快速時(shí)域有限差分方法計(jì)算矩形缺陷接地結(jié)構(gòu)

引 言

矩形缺陷接地結(jié)構(gòu)（RDGS），是一種新穎的微波電路結(jié)構(gòu)，最初是從光子帶隙結(jié)構(gòu)和電磁帶隙結(jié)構(gòu)演變而來(lái)，通過(guò)在金屬接地平面上蝕刻出一些形狀的柵格“缺陷”，從而讓接地電流的分布發(fā)生變化，使得某些頻段的電磁波無(wú)法從其中通過(guò)，形成明顯的阻帶特性。自RDGS提出以來(lái)，各種不同柵格“缺陷”形式的結(jié)構(gòu)不斷被提出和發(fā)展，并得到深入的研究。RDGS具有結(jié)構(gòu)尺寸小、插入損耗小、性能優(yōu)良、易于加工等優(yōu)點(diǎn)，可以廣泛應(yīng)用在微波集成電路中，以進(jìn)一步減小微波電路尺寸，改善微波電路性能，制作寬帶濾波器、抑制天線旁瓣、改善效率等方面，在微波集成電路和天線領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用前景［1－8］。自RDGS提出以來(lái)，針對(duì) RDGS的分析和計(jì)算方法也得到了不斷的發(fā)展。從最初的等效電路模型方法，到后來(lái)的頻域方法，再到現(xiàn)在普遍采用的時(shí)域方法。針對(duì)各種具體問(wèn)題，這些方法都有各自的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也都有各自的不足。等效電路模型方法以形象直觀和模型清晰而受重視，對(duì)于簡(jiǎn)單電路結(jié)構(gòu)，計(jì)算精度較好，但對(duì)于復(fù)雜電路結(jié)構(gòu)，其提取相關(guān)電路參數(shù)十分困難，導(dǎo)致計(jì)算精度較低，這致使其適用范圍大大受限［5－6］。頻域方法，例如頻域有限元法（FEM），該類方法從理論到實(shí)施都已經(jīng)非常成熟，其四面體的剖分格式即使對(duì)復(fù)雜形狀的結(jié)構(gòu)，依然能非常準(zhǔn)確地逼近，且計(jì)算精度較高，該類方法使用非常廣泛，是一類非常重要的方法［7－8］。對(duì)于單一頻率問(wèn)題，采用頻域方法進(jìn)行處理是精確且合適的。但對(duì)于寬頻帶電磁問(wèn)題，頻域方法就顯得十分笨拙。時(shí)域方法，例如時(shí)域有限差分（FDTD）法，該類方法對(duì)電磁問(wèn)題在時(shí)域進(jìn)行直接計(jì)算以獲得豐富的時(shí)域信息，然后經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的時(shí)域頻域變換，就可以得到寬頻范圍的頻域信息［9－10］。雖然時(shí)域FEM 也在不斷發(fā)展，但在時(shí)域FEM的實(shí)施過(guò)程中，在每一時(shí)間步都需要求解大型方程組，導(dǎo)致計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度較高［11］。RDGS由于其本身的矩形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和寬頻的工作特性，如采用等效電路模型方法。則提取電路參數(shù)會(huì)十分困難；如采用頻域FEM，則需要重復(fù)計(jì)算很多的頻率點(diǎn)。考慮到RDGS的幾何特征，采用FDTD對(duì)RDGS的寬頻帶特性進(jìn)行計(jì)算較為方便精確。

