帶卡爾曼估計器的無拖曳衛星干擾補償控制

李傳江，王玉爽，馬廣富，張海博

(哈爾濱工業大學航天學院，150001 哈爾濱)

帶卡爾曼估計器的無拖曳衛星干擾補償控制

李傳江，王玉爽，馬廣富，張海博

(哈爾濱工業大學航天學院，150001 哈爾濱)

為使外界干擾對無拖曳衛星的影響降低，設計了基于卡爾曼濾波的干擾估計器，對實際存在的干擾進行前饋補償，并基于二次型最優指標設計了最優控制器.首先建立了無拖曳系統位移模式下衛星與質量塊的相對軌道動力學模型，然后給出了無拖曳衛星狀態估計的過程，并根據估計得出的狀態設計了最優控制器，最后在卡爾曼濾波的基礎上，根據得到的估計干擾對實際干擾進行補償，組成帶有前饋回路的控制系統，利用MATLAB/Simulink軟件進行仿真.仿真結果表明，帶有干擾補償的最優控制器能對外界干擾進行有效地抑制，從而滿足了無拖曳衛星的控制精度要求.

無拖曳衛星;卡爾曼估計器;最優控制;干擾補償

1959 年 George Pugh［1］首次提出了無拖曳衛星的概念，1964年 B Lange［2］在其博士論文中詳細論述了無拖曳衛星模型及控制器設計.無拖曳衛星由外部的衛星本體和內部的質量塊組成，衛星上裝有位置傳感器和微推力器，其中位置傳感器精確測量衛星本體與質量塊之間的相對位置，并反饋給推力器，通過此反饋系統，衛星不斷跟蹤質量塊，防止與質量塊接觸，使質量塊懸浮于衛星的中心.內部的質量塊可以看作1個理想的穩定參考源，在優化控制算法的作用下，通過高精度傳感器和執行機構的配合，衛星本體通過跟蹤質量塊也能實現較高的穩定度，從而可搭建出1個滿足低干擾要求的平臺.

無拖曳衛星控制技術對于空間基礎科學研究、高精度微重力實驗、對地觀測和深空探測具有重要意義.目前已經成功發射的無拖曳衛星有:1972年美國的TRIAD I、2004年美國的GP-B以及2009年歐洲的GOCE.還有一些計劃中的衛星，如美歐合作的LISA、美國的STEP、法國的MI-CROSCOPE、意大利的Galileo Galilei以及中國南京紫金山天文臺的ASTROD.

無拖曳衛星控制系統的目標是使衛星上的非重力加速度達到最小，由于內部質量塊幾乎運行在純重力軌道上，因此通過控制衛星跟蹤質量塊可以達到這一目標.衛星和質量塊的狀態可以通過直接測量得到或者由1個觀測器決定，對于后一種方法而言，觀測器的輸出——估計的狀態量反饋給控制器，通過閉環控制使衛星達到期望的狀態［3］，無拖曳控制系統結構圖如圖1所示.

圖1 含有估計器的無拖曳控制系統結構

然而對于實際系統而言，必然存在著諸如過程噪聲和量測噪聲等各種各樣的噪聲，已不再適合采用確定性系統的狀態觀測器理論.針對GOCE衛星，文獻［4］采用了兩種不同的估計模型，對線性連續系統的狀態估計問題進行了研究，文獻［5］在離散時間模型的基礎上，設計了內嵌模型控制器，其中閉環狀態估計器包含內嵌模型和噪聲估計器兩部分.針對STEP衛星，文獻［6］研究了狀態估計和參數估計問題.

在軌運行的無拖曳衛星會受到大氣阻力、太陽光壓等外部干擾的影響，通常這些外部干擾為常值或是可建模的，通過對外部干擾進行建模和估計，在此基礎上加入前饋控制，可以將估計值直接反饋從而對外部干擾進行補償.

本文采用了卡爾曼濾波器對無拖曳衛星的狀態及外部干擾進行估計，設計最優控制器并利用估計得到的干擾對控制系統進行補償，從而滿足了控制系統的精度要求.

