關(guān)于全耦合的一道習(xí)題的討論

于歆杰，許 軍，朱桂萍

(1 清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084)

(2 華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206)

耦合是“電路原理”課程的重要概念，涉及到耦合的知識點(diǎn)包括互感的定義和性質(zhì)、耦合系數(shù)、互感電壓、同名端(包括定義和測量)、互感的去耦等效、空心變壓器、全耦合變壓器和理想變壓器等概念。

對于自感分別為L1和L2的兩個電感來說，如果它們之間存在全耦合關(guān)系，則其耦合系數(shù)為1，于是有[1-6]

對于兩個全耦合的線圈來說，如果分別將它們的同名端連接起來，對外則可以構(gòu)成一個二端網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示，即為一道習(xí)題的電路。

圖1 一道關(guān)于全耦合的習(xí)題

試證明:當(dāng)L1≠L2時，該二端網(wǎng)絡(luò)對外等效為短路;當(dāng)L1=L2=L時，該二端網(wǎng)絡(luò)對外等效為值為L的電感。

這是一個乍一看起來很特別的習(xí)題。證明起來并不太困難，但是怎么理解“除某個特殊情況下該二端網(wǎng)絡(luò)對外等效為短路”這個結(jié)論卻比較費(fèi)勁。下面我們從四個角度分別對該題進(jìn)行分析和討論。

1 從耦合電感的去耦等效出發(fā)

如果進(jìn)行去耦等效，則圖1所示電路可等效變換為圖2所示電路。

圖2 圖1電路的去耦等效電路

容易看出，這種方法將問題的求解轉(zhuǎn)化為等效電路中二端網(wǎng)絡(luò)入端電感的分析，比較簡潔。本法可訓(xùn)練學(xué)生關(guān)于去耦等效和元件串并聯(lián)的知識點(diǎn)，但是物理意義并不明顯。

2 全耦合變壓器的伏安關(guān)系出發(fā)

圖1所示電路相當(dāng)于將一個全耦合變壓器的原副邊并聯(lián)連接起來。在拉氏域中，利用全耦合變壓器的端口關(guān)系可知

式中，n=N1/N2為變比，N1和N2分別為變壓器原、副邊匝數(shù)，I1(s)和I2(s)分別為圖1中i1和i2的象函數(shù)，U1(s)和U2(s)分別為圖1中與i1和i2關(guān)聯(lián)的原副邊電壓的象函數(shù)。由于原副邊并聯(lián)，因此有

式中，U(s)為圖1中u的象函數(shù)。

根據(jù)式(4)和式(6)可知，如果N1≠N2(n≠1)，即L1≠L2，則只有當(dāng)U1(s)=U2(s)=U(s)=0時式(4)和式(6)才能成立。此時對應(yīng)著端口對外表現(xiàn)為短路，即無電感。

若L1=L2=L，則n=1，式(4)自然滿足。由式(5)和式(6)可得

其中，I(s)為圖1中i的象函數(shù)。這意味著有

本方法利用全耦合變壓器的端口特性，推導(dǎo)容易，還利用了匝數(shù)關(guān)系，但物理意義依然不甚明了。

3 從耦合電感等效為流控電源出發(fā)

眾所周知，互感電壓可用流控電壓源進(jìn)行等效。基于這個觀點(diǎn)，可以將圖1所示電路改畫為圖3所示的等效電路(復(fù)頻域形式)。

圖3 圖1電路的流控電壓源等效電路

圖3中根據(jù)KVL可知

將其代入式(9)可得U(s)=0，即對外表現(xiàn)為短路，無互感效應(yīng)。

若L1=L2=L，式(9)右側(cè)兩部分恒等，即KVL自然滿足。由式(9)可知

上式表明，對外等效為電感L。

這種方法在分析式(10)的時候可以明確區(qū)分L1≠L2和 L1=L2=L兩種情況，而且綜合利用了KCL和KVL，是從電路角度出發(fā)比較完整的解法。

4 從磁路和互感的定義出發(fā)

如果要想從更基本的角度來考慮這個問題，就需要回到磁路和互感的定義。為了便于分析起見，不妨假設(shè)圖1所示的兩個線圈是環(huán)形線圈，如圖4所示[1]。圖中實(shí)線為原邊線圈，虛線為副邊線圈。容易驗(yàn)證，二者繞線方式?jīng)Q定的同名端關(guān)系滿足圖1要求。

圖4 圖1電路的理想磁路

進(jìn)一步假設(shè)線圈產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度在線圈包含的空間中均勻分布，而且不泄漏到線圈以外的空間中(全耦合)，兩個線圈的尺寸完全一樣，磁場通路中均為線性介質(zhì)，圓環(huán)截面積為S，磁路長度為l。則圓環(huán)中的磁通為