Courant－Friedrich－Levy（CFL）穩(wěn)定條件會(huì)限制傳統(tǒng)FDTD時(shí)間步長(zhǎng)的取值，為了保證解的穩(wěn)定性，時(shí)間步長(zhǎng)的取值受限于空間離散網(wǎng)格。同時(shí)為了保證計(jì)算精度，空間離散網(wǎng)格必須遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng)。在處理精細(xì)結(jié)構(gòu)和進(jìn)行精確計(jì)算時(shí)，這兩個(gè)因素會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)FDTD計(jì)算總時(shí)間猛增，有時(shí)甚至超出當(dāng)前的硬件條件而不可實(shí)現(xiàn)。為了克服傳統(tǒng)FDTD的這個(gè)不足，一些無(wú)條件穩(wěn)定的FDTD被提出和發(fā)展，例如交替方向隱格式FDTD（ADIFDTD）和Crank－Nicolson格式FDTD（CN－FDTD）等［12－13］。這些無(wú)條件穩(wěn)定的FDTD能擺脫CFL穩(wěn)定條件的限制，這樣就可以通過(guò)增加時(shí)間步長(zhǎng)，提高計(jì)算效率。采用無(wú)條件穩(wěn)定的CN－FDTD和ADIFDTD對(duì)RDGS傳輸系數(shù)進(jìn)行精確計(jì)算，深入討論了CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算效率和計(jì)算精度的影響，并將CN－FDTD和ADI－FDTD的計(jì)算效率和計(jì)算精度進(jìn)行了比較。

1 CN－FDTD在RDGS中的實(shí)施和計(jì)算誤差

1.1 RDGS結(jié)構(gòu)特征

RDGS的結(jié)構(gòu)圖和結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1和圖2所示，由于RDGS具有長(zhǎng)方體的特征，微帶線和柵格“缺陷”也是矩形，完全匹配層（PML）吸收邊界條件的設(shè)置也具有長(zhǎng)方體特征，如圖3所示。采用FDTD對(duì)具有長(zhǎng)方體特征的RDGS進(jìn)行寬頻計(jì)算是方便合理的。

1.2 傳統(tǒng)FDTD的Yee離散格式

傳統(tǒng)FDTD的Yee離散格式如圖4所示，在空間上，將電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量進(jìn)行錯(cuò)至，每一個(gè)電場(chǎng)分量由周圍四個(gè)磁場(chǎng)分量環(huán)繞，同時(shí)每一個(gè)磁場(chǎng)分量由周圍四個(gè)電場(chǎng)分量環(huán)繞。而在時(shí)間上，將電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量錯(cuò)開，彼此之間相差半個(gè)時(shí)間步。這樣就可以基于相應(yīng)的電磁問(wèn)題邊界條件和初始值，依靠FDTD逐步推進(jìn)去計(jì)算后各個(gè)時(shí)刻、計(jì)算空間的電磁場(chǎng)分布。

圖3 設(shè)置PML吸收邊界條件

采用傳統(tǒng)FDTD的Yee離散格式，對(duì)Maxwell微分方程進(jìn)行離散，能夠得到三維離散形式，這里僅給出Ez分量的三維離散形式，如式（1）所示，以說(shuō)明FDTD的計(jì)算過(guò)程，其他電磁分量的離散形式可以類似得到，參見文獻(xiàn)［10］。由式（1）可知，在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上各場(chǎng)分量的新值，只依賴于該點(diǎn)在前一時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)刻的值和該點(diǎn)周圍鄰近點(diǎn)上另一場(chǎng)分量早半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)刻的值。

圖4 傳統(tǒng)FDTD的Yee離散格式

1.3 CN－FDTD在RDGS中的實(shí)施

傳統(tǒng)FDTD采用古典顯格式差分求解Maxwell微分方程，其時(shí)間步長(zhǎng)的選擇取決于空間離散網(wǎng)格的大小，而為了保證計(jì)算精度，空間最大離散網(wǎng)格又必須遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng)。因此，為了保證計(jì)算精度和解的穩(wěn)定性，空間最大離散網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)都必須取得很小，這將使傳統(tǒng)FDTD計(jì)算十分耗時(shí)。

CN－FDTD是一種無(wú)條件穩(wěn)定的FDTD，通過(guò)理論分析可知，對(duì)CN－FDTD每一時(shí)間步長(zhǎng)的增長(zhǎng)因子ξ，總有≤1成立，詳細(xì)的理論分析可以參見文獻(xiàn)［12］。在CN－FDTD中，空間每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上E分量和H分量的放置與傳統(tǒng)FDTD的Yee離散格式一樣。空間偏微分采用中心差分格式，離散Maxwell方程左邊的時(shí)間偏微分項(xiàng)仍舊采用中心差分格式，而方程右邊采用的是空間中心差分在n和n＋1時(shí)刻的平均值。將Maxwell方程進(jìn)行離散，可得一組離散方程組，進(jìn)而聯(lián)立離散后的方程組，整理可得一組關(guān)于E分量的線性方程組。這里僅給出一個(gè)線性方程組，如式（2）所示，以說(shuō)明CNFDTD的計(jì)算過(guò)程，其他線性方程組可以類似得到，參見文獻(xiàn)［12］。通過(guò)求解該線性方程組可以求得E分量，進(jìn)而求得H分量。