1 無拖曳衛星相對動力學模型

加速度計模式(AM)和位移模式(DM)是無拖曳衛星的兩種主要工作方式.位移模式為衛星本體跟蹤質量塊，直接實現無拖曳;而加速度計模式為質量塊跟蹤衛星本體，再根據加速度計的輸出控制衛星本體實現無拖曳.本文的目的是研究位移模式下無拖曳衛星控制系統的設計，采用位移模式最主要的優點是系統控制精度高，因為使質量塊懸浮不需要力或只需要很小的力，從而使噪聲水平很低［7］.考慮外部的衛星和內部的質量塊為兩個分開的剛體，各自運行在軌道上，且受到外力的作用.為了控制衛星跟蹤質量塊，需要測量衛星和質量塊的相對位置，必須考慮耦合的衛星－質量塊動力學.為推導運動方程所需的參考坐標系如圖2所示.

圖2 無拖曳衛星參考坐標系

圖中，RI為慣性參考坐標系;RSC為衛星本體坐標系，原點為衛星的質心;RH為空腔本體坐標系，原點為衛星的無拖曳點，也即空腔的中心位置;RTM為質量塊本體坐標系，原點為質量塊的質心，坐標軸和質量塊的慣性主軸平行;rSC為衛星的質心在慣性系的位置矢量;rTMabs為質量塊的質心在慣性系的位置矢量;rH為空腔中心相對于衛星質心的距離，對于位移模式的無拖曳衛星來說，空腔中心與衛星質心重合，即rH=0;r為質量塊質心相對衛星質心的位置矢量;rTM為質量塊質心相對空腔中心的位置.

假設無拖曳衛星只包含1個質量塊，質量塊采用靜電懸浮的方式.通過衛星本體和質量塊各自的軌道動力學模型，得到質量塊和衛星本體的相對動力學線性化模型為

其中:mSC為衛星的質量;mTM為質量塊的質量;vTM為質量塊相對于空腔坐標系速度矢量;rTM可由敏感器測量得到，有

feSC為作用在衛星上的外力之和，包括控制力fcSC和干擾力fdSC;feTM為作用在質量塊上的外力之和，本文中質量塊受到的外力只考慮質量塊與衛星本體間的耦合力，則

式中Dtrans和Ktrans為衛星本體與質量塊的耦合系數矩陣.軌道坐標系的原點選為質量塊的質心，ω0為軌道角速度ω0=［0 0 ω0］T，假設無拖曳衛星運行在圓形軌道上，軌道半徑為rSC=a，則

其中

式中03和I3分別表示3×3的零矩陣和3維單位矩陣.

2 無拖曳衛星內外干擾分析

無拖曳衛星受到的主要干擾力包括:大氣阻力、太陽光壓以及與質量塊之間的相互吸引力等.對于近地軌道衛星，氣動力是主要的干擾，對于深空探測衛星，太陽光壓是主要干擾.表1中給出了無拖曳衛星在近地軌道上(＜500 km)所受攝動力的模型及參數.

表1 衛星所受的攝動力模型及參數

除外部干擾外，系統上常作用有各種噪聲，如系統噪聲和敏感器的量測噪聲等.衛星受到的噪聲和干擾都是隨機信號，可以利用功率譜密度進行描述.圖3給出了衛星本體X軸向所受大氣阻力的加速度功率譜密度曲線.

作用在衛星上的干擾力設為正余弦函數形式，可以采用式(4)所示的干擾力模型進行卡爾曼濾波器設計，

其中:fd為干擾力矢量;fsin和sin分別為干擾的正弦系數及它對時間的導數;fcos和˙fcos分別為干擾的余弦系數及它對時間的導數;ωd表示氣動干擾的頻率.

圖3 大氣阻力加速度功率譜密度

無拖曳控制的性能指標要求通常為在一定的測量頻帶內(通常是低頻段)，使衛星本體和質量塊上的非重力加速度噪聲的功率譜密度低于某一水平［8］.本文控制指標要求如下:在 0.005～0.1 Hz的頻帶內，衛星本體與質量塊的相對位置控制精度達到2.5×10－5m，衛星本體和質量塊上的殘余加速度功率譜密度分別小于2.5×10－7(m·s－2)/和2.5 ×10－9(m·s－2)/

3 最優狀態估計器

對于實際的無拖曳衛星控制系統，需要考慮系統模型誤差、干擾及噪聲等問題，對于這樣的隨機系統，需要應用卡爾曼濾波理論對狀態進行最優估計.

