基于曲面片迭代物理光學法的電磁耦合計算

隋 淼 許小劍

（北京航空航天大學，北京 100191）

引 言

為了保護精密雷達天線不受外界強烈氣流和惡劣大氣環境的干擾，復雜介質材料天線罩廣泛地應用于飛機、導彈和艦船等移動平臺。對于電大尺寸薄層均勻介質天線罩的電磁特性分析，目前被廣泛應用的是高頻法［1］，其具有物理概念直觀、計算速度快的優點，主要包括幾何光學（GO）法、物理光學（PO）法等。而對于電中、小尺寸，具有復雜介質材料且罩壁厚度可以與波長相比擬的天線罩來說，只能采用如有限元法（FEM）、矩量法（MoM）等數值法求解［2－4］。與傳統天線罩與有源天線之間輻射問題的研究不同，本文研究的是無源的罩內散射體被薄層天線罩包圍后，其散射特性的變化。這種意在增強目標雷達散射截面（RCS）且又加入天線罩以保證飛行器基本飛行動力學需要的結構，在實際靶標測試中具有重要應用。

對于材料結構簡單的電大尺寸薄層天線罩，Hémon等［5］采用基于迭代物理光學（IPO）法［6］的等效電磁流迭代公式，分析了薄層天線罩與罩內腔體之間的電磁耦合作用。IPO是一種基于磁場積分方程（MFIE），迭代獲得目標表面等效電磁流分布的電磁散射計算方法。與高頻方法相比，由于其可部分包含諸如反射－反射（RR）、反射－繞射（RD）、繞射－反射（DR）、繞射－繞射（DD）等散射分量，具有更高的精度；與數值法，特別是需要作體剖分的FEM相比，其具有較少的未知量，即更高的計算效率。傳統IPO方法基于平面片描述目標的幾何外形。對于諸如天線罩這樣曲面曲率變化較大的目標表面，如按照IPO方法λ／3－λ／4的剖分要求，往往不能正確描述表面曲率較大處的幾何信息，即不能保證面片離散對目標表面的擬合精度，以及各個采樣點處的法矢方向的正確性，最終將導致散射場計算結果的誤差。但如果采用更細致的剖分尺度，雖然對目標表面的擬合程度有所改善，但卻失去了IPO對剖分要求較低的特點，使計算時間大幅增加。

將傳統基于平面片的IPO方法推廣到曲面片上，發展了基于曲邊面片的IPO方法，即CIPO方法，并將其應用于分析薄層天線罩與罩內散射體之間的電磁耦合作用。與基于平面片的IPO方法相比，該方法可以在不提高剖分要求，甚至是降低IPO剖分要求的情況下，改善由面片離散帶來的擬合誤差，以及目標表面曲率較大處表面法矢的精度，從而獲得精度較高、速度較快的目標電磁散射計算結果。

1 基于曲邊面片的迭代物理光學法

曲面三角形貼片對目標表面進行剖分具有很強的靈活性，它不僅能夠處理復雜的精細結構，還能更好地模擬曲目標表面。采用由六個結點（三角形的三個頂點和三條曲邊中點）定義的二階單元。通過參數變換，將直角坐標系下的點r（x，y，z）映射到參數空間下的點r（ξ1，ξ2，ξ3），得到參數坐標系下的平面三角形單元，如圖1所示。具體表達式為

式中：rj表示六個控制點的位置矢量；參數坐標ξ1和ξ2的變化范圍均為［0，1］，且滿足

式中：只有ξ1和ξ2為獨立變量；φj為定義在參數ξ1、ξ2上的形函數，其表達式為

圖1 曲三角形面片

CIPO方法與基于平面片的IPO方法相比的主要區別為：CIPO需要在曲面片上積分。以完純導體（PEC）目標和高斯積分為例，目標表面等效電流迭代式為

式中：p為第m個曲面片上的積分點；q為第n個曲面片上的積分點；n（r′q）為源點r′q處的法矢量；ωq為高斯積分權值；Jq為點r′q處的雅各比行列式。

單位外法向矢量可表示為

式中：

將實空間曲面積分轉化為參數空間平面積分的雅各比因子為

式（9）的迭代過程可以在達到一定的迭代次數或者電流達到一定的收斂準則后停止。一種有效的收斂測試方法是計算第q次迭代后的目標表面各個面片總電流與第q－1次迭代后目標表面各個面片總電流的差異。如果差異較小，則認為電流收斂。用算式可表示為

對于一般的精度要求，取δ＝0.05即可。

此外，快速遮擋判別［6］以及快速遠場近似技術［7］同樣可以用于對式（9）進行加速。

2 天線罩與罩內散射體電磁耦合計算公式

采用文獻［5］中介紹的基于IPO方法的薄層天線罩與罩內散射體計算公式，計算二者之間的電磁耦合作用。

設天線罩由多層各向同性的介質材料組成，罩內散射體為PEC，如圖2所示?；贑IPO方法的薄層天線罩與罩內散射體電磁耦合計算步驟如下：

圖2 天線罩與散射體的幾何關系

1）計算在平面電磁波的激勵下，電磁波穿過天線罩，在罩內表面激勵起的電磁流。利用菲涅爾傳輸系數，罩內表面等效電磁流可表示為

式中：na為罩內壁Pa點處指向罩內的單位法矢量；，，，為天線罩的菲涅爾傳輸系數；，，和為天線罩的菲涅爾反射系數；，，和分別為入射電磁場的水平分量和垂直分量。而入射電場Ei，與透過天線罩，進入罩體的電場ET和被罩體反射的電場ER；入射磁場Hi，與透過天線罩，進入罩體的磁場HT和被罩體反射的磁場HR有如下關系：

