低冗余度多輸入多輸出雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計

王 偉 馬躍華 王咸鵬

（哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

引 言

多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)作為一種新型的雷達(dá)體制，已經(jīng)成為人們研究的熱點［1－3］。MIMO雷達(dá)在發(fā)射端發(fā)射相互正交的波形，再在接收端通過一組匹配濾波器將其分離，可以形成一個虛擬陣列［4］。虛擬陣列技術(shù)給 MIMO雷達(dá)帶來了諸多優(yōu)勢，如更高的空間分辨率［5］、增強的抗干擾能力［6］、更多的可分辨目標(biāo)數(shù)目［7］，以及更靈活的波束方向圖設(shè)計［8－9］等。但同時，為了得到虛擬陣列所必需的正交波形發(fā)射以及接收端的匹配濾波器組等條件，都增加了MIMO雷達(dá)的成本。如何利用有限的發(fā)射陣元和接收陣元產(chǎn)生最優(yōu)的虛擬陣列是提高M(jìn)IMO雷達(dá)性能和節(jié)約系統(tǒng)成本的關(guān)鍵。

早期的MIMO雷達(dá)文獻(xiàn)多采用均勻線陣，陸珉等［10］提出了一系列準(zhǔn)則來設(shè)計發(fā)射和接收陣列使得MIMO雷達(dá)虛擬陣列為均勻線陣，以方便利用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行波達(dá)方向（DOA）估計。不過由于非均勻線陣在空間分辨率等方面的優(yōu)勢，近年來非均勻線陣在MIMO雷達(dá)中的應(yīng)用正受到越來越多的關(guān)注。Bliss等［5，11］首先提出采用非均勻陣列可以大大擴展虛擬陣列的孔徑，并給出了一種發(fā)射／接收陣列配置方法，以得到具有最長連續(xù)子陣的虛擬陣列。Chen等［12］將最小冗余的概念引入到 MIMO雷達(dá)中，并采用窮盡搜索算法尋求發(fā)射／接收陣列結(jié)構(gòu)以形成最小冗余的虛擬陣列。張娟等［13］考慮收發(fā)同陣的情況下，利用最小實際物理陣元數(shù)形成最大孔徑的低冗余虛擬陣列。以上幾種MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法［11－13］都是采用窮盡搜索算法以尋求最優(yōu)的發(fā)射和接收陣列結(jié)構(gòu)，這種算法運算量非常大，只適合陣元數(shù)較少的情況。董健等［14］提出一種基于差集和循環(huán)差集組合的MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法來形成最小冗余虛擬陣列，這種方法雖然避免了陣元位置選擇時的復(fù)雜運算，但當(dāng)總的陣元數(shù)較大時，不同的發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)組合增多，如何在其中尋找使虛擬陣列孔徑最大的組合值得研究。

本文提出一種新的陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，該方法利用最小冗余陣組合來設(shè)計發(fā)射和接收陣列結(jié)構(gòu)，使得MIMO雷達(dá)虛擬陣列為最小冗余陣，由于最小冗余陣已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用和深入研究［15］，所以利用這些已有的最小冗余陣進(jìn)行組合來設(shè)計MIMO雷達(dá)陣列避免了復(fù)雜的陣元位置選擇過程，易于工程實現(xiàn)，可以用于大陣元數(shù)的MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計；另外在此基礎(chǔ)上，本文還分析了在總的物理陣元數(shù)給定的情況下，如何分配發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)可以使虛擬陣列具有最大的孔徑，使得本文所提方法更加簡單實用。

1 最小冗余虛擬陣列模型

考慮MIMO雷達(dá)工作在窄帶遠(yuǎn)場條件下，發(fā)射陣列和接收陣列位于同一直線。M個發(fā)射陣元位置關(guān)于半波長的歸一化坐標(biāo)表示為｛uT，m｝，m＝1，2，…，M；N個接收陣元位置關(guān)于半波長的歸一化坐標(biāo)為｛uR，n｝，n＝1，2，…，N。M個發(fā)射波形為φ（t）＝［φ1（t），…，φM（t）］T，發(fā) 射 波 形 滿 足 正 交 條件，即

式中：T0為雷達(dá)脈沖寬度；IM表示M×M的單位陣；（·）T和（·）H分別表示矩陣轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。

假設(shè)遠(yuǎn)場點目標(biāo)方位為θ，則N個接收陣元接收到的目標(biāo)響應(yīng)可表示為

式中：α（θ）＝［exp（juT，1πsinθ），…，exp（juT，Mπsinθ）］和b（θ）＝［exp（juR，1πsinθ），…，exp（juR，Nπsinθ）］為相應(yīng)的發(fā)射和接收導(dǎo)引矢量。

對每個接收陣元的接收信號關(guān)于M個發(fā)射波形進(jìn)行匹配濾波，分離出來的信號的總數(shù)為NM。第n個接收陣元處對第m個信號的匹配濾波結(jié)果為