CN－FDTD需要求解一個(gè)大型稀疏矩陣方程組，對(duì)這類線性方程組的求解一般有兩類方法：一是直接法，如高斯消去法、LU分解法；二是迭代法，如共軛梯度法。直接法較迭代法數(shù)值性能穩(wěn)定，效率較高，但所需內(nèi)存大；迭代法數(shù)值性能不太穩(wěn)定，效率較低。為了提高稀疏矩陣方程組的求解效率，可以使用預(yù)條件技術(shù)，如稀疏近似逆、對(duì)稱超松弛等，以使預(yù)條件后的矩陣方程適合于迭代算法的快速求解。對(duì)一些特殊問(wèn)題，可以將直接法和迭代法二者結(jié)合以兼顧內(nèi)存和效率。將高斯脈沖源引入到CN－FDTD計(jì)算中，采用共軛梯度法對(duì)稀疏矩陣方程組進(jìn)行求解。

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 不同時(shí)間步長(zhǎng)CN－FDTD計(jì)算結(jié)果

5、圖6和圖7所示，作為對(duì)比，圖中也給出了傳統(tǒng)FDTD計(jì)算結(jié)果。由圖可知，當(dāng)CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)取為2倍、6倍、10倍、14倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，CN－FDTD計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD計(jì)算結(jié)果符合很好，平均相對(duì)誤差 ARE 分別為0.02%、0.22%、0.91%、2.12%；而當(dāng) CN－FDTD 時(shí)間步長(zhǎng)取為18倍、22倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，CN－FDTD計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD計(jì)算結(jié)果符合較差，平均相對(duì)誤差A(yù)RE分別達(dá)到4.11%、7.61%.這里ARE為平均相對(duì)誤差，其值等于CN－FDTD計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD計(jì)算結(jié)果之差，再除以傳統(tǒng)FDTD計(jì)算結(jié)果所得百分比的絕對(duì)值，然后再取平均值。

采用CN－FDTD對(duì)圖示RDGS的傳輸系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，為了對(duì)比，文中也給出了傳統(tǒng)FDTD的計(jì)算結(jié)果。文獻(xiàn)［1］已經(jīng)驗(yàn)證了所采用FDTD計(jì)算程序的正確性和有效性。相關(guān)參數(shù)在FDTD計(jì)算中的取值：板長(zhǎng)l1＝120mm，板寬l2＝30mm，微帶線寬w＝3mm，單元間距d＝20mm，柵格“缺陷”的長(zhǎng)度a＝7mm，柵格“缺陷”的寬度b＝7mm，介質(zhì)材料的相對(duì)介電常數(shù)εr＝2.65，板厚為1mm，周期單元為5，空間離散網(wǎng)格分別為Δx＝0.25mm、Δy＝0.50mm、Δz＝0.25mm，離散網(wǎng)格為4×60×480.采用如圖4所示的PML吸收邊界條件，吸收層層數(shù)為15.傳統(tǒng)FDTD時(shí)間步長(zhǎng)為CFL步長(zhǎng)，即ΔtFDTD＝0.42ps，推進(jìn)步數(shù)為18 000步，物理時(shí)間為7 560ps.CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)分別取為2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)：2ΔtFDTD＝0.84ps、6ΔtFDTD＝2.52ps、10ΔtFDTD＝4.2ps、14ΔtFDTD＝5.88ps、18ΔtFDTD＝7.56ps、22ΔtFDTD＝9.24ps，物理時(shí)間設(shè)置相同。

