所說的面就是指:運用非線性特性對相平面進行分區，并得到每個分區所對應的微分方程的過程。這一過程是非線性系統相平面分析的必要過程，也是線性系統分析轉化為非線性系統分析的關鍵步驟。但多數教材并沒有對這一過程做專門論述，使得學生只能通過例題掌握這部分的內容。具體說來，包括以下內容:①選擇合適的變量和坐標系;②運用非線性環節提供的開關線，對相平面進行分區;③在各個分區內，分段列寫線性微分方程;④在每個分區運用點和線的方法，分段繪制相軌跡，并連接為一條完整的相平面圖。

上述內容通過點、線和面總結了相平面法學習要點，從新的視角解析如何掌握這種較為復雜的非線性系統分析方法，能幫助學生更加系統和有條理地掌握這一控制理論中的經典分析方法。具體過程可參文獻[3]中的例題，以作為對本方法的實例。

4 結語

筆者在“自動控制原理”課程的教學中，發現相平面法部分由于內容分散和線索不清等問題，給教學都帶來的困難。本文提出了一種點、線和面的講授方法，分別通過點、線和面三方面將這部分主要的知識點串接起來，形成較為清晰的邏輯線索，便于教師分塊講述，讓學生系統掌握這部分主要內容。新方法的特點在于:①內容全面，幾乎覆蓋了相平面法中所有的知識點;②思路清晰，逐層深入:由點的分析確定相軌跡的起點終點和大致形狀，由線的分析細化相軌跡的過渡和連接，由面的分析將線性系統分析轉為非線性系統分析;③聯系實例，與相平面法部分的經典習題結合學習，能夠取得更好的效果。

[1]李世華，田玉平.自動控制原理課程非線性控制部分的教學探討[J].南京:電氣電子教學學報，2007，29(2):95-98

[2]田麗，曹安照.“自動控制理論”中非線性部分教學改革與研究[J].重慶:自動化與儀器儀表，2003，(3):7-8

[3]胡壽松.自動控制原理(第三版)[M].北京:國防工業出版社，1994

[4]謝克明，王柏林.自動控制原理[M].北京:電子工業出版社.，2007