“數(shù)字信號處理”課程中線性相位的探討

童曉兵，徐以濤，蔡躍明

(解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007)

線性相位是有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)。在數(shù)據(jù)通信和圖像處理等應(yīng)用領(lǐng)域，往往要求信號在傳輸和處理過程中不能有明顯的相位失真，因此具有線性相位的FIR濾波器在工程實(shí)踐上得到了廣泛的應(yīng)用[1]。然而，在“數(shù)字信號處理”課程中線性相位的教學(xué)存在兩個(gè)問題。一是學(xué)生很難理解相位的線性與非線性對信號的特性究竟會(huì)造成什么樣的影響。二是線性相位FIR濾波器的推導(dǎo)過程比較繁瑣復(fù)雜，學(xué)生的理解不夠深刻[2]。本文重點(diǎn)針對這兩個(gè)問題，結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出一種新的教學(xué)方法，從另外一個(gè)途徑加深學(xué)生對線性相位的理解。教學(xué)實(shí)踐證明，這種方法具有良好的教學(xué)效果。

1 非線性相位對信號特性的影響

在線性相位的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對非線性相位產(chǎn)生的相位失真沒有一個(gè)直觀的認(rèn)識。我們現(xiàn)通過一個(gè)例子，利用Matlab仿真來解釋線性相位和非線性相位對于信號特性的影響[3]。

假設(shè)信號為y1(n)=sin(n)+sin(2n)，其波形如圖1(a)所示。其中兩條虛線分別表示兩個(gè)頻率分量sin(n)和sin(2n);粗實(shí)線表示的是兩個(gè)分量的和，即信號sin(n)+sin(2n)。

若該信號通過一個(gè)線性相位的系統(tǒng)，則不同信號頻率分量的相移與頻率成正比，即如果分量sin(n)的相位滯后了φ1。那么分量sin(2n)將滯后2φ1，則輸出信號為

圖1(c)和圖1(d)分別給出了φ1=π和2π時(shí)的圖形。從圖上我們可以看出，這兩幅圖的波形和原始的波形一樣，所不同的是其波形和原始波形之間相差一個(gè)相位π或2π。可見一旦系統(tǒng)具有線性相位，其合成輸出信號波形就不會(huì)發(fā)生相位失真。

若該信號經(jīng)過一個(gè)非線性相位的系統(tǒng)，由于非線性相位，信號的相移和頻率不成正比，則如果分量sin(n)的相位滯后1.5π，而分量sin(2n)的相位可能滯后0.5π，則通過系統(tǒng)輸出信號為

由圖1(b)可以看出，合成的輸出信號和原始信號相比，發(fā)生了明顯的失真。

圖1 信號經(jīng)過不同系統(tǒng)后的波形比較

2 傳統(tǒng)的線性相位的教學(xué)方法

傳統(tǒng)的線性相位的教學(xué)方法，一般是根據(jù)序列信號h(n)的奇偶對稱性推導(dǎo)出H(ejω)的結(jié)果，從而得出相頻特性，其過程可以簡述如下[4]。

當(dāng)h(n)為中心偶對稱時(shí)，通過理論推導(dǎo)可得

于是得到θ(ω)=-(N－1)ω/2。這就證明了一旦h(n)為中心偶對稱，則具有第一類線性相位。

當(dāng)h(n)為中心奇對稱時(shí)，通過理論推導(dǎo)可得

由此可以得到θ(ω)=-(N－1)ω/2－π/2。這就證明了一旦h(n)為中心奇對稱，則具有第二類線性相位。

這種傳統(tǒng)的教學(xué)方法主要依靠數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，教師在講解的過程中比較費(fèi)勁，學(xué)生理解起來也比較困難。

3 新的線性相位的教學(xué)方法

下面我們提出一種利用序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的共軛對稱特性來理解線性相位條件的教學(xué)方法。一個(gè)中心偶對稱序列h(n)，可以看成是一個(gè)偶對稱序列向右平移(N－1)/2單位，如圖2所示。

圖2 偶對稱序列和中心偶對稱序列

根據(jù)DTFT的共軛對稱特性可知，一個(gè)序列可以分解為共軛對稱分量和共軛反對稱分量。其中，共軛對稱分量的DTFT對應(yīng)著原序列DTFT的實(shí)部，而共軛反對稱分量的DTFT對應(yīng)著原序列DTFT的虛部。由于一個(gè)偶對稱序列的共軛反對稱分量為0，因此偶對稱序列的DTFT的虛部也就為0，因此偶對稱序列的DTFT只有實(shí)部，因此一個(gè)偶對稱序列的DTFT的相位為0。根據(jù)DTFT時(shí)移定理，可知移位之后的序列和原序列的DTFT的關(guān)系為

因此，中心偶對稱序列的相頻特性為θ(ω)=-(N －1)ω/2。

同理可知:一個(gè)中心奇對稱的序列，可以看成是一奇對稱的序列向右平移(N－1)/2個(gè)單位，如圖3所示。

圖3 奇對稱序列和中心奇對稱序列

由DTFT的共軛對稱性可知，一個(gè)奇對稱的序列的共軛對稱分量為0，因此奇對稱序列的DTFT的實(shí)部為0。因此奇對稱序列的DTFT只有虛部。因此一個(gè)奇序列的DTFT的相位為－π/2。根據(jù)DTFT時(shí)移定理，可知中心奇對稱序列的DTFT的相位特性為θ(ω)=-(N－1)ω/2－π/2。

這里我們利用以前所學(xué)過的DTFT的共軛對稱性，說明了為什么中心偶對稱的序列，具備第一類線性相位;為什么中心奇對稱的序列具備第二類線性相位。這種方法相比于傳統(tǒng)的公式推導(dǎo)法要簡單明了，既便于學(xué)生記憶，達(dá)到了溫故而知新的效果。

4 結(jié)語

本文通過一個(gè)例子利用Matlab仿真直觀地解釋了線性相位和非線性相位對信號特性的影響，隨后提出了一種利用DTFT共軛對稱性來幫助學(xué)生理解線性相位的方法。該方法不但能夠避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而且加深了學(xué)生對線性相位條件的理解。多年的教學(xué)實(shí)踐表明，該方法具有較好的效果。

[1]徐以濤等.數(shù)字信號處理[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2009

[2]王玉德.“數(shù)字信號處理”課程的教與學(xué)的探討[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30(6):97-98

[3]薛年喜.MATLAB在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用(第二版)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2008

[4]胡廣書.數(shù)字信號處理--理論、算法與實(shí)現(xiàn)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2003