分別建立系統方程和量測方程，考慮如下無拖曳系統的狀態估計問題:

其中系統的輸出y(t)=Cˉx(t)+Du(t);w(t)與v(t)為零均值的高斯分布噪聲，分別表示過程中的干擾和輸出變量量測的隨機干擾，協方差矩陣為

設衛星受到的干擾力具有正弦特性如式(7)所示，且在實際仿真時加入一定隨機干擾:

則在式(5)中有

矩陣對(ˉA，ˉB)和(ˉA，C)分別是能控和能觀測的，根據連續時不變系統卡爾曼估計理論［9］，估計模型可以寫成如下形式:

估計器增益L必須能提供在存在噪聲w(t)和v(t)條件下的最佳估計.

定義估計誤差

根據式(5)和式(8)推導出誤差的動態方程

其中L=ˉPCTV－1滿足下面的代數Riccati方程:

對于卡爾曼濾波，w(t)包括了系統的干擾和模型的不確定性，v(t)則考慮了所有測量噪聲和測量的不確定性，測量噪聲的協方差矩陣和系統狀態初值的統計特性參數可以通過觀測和分析得到.

4 控制器的設計

在最優狀態估計基礎上，以估計狀態代替系統的真實狀態進行線性反饋.依據觀測誤差最小的原則，定義如下狀態控制器的最優控制目標函數:

其中加權矩陣Q為對稱半正定矩陣，R為對稱正定矩陣，即Q=QT≥0，R=RT＞ 0.

易判斷系統(4)可控，由最優控制理論［10］，得出存在最優控制律u*(t)使系統能夠漸近穩定，并且具有滿意的動態性能，控制器如下:

對于線性定常系統，加權矩陣Q和R均取為對稱正定矩陣.

圖4給出了帶干擾前饋的無拖曳控制系統框圖.其中，在卡爾曼濾波器中引入了干擾模型，對干擾進行估計，以補償外部干擾引起的輸出誤差，卡爾曼濾波器估計得到的相對狀態信息反饋到最優控制器，并在閉環系統中增加了前饋補償控制，則作用到無拖曳衛星系統的控制力為u(t)=

圖4 具有干擾前饋的無拖曳控制系統

5 仿真分析

在Matlab/Simulink環境下進行了仿真，驗證設計的控制器和加入干擾補償后系統對干擾的抑制作用，仿真參數如下:

1)仿真的初始條件選取為:衛星本體質量為1 050 kg，質量塊質量為1 kg，衛星本體和質量塊之間三軸初始相對距離分別為1×10－3，5×10－3和2×10－3m.衛星本體和質量塊之間的耦合系數矩陣為

2)氣動干擾的頻率 ωd=1.2×10－3Hz.系統噪聲和量測噪聲的功率譜密度分別為

仿真結果如圖5～圖11所示.圖5和圖6分別為卡爾曼估計器對無拖曳控制系統的相對位置估計誤差和相對速度估計誤差.從圖中可以看出，狀態的估計誤差大約為2×10－8.圖7為干擾的估計誤差曲線，估計誤差大約為2×10－6.較小的估計誤差表明所設計的卡爾曼濾波器能對相對位置、相對速度和外界干擾信息進行較準確地估計，估計器的性能良好.因此對于工程實際來說，良好的狀態和干擾估計是很有必要的.

圖5 X軸向相對位置估計誤差

圖6 X軸向相對速度估計誤差

圖8和圖9分別為加入干擾補償前后衛星本體和質量塊的相對位置曲線.可以看出，無干擾補償時，在干擾力的影響下，相對位置正弦運動的幅度較大.加入干擾補償后，輸出曲線變的“平緩”.在圖8中相對位置的穩態值之所以是等幅振蕩的正弦過程，是由于系統受外界正弦干擾的影響，因此采用經典最優控制的無限時間二次型性能指標具有一定的局限性，為了解決這一問題，可以考慮選擇一種能保證收斂的最優控制的性能指標，并尋求使性能指標取得最小值意義下的最優控制律.