其中，μ0和μr為真空磁導(dǎo)率和介質(zhì)相對磁導(dǎo)率。

圖4中感應(yīng)電動勢e1和e2的參考方向是根據(jù)電磁感應(yīng)定律確定的。為突出主要矛盾，在式(13)中設(shè)sμ0μr=l。則根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有

將上式代入式(14)可知u=0，即對外表現(xiàn)為短路，無電感效應(yīng)。

如果N1=N2，式(14)右側(cè)兩個部分恒等，即KVL自然滿足。由式(14)可知

由上式可見，它對外等效為電感L。

雖然第4種方法比較繁難，但對本題能夠提供較好的物理解釋。在條件N1≠N2下，將式(16)與式(13)相結(jié)合可知

即磁路中磁通變化率為0。這意味著，如果兩個線圈匝數(shù)不相等，即使線圈中流過變化的電流。為了確保KVL成立，磁路中磁通變化率也必須為0，自然也就不會產(chǎn)生感應(yīng)電壓，因此從線圈兩端來看沒有電感效應(yīng)。關(guān)于磁通變化率為0還可以從另一個角度進(jìn)行解釋:由于穿過每匝線圈的磁通都是相同的，因此磁通變化時在每匝線圈上感應(yīng)出的電壓也是一樣的。如果線圈匝數(shù)不同，則兩個線圈的端電壓會不同。但是端口并聯(lián)的邊界條件又迫使兩個線圈端電壓相同，因此必然使得磁通變化率為0。

另一方面，對于條件N1=N2，此時互感的值等于自感。整個網(wǎng)絡(luò)可以看作兩個等值電感串聯(lián)后再與另外兩個等值串聯(lián)的電感并聯(lián)，因此對外等效為電感L。或者從另一個角度來理解，該網(wǎng)絡(luò)可以看作用兩倍線徑、相同匝數(shù)繞制的電感。在理想情況下，其電感值與線徑無關(guān)，僅由匝數(shù)決定。

下面我們來討論一個看起來更特殊的問題:將兩根導(dǎo)線以相同匝數(shù)并聯(lián)繞制成一個線圈(這對應(yīng)著前面討論的N1=N2情況)，將其用于正弦交流穩(wěn)態(tài)下。某個時刻，由于外界情況使得某根導(dǎo)線的繞制情況發(fā)生了些許變化(比如發(fā)生匝間短路)，這時會發(fā)生怎樣的情況?

由于整個二端網(wǎng)絡(luò)工作于正弦交流穩(wěn)態(tài)下，因此其中的磁通也是正弦交流穩(wěn)態(tài)變化的。在發(fā)生繞制情況變化的瞬間，其磁通具有某個數(shù)值。此后，由于兩個線圈的匝數(shù)不同，端口電壓相同，迫使磁通一直保持該數(shù)值，但變化率為0，對外表現(xiàn)出短路。

這里又揭示出一個可能的應(yīng)用，即儲能。假設(shè)歐姆損耗可忽略，我們可以用兩根導(dǎo)線并繞的方式制成一個線圈，并通以交流電。在適當(dāng)?shù)臅r候(比如磁通最大)，人為控制某根線圈的匝數(shù)發(fā)生改變(比如用開關(guān)器件使得某兩匝間發(fā)生短路)，則磁場能量就被存儲于該磁路中。在需要使用的時候，可以恢復(fù)變化的匝數(shù)(比如該開關(guān)斷開)，整個二端網(wǎng)絡(luò)對外表現(xiàn)為一個電感，可以釋放能量。

相對于直接利用線圈進(jìn)行儲能來說，該方法不需要用開關(guān)切換整個線圈即可完成儲能裝置的投入和切除。或者采用另一種方法，制造兩個不同電感值、全耦合的線圈，先在正弦電路中接入一個電感，磁路中就會產(chǎn)生時變磁通。在某個時刻，投入另外一個電感，此后總磁通將保持在電路切換瞬間的值不變。這種方法比制造兩個電感值完全一致的全耦合電感容易一些。

5 結(jié)語

通過前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，對于本文所示一道習(xí)題來說，從四個不同的角度均可求解。各種方法難易程度不同，所能揭示的物理本質(zhì)也不同。從不同角度求解本題可有助于加深學(xué)生和教師對去耦等效、全耦合變壓器、變壓器等效電路、磁路和互感定義的理解。這一點(diǎn)無疑會提高“電路”課程的教學(xué)質(zhì)量。

[1]于歆杰，朱桂萍，陸文娟.電路原理[M].北京:清華大學(xué)出版社，2007

[2]周守昌.電路原理(第2版)[M].北京:高等教育出版社，2004

[3]江緝光，劉秀成.電路原理(第2版)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2007

[4]邱關(guān)源，羅先覺.電路(第6版)[M].北京:高等教育出版社，2006

[5]陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社，2007

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