NM個分離出來的信號可以看作是一個等效陣列的接收信號，這個等效陣列的陣元坐標(biāo)可以表示為

NM元的陣列就是MIMO雷達(dá)的虛擬陣列，而實際使用的實際物理陣元數(shù)只有M＋N個，這大大增加了MIMO雷達(dá)的自由度，給MIMO雷達(dá)帶來了更高的角度分辨率和更好的性能。

為了使MIMO雷達(dá)的虛擬陣列為最小冗余陣，根據(jù)最小冗余陣的定義，需要有

式中：k，k′＝1，2，…，NM；m，m′＝1，2，…，M；n，n′＝1，2，…，N；L為最小冗余陣的最大孔徑。

MIMO雷達(dá)陣列設(shè)計問題可以描述為如何利用有限的物理陣元來產(chǎn)生具有最大孔徑的最小冗余虛擬陣列，如式（6）所示

式中：｜｛·｝｜表示集合的勢；c是總的物理陣元數(shù)。

這是一個關(guān)于點集的優(yōu)化問題。當(dāng)陣元數(shù)較少時可以采用窮盡搜索算法進(jìn)行求解，但是隨著陣元數(shù)的增加，搜索空間急劇增加，運算量增大，使得這種算法不適用于陣元數(shù)較大的情況。本文使用最小冗余陣組合的方法給出這個優(yōu)化問題的一種最優(yōu)解形式。

2 陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計

優(yōu)化問題（6）中的第二個約束條件可以變換為

在此，令接收陣列為最小冗余陣，根據(jù)最小冗余陣定義有

式中：LR為此最小冗余接收陣列的最大孔徑。

在此條件下，式（7）中的第二項｛（uR，n－uR，n′）｝包含所有［－LR，LR］之間的整數(shù)。可以通過設(shè)計式（7）中的第一項使得其中不同元素與第二項的和無冗余，并且同時滿足兩項和包含［－L，L］之間的所有整數(shù)。設(shè)第一項中任意兩個相鄰元素為vk，vk＋1，vk＋1＞vk，則它們應(yīng)該滿足如下條件

可得，vk＋1－vk＝2LR＋1，所以第一項集合可以表示為

可見，此發(fā)射陣列為間距擴展了2LR＋1倍的最小冗余陣，其中LT為發(fā)射最小冗余陣的最大孔徑。所以可以得出這樣的結(jié)論：令MIMO雷達(dá)接收陣列為最小冗余陣，發(fā)射陣列為間距擴展2LR＋1倍的最小冗余陣，所得虛擬陣列也為最小冗余陣，最大孔徑長度為（2LR＋1）＊LT＋LR.

討論在給定總的陣元數(shù)的情況下如何配置發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)以使最小冗余虛擬陣列孔徑最大。

根據(jù)最小冗余陣性質(zhì)，可知LR≤N（N－1）／2，LT≤M（M－1）／2，取LR和LT的極大值做近似，則最小冗余虛擬陣列的最大孔徑長度可以表示為

將c＝M＋N帶入式（11），則有

這是一個關(guān)于N的一元四次方程，通過數(shù)學(xué)分析可知極大值出現(xiàn)在N＝c／2附近。所以，在給定總的陣元數(shù)的情況下，為了得到最大孔徑的最小冗余虛擬陣列，發(fā)射陣元數(shù)目和接收陣元數(shù)目應(yīng)盡量接近，具體可按下式分配：

式中i為自然數(shù)。

為了得到最小冗余的虛擬陣列，MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計具體步驟可以總結(jié)如下：

首先，在給定總的物理陣元數(shù)c情況下，根據(jù)式（13）確定接收陣元數(shù)N與發(fā)射陣元數(shù)M；然后令N元接收陣列為最小冗余陣，M元發(fā)射陣列為間距擴展了2LR＋1倍的最小冗余陣，最后，得到的MIMO雷達(dá)虛擬陣列即為最小冗余陣。

從上述MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計過程可以看出，本文所提陣列設(shè)計方法是在已有的最小冗余陣的基礎(chǔ)上通過簡單的變換組合來實現(xiàn)虛擬陣列的低冗余度，該方法簡單易于工程實現(xiàn)，可以用于大陣元數(shù)的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，同時具有很高的陣元利用率。