圖7 X軸向干擾估計誤差

圖8 干擾補償前衛星本體和質量塊的相對位置

圖9 干擾補償后衛星本體和質量塊的相對位置

在仿真中，只對質量塊施加耦合力，控制器控制衛星本體跟蹤質量塊實現無拖曳控制，衛星本體和質量塊上的殘余加速度功率譜密度曲線如圖10和圖11所示.在0.005～0.1 Hz的測量頻帶內，衛星本體和質量塊上的殘余加速度功率譜密度達到了性能指標要求.

圖10 衛星本體上的殘余加速度功率譜密度

圖11 質量塊上的殘余加速度功率譜密度

6 結論

本文針對存在干擾及噪聲的無拖曳衛星控制系統，采用卡爾曼濾波方法對狀態和干擾進行了估計，并基于狀態估計設計了最優控制器，利用干擾估計采用前饋控制對干擾進行補償，從而有效地抑制了干擾對控制系統的影響.

與傳統衛星控制系統相比，無拖曳衛星對控制系統提出了極高的性能指標要求，因此，下一步將對衛星模型的建立和控制器的設計進行更深入地研究.另外，無拖曳衛星的性能指標是在頻域中給出的，下一步也可以考慮基于頻域的控制器設計方法，以滿足控制系統的高精度及強魯棒性要求.

［1］PUGH G.Proposal for a satellite test of the coriolis prediction of general relativity［R］.Washington DC:Weapons Systems Evaluation Group Research Memorandum，NASA，USA，1959:414－426.

［2］LANGE B.The control and use of drag-free satellites［D］.California:Stanford University，1964:55－85.

［3］黨朝輝，項軍華，曾國強.基于大氣阻力實時辨識的Drag-free衛星最優控制研究［J］.上海航天，2010，27(6):6－10.

［4］EVERS W.GOCE Dynamical analysis and drag-free mode control［R］.Eindhoven:Eindhoven University of Technology，2004:29－35.

［5］CANUTO E.Drag-free control of the GOCE satellite:noise and observer design［J］.IEEE Transactions on Control System Technology，2010，18(2):501－509.

［6］THEIL S.Satellite and test mass dynamics modeling and observation for drag-free satellite control of the STEP mission［D］.Bremen:University of Bremen，2002:51－116.

［7］GUILHERME M S，LEITE F W C，THEIL S.Strategies for in-orbit calibration of drag-free control systems［J］.Aerospace Science and Technology，2008，12(5):365－375.

［8］DITTUS H，LAMMERZAHL C，TURYSHEV S.Lasers，clocks，and drag-free:exploration of relativistic gravity in space［M］.Berlin:Springer，2008:45 －363.

［9］GELB A.Applied optimal estimation［M］.Cambridge，MA:MIT Press，1999:119 －126.

［10］胡壽松，王執銓，胡維禮.最優控制理論與系統［M］.北京:科學出版社，2005:310－316.

Disturbance compensation control for drag-free satellite with Kalman estimator

LI Chuan-jiang，WANG Yu-shuang，MA Guang-fu，ZHANG Hai-bo

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

In order to reduce the influence of disturbance on the drag-free satellite，a disturbance compensation control combined with optimal control of quadratic performance based on a Kalman estimation theory is presented.Firstly，the relative dynamics of the satellite and the proof mass are modeled.Secondly，the state estimation of the drag-free satellite is given and an optimal controller is established.Finally，the control system with a feedforward loop for disturbance compensation based on Kalman filter is constructed.The simulation results in MATLAB/Simulink indicate that the disturbance compensation together with optimal control is effective to reject external disturbance，the accuracy of the drag-free satellite can be satisfied.

drag-free satellite;kalman estimator;optimal control;disturbance compensation

V448.2

A

0367－6234(2012)07－0008－06

2011－03－31.

國家自然科學基金資助項目(61004072)，中央高校基本科研業務費專項基金資助項目(HIT.KLOF.2010016)，哈爾濱市科技創新人才研究專項資金資助項目(2010RFQXG029).

李傳江(1978—)，男，副教授，碩士生導師;

馬廣富(1963—)男，教授，博士生導師.

李傳江，chuanjiangli@gmail.com.

(編輯 張 宏)