式中：和分別為入射電場垂直和水平單位矢量；和分別為透射電場垂直和水平單位矢量；和分別為反射電場垂直和水平單位矢量。

2）計算由罩內壁電磁流激勵起的散射體表面處磁場。

利用基爾霍夫近似（KA），散射體表面磁場可表示為

式中ra和rc分別為罩內表面Sa和散射體表面Sc上某點的坐標矢量。需要特別注意的是，KA僅對電大尺寸口徑（該問題中的口徑為包圍散射體的天線罩）才成立，且隨著入射角偏離垂直入射方向，KA的準確度隨之降低［8］。

3）迭代計算散射體表面的等效電流。

由于散射體為PEC，所以只存在表面等效電流。其表面電流迭代式為

式中：ncν為散射體表面某點ν處的單位外法矢方向；（ra）和（ra）分別為N次迭代后，Sa上ra點處的等效電流和等效磁流。

由初始電磁流和散射體輻射到罩壁上的電磁場（r）和（ra）聯合作用得到

式中和分別為（ra）和（ra）的水平分量和垂直分量。迭代初始值為

4）計算天線罩外表面的等效流。

由散射體表面上的等效電流輻射到天線罩內表面處的場，在罩外表面形成的電磁流可表示為

式中：

式中，（ra）和（ra）分別代表由入射場直接經天線罩反射的等效電流和等效磁流，而（ra）和（ra）分別為散射體表面電流輻射到天線罩內壁上的電場和磁場。

上文中，形如▽×∫M×▽′G的積分計算公式為

同樣地，▽×∫J×▽′G積分的計算公式為

當采用曲邊面片對目標表面進行剖分時，只需將上述積分采用形如式（9）的曲邊面片數值積分替代。由于天線罩表面的曲率一般較大，特別適合采用CIPO方法取代基于三角面片的IPO方法，在保持傳統IPO方法剖分要求較低優點的同時，又實現了曲面片對目標表面的精確擬合。

3 數值結果

研究如圖3所示的薄層介質天線罩與罩內散射體之間的電磁耦合作用。電磁波頻率為1GHz.天線罩材料參數為：εr＝15－j4.5，μr＝1，厚度為3 mm.罩內為由PEC圓盤和圓柱體組成的帽子目標，其主要散射分量為二次反射。圖4為分別利用基于平面片的IPO、CIPO，以及商用軟件FEKO?基 于 Poggio－Miller－Chang－Harrington－Wu （PMCHW）方程的MoM得到計算結果。其中，IPO方法按照λ／4剖分尺寸，將天線罩和帽子散射體分別劃分為6 261和2 981個三角面片。而采用CIPO方法時，天線罩和散射體分別劃分為2 981和1 560個形如圖1所示的由六點控制的曲三角面片，即可得到不隨剖分尺寸變化的計算結果。本文曲三角面片的剖分由商用軟件Patran?完成。

圖3 薄層介質天線罩與罩內PEC散射體之間幾何關系其中，天線罩的幾何尺寸為：1.2m×1.2m×1m；帽子目標的幾何尺寸為：1m×1m×0.6m.

本算例中，IPO和CIPO的迭代終止門限按照式（14）定義，設δ＝0.03.圖4（a）和（b）分別為水平和垂直極化CIPO與MoM計算結果的對比。總體上二者基本吻合，但隨著俯仰角的增大，由于PO和KA準確度的降低，使得CIPO與MoM相比出現偏差。而與基于平面片IPO相比，CIPO可以用較少的面片擬合曲率較大的天線罩表面，因此，CIPO的積分點數明顯少于IPO方法。此外，由式（10）計算得到的法向矢量更加準確，可去除IPO方法固有的面片噪聲。計算91個不同角度下的RCS，IPO需要約4小時，而CIPO僅需約100分鐘。

4 結 論

將基于平面片的IPO方法推廣到曲面片上，發展了CIPO方法。給出了基于CIPO方法分析薄層天線罩與罩內散射體電磁耦合計算公式。與IPO方法相比，CIPO方法可以以相對較少的面片數量，對曲率較大目標表面進行精確的擬合，準確計算出各個采樣點處的法矢方向，從而獲得更高的計算精度和速度。通過具體算例，驗證了CIPO方法的正確性和有效性。

［1］KOZAKOFF D J.Analysis of radome enclosed antennas［M］.Boston：Artech House，1997.

［2］BINDIGANAVALE S S，VOLAKIS J L.Comparison of three FMM techniques for solving hybrid FE－BI systems［J］.IEEE Antennas and Propagation Magazine，1997，39（4）：47－60.

［3］LU C C.A fast algorithm based on volume integral equation for analysis of arbitrarily shaped dielectric radomes［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2003，51（3）：606－612.

［4］NIE X C，YUAN N，LI L W，YEO T S，GAN Y B.Fast analysis of electromagnetic transmission through arbitrarily shaped airborne radomes using precorrected－FFT method［J］.Progress in Electromagnetics Research，2005，54：37－59.

［5］HéMON R，POULIGUEN P，HE H，SAILLARD J，DAMIENS J F.Computation of EM field scattered by an open－ended cavity and by a cavity under radome using the iterative physical optics［J］.Progress In Electromagnetics Research，2008，80：77－105.

［6］BURKHOLDER R J.A fast and rapidly convergent iterative physical optics algorithm for computing the RCS of open－ended cavities［J］.Applied Computational Electromagnetics Society Journal，2001，16（1）：53－60.

［7］LU C C，CHEW W C.Fast far－field approximation for calculating the RCS of large objects［J］.Microwave and Optical Technology Letters，1995，8（5）：238－241.

［8］ALTINTAS A，PATHAK P H，LIANG M C.A selective modal scheme for the analysis of EM coupling into or radiation from large open－ended waveguides［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1988，36（1）：84－96.