基于線性二次最優LQR的直線倒立擺控制系統研究分析

韓亞軍

（1.重慶科創職業學院機電技術中心，重慶永川402160；

2.重慶大學輸配電裝備及系統安全與新技術國家重點實驗室，重慶沙坪壩400030）

1 引言

倒立擺系統是一個典型的高階次、多變量、嚴重不穩定和強耦合的非線性系統。由于倒立擺的行為與火箭飛行、海洋鉆井平臺及兩足機器人行走等有很大的相似性，因而對其進行研究，具有較大的理論和實踐意義。倒立擺系統所具有的上述特點，已成為人們深人學習、研究和證實各種控制理論有效性的實驗系統。本文中以直線雙倒立擺為對象，采用線性二次最優控制LRQ對控制器進行設計，并用Matlab進行了仿真驗證。

2 倒立擺的數學模型

2.1 數學模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿系統，如圖1所示，小車和擺桿受力分析如圖2所示，其余機械部分遵守牛頓運動定律，電子部分遵循電磁學基本定理，因此可以通過機理建模得到系統較為精確的數學模型。

圖1 直線一級倒立擺模型

圖2 小車及擺桿受力分析

用u代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下：

2.2 傳遞函數

對方程組（1）進行拉普拉斯變換，得到：

整理后得到傳遞函數：

其中：q＝［（M＋m）（I＋ml2）-（ml）2］

2.3 狀態空間方程

系統空間方程為：

整理得到：

由（1）式的第一個方程得：

對于質量均勻分布的擺桿有：

將式（8）代入式（7）得：

則有：

實際系統的模型參數如下：M為小車質量，值為 1.096kg；m 為擺桿質量，值為 0.109kg；b 為小車摩擦系數，值為 0.1N／m／sec；l為擺桿轉動軸心到桿質心的長度，值為0.25m；I為擺桿慣量，值為0.0034kgm2。

2.4 系統實際模型

將上述參數代入，可得系統的實際模型。

擺桿角度和小車位移的傳遞函數為：

擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為：

擺桿角度和小車所受外力的傳遞函數為：

以外界作用力作為輸入的系統狀體方程：

以小車加速度作為輸入的系統狀態方程：

3 線性二次最優LQR控制器的設計及仿真

3.1 線性二次最優控制LQR基本原理及分析

線性二次最優控制LQR基本原理如圖3所示，由系統方程：

圖3 最優控制LQR控制原理圖

確定下列最佳控制向量的矩陣K：

使得性能指標達到最小值：

X為n維狀態向量，u為r維輸入向量，Y為m維輸出向量；Q、R分別為X和u的加權矩陣，用來平衡狀態向量和輸入向量的權重，確定了誤差和能量損耗的相對重要性；Q為正定（或半正定）陣，R為正定陣。假設控制向量u＊是無約束的，根據最優控制理論，可以得到最優控制律為

式（16）中，K為最優反饋增益矩陣，P為常數正定矩陣，且P必須滿足黎卡提（Riccati）代數方程：

因此，系統的設計歸結于對黎卡提方程求解，獲得P，進而求出最優反饋增益矩陣K。

3.2 LQR控制器的設計

應用線性反饋控制器，設R是施加在小車上的階躍輸入，x，x˙，φ，φ˙4 個狀態量分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出y＝［x，φ］′包括小車位置和擺桿角度。設計控制器使得當給系統施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達新的指定位置。假設全狀態反饋可以實現（4個狀態量都可測），找出確定反饋控制規律的向量K。在Matlab中得到最優控制器對應的K。

假設 R＝1，

其中，Q1，1代表小車位置的權重，而 Q3，3是擺桿角度的權重，輸入的權重R是1。

令 Q1，1＝1，Q3，3＝1 求得：

LQR控制的階躍響應如圖4所示，其中Cart-Pos為小車的位置曲線，CartSpd為小車的速度曲線，PendAng為擺桿角度曲線，PendSpd為擺桿角速度曲線，從圖中可以看出，閉環控制系統響應的超調量很小，但穩定時間和上升時間偏大，我們可以通過增大控制量來縮短穩定時間和上升時間。

圖4 直線一級倒立擺LQR控制仿真結果1

取 Q1，1＝1000，Q3，3＝200， 則 K ＝［-31.623-20.151 72.718 13.155］，輸入參數，運行得到響應曲線如圖5所示。

從圖中可以看出，系統響應時間有明顯的改善。

圖5 直線一級倒立擺LQR控制仿真結果2

4 線性二次最優LQR控制器的實時控制

利用GLIP2001倒立擺系統，在Simulink可進行實時控制，系統模型如圖6所示。

利用線性二次最優LQR設計的控制器對倒立擺進行在線控制，可以使倒立擺達到穩定。在倒立擺穩定的情況下，對系統加干擾，小車能迅速調整，是整個系統在很短的時間內恢復平衡，并得到小車位置和擺桿角度響應曲線，如圖7所示。

圖6 線性二次最優LQR控制倒立擺系統仿真框圖

圖7 小車位置和擺桿角度響應曲線

5 結論

本文以直線一級倒立擺為研究對象，在建立了其數學模型的基礎上，采用線性二次最優LQR法則對固高公司倒立擺系統進行了控制，給出了系統在穩定時和售干擾時各種狀態變量的響應曲線，結果表明設計的線性二次最優LQR控制器能夠對直線一級倒立擺系統進行有效的實時控制。

［1］固高公司.GLIP2001倒立擺用戶使用使用手冊［Z］.2005.

［2］刑景虎，陳其工，江明.基于LQR的直線一級倒立擺最優控制系統研究［J］.2007，（6）：3-5.

［3］梁春輝，馮雷，張欣.直線一級倒立擺控制策略研究及仿真分析［J］，2010，11（1）：36-40.

［4］INOUE Akira，DENG Mingtong.Swing-up controller design forcart-type double inverted pendulum.Control Theory＆Applications［J］.2004，21（5）：709-716