不同時(shí)間步長(zhǎng)CN－FDTD計(jì)算結(jié)果分別如圖

圖7 CN－FDTD和傳統(tǒng)FDTD計(jì)算結(jié)果

2.2 CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)與計(jì)算效率

用CFLN表示CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)與CFL時(shí)間步長(zhǎng)的比值；用TSR表示時(shí)間節(jié)省率，其值等于傳統(tǒng)FDTD計(jì)算時(shí)間和CN－FDTD計(jì)算時(shí)間之差，除以傳統(tǒng)FDTD計(jì)算時(shí)間所得的百分比。

圖8給出了CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)與時(shí)間節(jié)省率的關(guān)系。當(dāng)CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)取為2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，時(shí)間節(jié)省率 TSR 分 別 為 9.1%、37.2%、62.8%、77.2%、82.8%、86.5%.由圖8可知，隨著 CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)的增大，時(shí)間節(jié)省率越大，即CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)越大，計(jì)算效率越高。

圖8 CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)與時(shí)間節(jié)省率

2.3 CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)與計(jì)算精度

如前所述，用ARE表示平均相對(duì)誤差。圖9給出了CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)與平均相對(duì)誤差的關(guān)系。

由圖可知，隨著CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)的增大，平均相對(duì)誤差越大，即CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)越大，計(jì)算精度越低。在實(shí)際CN－FDTD計(jì)算中，考慮到計(jì)算效率和計(jì)算精度兩方面的因素，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際的工程需要，合理選擇CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)，以盡量兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度。基于計(jì)算結(jié)果可知，在采用CN－FDTD對(duì)這類結(jié)構(gòu)的傳輸系數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，取10～14倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)，可以同時(shí)獲得較高的計(jì)算效率和計(jì)算精度。

圖9 CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)與平均相對(duì)誤差

2.4 CN－FDTD與ADI－FDTD計(jì)算誤差比較

如前所述，CN－FDTD和ADI－FDTD都是無(wú)條件穩(wěn)定的FDTD，都可以通過(guò)增大時(shí)間步長(zhǎng)，以提高效率。采用ADI－FDTD對(duì)同樣的問(wèn)題進(jìn)行了計(jì)算，將各種時(shí)間步長(zhǎng)CN－FDTD和ADI－FDTD的計(jì)算誤差進(jìn)行了比較，圖10給出了不同時(shí)間步長(zhǎng)CN－FDTD與ADI－FDTD計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差。由圖10可知，在相同時(shí)間步長(zhǎng)下，CN－FDTD的計(jì)算誤差要遠(yuǎn)小于ADI－FDTD。例如，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)取6倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，ADI－FDTD的平均相對(duì)誤差為2.2%，而CN－FDTD的平均相對(duì)誤差僅為0.22%.CN－FDTD較 ADI－FDTD計(jì)算誤差要低的根本原因在于，Crank－Nicolson格式具有較高的精度，且ADI－FDTD還存在時(shí)間步的分裂誤差。

圖10 CN－FDTD與ADI－FDTD的平均相對(duì)誤差

3 結(jié) 論

將CN－FDTD應(yīng)用于RDGS傳輸系數(shù)的計(jì)算，基于計(jì)算結(jié)果，可以得出如下結(jié)論：

1）CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)可以取遠(yuǎn)大于CFL時(shí)間步長(zhǎng)，以獲得高計(jì)算效率，同時(shí)計(jì)算精度依然較高。例如當(dāng)CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)取14倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，時(shí)間節(jié)省率達(dá)到77.2%，而平均相對(duì)誤差僅為2.12%.

2）另一方面，隨著CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)的加大，計(jì)算精度會(huì)降低。例如當(dāng)CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)取6倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，平均相對(duì)誤差為0.22%；而當(dāng)CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)取22倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)，平均相對(duì)誤差達(dá)7.61%.

3）為了盡量兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度，在實(shí)際工程計(jì)算中，應(yīng)該合理選擇CN－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)。基于對(duì)RDGS傳輸系數(shù)的計(jì)算，取10～14倍CFL時(shí)間步長(zhǎng)是合適的。

4）在CN－FDTD和ADI－FDTD時(shí)間步長(zhǎng)取值相同的情況下，CN－FDTD的計(jì)算誤差要遠(yuǎn)小于ADI－FDTD.

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