3 實驗仿真

為了分析本文設(shè)計的陣列結(jié)構(gòu)的性能，并與文獻(xiàn)［14］中設(shè)計的陣列比較，對兩種陣列結(jié)構(gòu)下 MIMO雷達(dá)的波束方向圖進(jìn)行了仿真。仿真時，MIMO雷達(dá)總的陣元數(shù)為8，利用本文提出的陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)都取為4，接收陣列取為最小冗余陣，關(guān)于半波長歸一化的坐標(biāo)為｛uR，n｝＝ ｛0，1，4，6｝，發(fā)射陣列為間距擴展了（2＊6＋1）倍的最小冗余陣，關(guān)于半波長歸一化的坐標(biāo)為｛uT，m｝＝13＊｛0，1，4，6｝＝ ｛0，13，52，78｝.文獻(xiàn)［14］中提出的一種陣列結(jié)構(gòu)的發(fā)射陣元和接收陣元關(guān)于半波長歸一化的坐標(biāo)可以分別表示為｛uT，m｝＝｛0，21，36｝，｛uR，n｝＝｛0，3，4，9，11｝.各發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的信號，并在接收端進(jìn)行匹配濾波分離出來。期望的遠(yuǎn)場點目標(biāo)方向為0°，信噪比為－5dB.采用最小方差無失真（MVDR）波束形成器。由于主要關(guān)心的是主波束寬度和最高旁瓣水平，所以圖1只給出了兩種陣列結(jié)構(gòu)下MIMO雷達(dá)在（－20°，20°）之間的波束方向圖。

從圖1可以看出，在給出的兩種陣列結(jié)構(gòu)中，本文設(shè)計陣列結(jié)構(gòu)下的MIMO雷達(dá)具有更窄的主波束寬度，但兩者相差不大；另外可以看出，兩個波束方向圖的第一旁瓣電平也幾乎一樣。從波束方向圖可以直觀的看出，采用本文所提方法設(shè)計的陣列結(jié)構(gòu)和文獻(xiàn)［14］中設(shè)計的陣列結(jié)構(gòu)的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)具有幾乎相同的性能。

表1給出了不同物理陣元數(shù)情況下，采用兩種不同的陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法可以得到的MIMO雷達(dá)虛擬陣列的最大孔徑，并比較了波束方向圖－3dB主波束寬度。

圖1 兩種陣列結(jié)構(gòu)下MIMO雷達(dá)的波束方向圖

表1 不同陣元數(shù)的陣列孔徑和主波束寬度

從表1可以看出，當(dāng)總的陣元數(shù)小于等于8時，本文所提方法與文獻(xiàn)［14］中的方法可以得到完全相同的虛擬陣列孔徑以及主波束寬度；當(dāng)物理陣元數(shù)大于8時，本文所提方法得到的虛擬陣列的孔徑略小于文獻(xiàn)［14］中的方法，這是因為不存在陣元數(shù)大于5的最優(yōu)最小冗余陣，也就是說當(dāng)總的陣元數(shù)大于8時，發(fā)射陣列或者接收陣列會出現(xiàn)一定程度的冗余，減小了陣列孔徑。不過，由于孔徑長度變化不大，所以對于空間分辨率影響并不大。從表1還可以看出，當(dāng)總的陣元數(shù)為9時，主波束寬度變化僅為0.03°；當(dāng)總的陣元數(shù)為10時，主波束寬度相差為0.02°.所以整體而言，兩種陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法都可以使MIMO雷達(dá)具有很高的空間分辨率，不過由于本文所采用的是在工程中廣泛應(yīng)用的最小冗余陣進(jìn)行組合，所以本文提出的陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法易于工程實現(xiàn)。

表2以總的陣元數(shù)等于8為例，分析了不同發(fā)射陣元數(shù)目與接收陣元數(shù)目的配置對MIMO雷達(dá)虛擬陣列孔徑的影響。

從表2可以看出當(dāng)接收陣元數(shù)和發(fā)射陣元數(shù)都為4時，虛擬陣列孔徑最大，這驗證了前面提到的設(shè)計準(zhǔn)則，即在設(shè)計MIMO雷達(dá)陣列時應(yīng)盡量使發(fā)射陣元數(shù)目與接收陣元數(shù)目相同，這樣可以獲得最大孔徑的虛擬陣列，從而進(jìn)一步提高陣元的利用率。這一準(zhǔn)則也使得本文提出的陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法具有重要的實用意義，因為設(shè)計系統(tǒng)時需要考慮的一個重要因素是成本問題，在成本一定的情況下，所能獲得的總的發(fā)射陣元和接收陣元（包括相應(yīng)的發(fā)射機和接收機）的數(shù)目也就確定了，這一準(zhǔn)則可以使MIMO雷達(dá)利用有限的成本獲得最大的虛擬陣列孔徑和最高的空間分辨率。

表2 不同發(fā)射和接收陣元數(shù)配置時的陣列孔徑

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于最小冗余陣組合的MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，可以使MIMO雷達(dá)虛擬陣列為最小冗余陣。另外，研究了在給定陣元數(shù)的情況下，如何分配發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)使MIMO雷達(dá)虛擬陣列孔徑最大。本文提出的方法避免了復(fù)雜的陣元位置搜索過程，簡單易于實現(xiàn)，陣元利用率高，可以用于大陣元數(shù)的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，具有重要的實用意義。

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