關于KCL、KVL和特勒根定理相互關系的討論

田社平，張 峰，陳洪亮

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200240)

0 引言

基爾霍夫電流定律(KCL)和基爾霍夫電壓定律(KVL)是電路理論的基本規律，它們是電路理論的基石。特勒根定理也是電路基本規律的一種表述。

KCL、KVL和特勒根定理描述了電路的拓撲約束關系，三者之間的關系是:已知任意兩者可推導出第三者。三者之間的關系已有多種方法可以證明[1，2]，它們或簡或繁。如何找到一種簡潔的，與當前電路理論教學內容表述方式相吻合的證明方式，是一個值得研究的問題。

本文在文獻[3]的基礎上，對上述問題進行了進一步的研究，給出了該文獻結論的嚴格證明，同時拓展了KCL、KVL和特勒根定理三者之間相互關系的表達方法。

1 符號約定與基本結論

為分析的方便，本文先給出一些相關符號約定和電路的圖的基本結論。這些內容在一般的電路教材都有敘述[4，5]。

對一個具有n個節點和b條支路的集中參數電路，其支路電壓向量和支路電流向量分別用ub和ib表示，即 ub= [u1u2....ub]T，ib= [i1i2...ib]T，且各支路電壓與電流采取一致參考方向。選定該電路的圖的一個樹，得到電路的基本回路矩陣和基本割集矩陣分別為B和Q，這兩個矩陣的列所對應的支路按照先連支、后樹支的次序進行排列。

樹支對應的樹支電壓向量和電流向量分別為ut=[ut1ut2....ut(n－1)]T，it={[it1it2....it(n－1)]T，連支對應的連支電壓向量和電流向量分別為uc=[uc1uc2....uc(b－n+1)]T，ic= [ic1ic2....ic(b－n+1)]T。在上述假定條件下，有下述基本結論。

(1)B和Q可分別表示為如下分塊矩陣形式:

式中，1c表示一個b－n+1階的單位矩陣;Bt是一個(b－n+1)×(n－1)矩陣;Qc是一個(n－1)×(b－n+1)矩陣;1t表示n－1階的單位矩陣。

(2)B和Q之間滿足如下關系:

2 三者之間相互關系的表達式

對一個具有n個節點和b條支路的集中參數電路，下述關系成立[3]:

式(3)是關于KCL、KVL和特勒根定理形式一(功率守恒定理)之間相互關系的一個非常簡潔的表達式。由式(3)可知，如果KCL、KVL和功率守恒定理中任意之一成立，則式(3)中的對應項為零。其中式(3)左邊第一項對應KCL，左邊第二項對應KVL，右邊項對應功率守恒定理。因此KCL、KVL和功率守恒定理這三者中任意兩者成立，則必然得出第三者也成立的結論。

從式(3)還可以得出如下推論:對一個電路，如果僅僅KCL成立，則有

由上式可以看出，此時KVL和功率守恒定理是互為充要條件的，可以相互導出。

類似地，對一個電路，當僅有KVL成立，則有

則KCL和功率守恒定理是互為充要條件的，可以相互導出。同樣，對一個電路，當僅有功率守恒定理成立，則有

則KCL和KVL是互為充要條件的，也可以相互導出。

[結論]和上述分析類似，我們可以得出下述結論:

上述兩式的證明類似于式(3)的證明，本文不再贅述。

式(7)和式(8)是關于KCL、KVL和特勒根定理形式二(似功率守恒定理)之間相互關系的表達式。同樣從式(7)或式(8)可以看出:KCL、KVL和似功率守恒定理這三者中任意兩者成立，則必然得出第三者也成立的結論。

[推論]由式(4)、式(5)和式(6)可以推論如下:

對兩個具有同樣拓撲結構的電路，如果僅僅KCL成立的結論。

當只有KVL成立，此時KVL和似功率守恒定理是互為充要條件的，可以相互導出。則有

此時KCL和似功率守恒定理是互為充要條件的，可以相互導出。

當僅有似功率守恒定理成立，則有

則KCL和KVL是互為充要條件的，可以相互導出。

3 結語

本文討論的關于KCL、KVL和特勒根定理相互關系具有非常簡潔的形式，這得益于電路圖論和矩陣方程等數學工具的引入。在教育部高等學校電子電氣基礎課程教學指導分委員會制定的“電路理論基礎”課程教學基本要求中，并未將基本回路矩陣、基本割集矩陣、回路方程的矩陣形式和割集方程的矩陣形式等內容列入基本內容，而是將它們列入可選內容[6]。這就意味著講授關于KCL、KVL和特勒根定理相互關系或者解答學生相關的問題時應采用合適的形式。

筆者建議一種可行的辦法是:首先提出關于KCL、KVL和特勒根定理相互關系的問題;在介紹電路圖論時將基本回路矩陣、基本割集矩陣、回路方程的矩陣形式、割集方程的矩陣形式等內容作為自學內容;提示本文的方法，由學生自行探究問題的解決辦法;必要時給予簡要的分析。

筆者在教學實踐中采取這一方法取得了良好的效果，學生普遍反映增強了他們學習電路理論或電路分析方法的興趣，同時加深了對電路基本規律的理解。

[1]P.小彭菲爾德，R.斯彭斯，S.杜因克爾著，肖江譯.特勒根定理和網絡[M].北京:科學出版社.1976

[2]李瀚蓀.簡明電路分析基礎[M].北京:高等教育出版社.2002

[3]任桂英.網絡圖中KCL、KVL及TELLEGEN定理相關性證明[J].北京:水利電力經濟管理學院學報，1987，No.2

[4]陳希有.電路理論基礎[M].北京:高等教育出版社.2004

[5]陳洪亮，田社平，吳雪.電路分析基礎[M].北京:清華大學出版社.2009

[6]教育部高等學校電子電氣基礎課程教學指導分委員會.電子電氣基礎課程教學基本要求[M].北京:高等教育出版社.2011