基于固定尺度歐氏距離的變因子遞推子空間辨識算法?

黃金峰,張合新,張 植

(1.第二炮兵工程學院自動控制系,陜西西安 710025;2.第二炮兵駐二00廠軍代室,北京 100854)

0 引 言

近年來,子空間算法[1,2]因對先驗知識要求較少以及數值計算上的優勢,對多變量系統辨識廣泛適用,受到控制和辨識領域的廣泛關注.隨著對其研究的不斷拓展,遞推子空間辨識算法[3,4]也成為一個熱點研究問題,并取得了一些成果[5-7].

Mercère G等[5]基于投影近似子空間跟蹤(PAST)實現對SVD的更新,以遞推方式獲取擴展能觀測矩陣并成功應用于Wiener系統的辨識,但由于投影的近似性,估計值不一定能收斂到真值.Oku H等[4]利用梯度型子空間跟蹤算法實現了廣義能觀測矩陣的遞推形式,但沒有考慮引入遺忘因子機制.楊華等[6]提出一種新的梯度型遞推子空間辨識算法,實現基于RLS-like遺忘因子數值Hankel矩陣的構造,提高了遞推估計的辨識速度,但采用固定遺忘因子的方法,當A的特征值發生變化時,算法不能同時保證快速跟蹤和跟蹤效果.

本文以MOESP[5-7]中的OM算法為研究對象,針對一類時變系統,提出一種變因子遞推子空間算法.該算法利用系統矩陣A的特征值空間歐氏距離[8,9]信息實現變因子的步驟,在保證跟蹤效果的條件下提高了算法對參數變化的跟蹤能力.同時針對變動檢測中子空間跟蹤問題中W的列向量可能出現不相交的情況,運用OPAST算法遞推估計廣義能觀測矩陣,保證了W的列向量收斂于主子空間的正交基上.仿真結果驗證了算法的有效性.

1 固定尺度的歐氏距離準則變因子遞推OM辨識算法

考慮一類子空間模型:

式中:u(t)∈Rm,y(t)∈Rl,x(t)∈Rn分別為輸入、輸出和狀態向量;w(t)∈Rn,v(t)∈Rl分別為過程和測量噪聲.為保證系統的可辨識性和收斂性,假設滿足(A,B)能控,(A,C)能觀測,系統為最小實現;且外部輸入和噪聲不相關,輸入滿足充分激勵條件.同時為研究簡便,假設w(t)=0,即狀態方程中不含過程噪聲.

子空間辨識的本質就是直接從數據對中估計廣義能觀測矩陣,為此Verhaegen.M等設計了一系列的MOESP算法.本文在其中的OM算法(Ordinary MOESP)的基礎上設計了基于歐氏空間變因子的遞推子空間辨識算法,其步驟如下:

Step1:構造帶有遺忘因子的Hankel矩陣:

給定初始輸入輸出數據對{ui,yi}(i=1,2,…,N),構造初始Hankel矩陣(以輸入Hankel矩陣為例)[10]

據式(3)形式,系統輸入輸出有如下關系:

Step2:OPAST[11]法更新廣義能觀測矩陣及估計系統參數矩陣:

在0(N序列)步,對數據矩陣進行QR分解

遞推第1步,獲取新的數據對后,對更新的增廣數據矩陣做QR分解

經一系列Givens旋轉,則式(8)R部分變為

R22(1)可以利用數據更新QR分解獲得_

為實現廣義能觀測矩陣子空間的重構,首先對R22(0)進行SVD分解,則有

為遞推更新(j),運用子空間跟蹤問題,形成如下無約束最優化問題求解[12]

基于Yang的準則,形成了不同方法的遞歸計算W(j),如輔助變量PAST算法[13]和 IV-PAST算法[5].理論上,最小化準則J(W)中W的列向量是正交的,PAST算法指數級收斂于主子空間的正交基上;但在某些情況下,PAST算法將會在兩個矩陣間來回擺動,這樣就不會收斂于主子空間的正交基.文獻[11]給出了這個問題的一個證明.如果W列向量不是正交的,這就表示在估計的過程中,不能夠保證在同一狀態空間坐標下的估計一致性,尤其是運用于變動檢測上[3].為此,本文采用文獻[11]提出的正交化PAST算法(簡稱OPAST算法),運用矩陣求逆引理得到W的最小二乘方法計算步驟

把上述的向量zj用Givens變換后的觀測向量(j)代替,獲得的W矩陣就是子空間辨識所需的廣義能觀測矩陣估計(j).變遺忘因子機制下輸入輸出Hankel矩陣不能直接用因子矩陣和數據矩陣乘積描述,應按式(14)近似處理.

因子.則有該機制下Hankel矩陣存在如下關系:

則矩陣估計^C(j)可直接從(j)中提取

由式(15)可知,估計A^(j)有如下關系:

當遺忘因子β為固定值β0時,M(j)方陣就退化為.而矩陣B,D的估計值包含在矩陣(j)中,為得到其估計值,需從式(15a)中消去(j)(j)項.定義矩陣(j)為(j)的正交補,式(15a)兩邊左乘PG(j)右乘)可得

求解系統矩陣^B(j)和 ^D(j)估計的余下步驟見文獻[10].

Step3:固定尺度歐氏距離準則更新遺忘因子:

采用遺忘因子方法進行遞推計算的準則是:對快時變參數選較小的遺忘因子,而對慢時變參數選較大的遺忘因子.基于該準則,本文利用系統矩陣A的特征值空間歐氏距離大小來判斷參數變化的快慢,但運用相鄰估計距離差會因變因子更新頻繁導致辨識精度變差.因此本文采用固定區間[(k-1)p+1,kp]內最大值和最小值的距離差來判斷參數變化的快慢從而避免了變因子變化過于頻繁,提高了算法的穩定性.令其中p表示固定步長,k=1,2,3,….即

這里λi為矩陣A的第i個特征值.利用上述的距離信息來更新遺忘因子 βj

式中:n為矩陣A的維數;c為弱化因子.βmin為遺忘因子的下限值.

2 數值仿真

仿真1:建立時不變仿真模型,選擇系統矩陣參數為

仿真中采用方差為1的零均值白噪聲作為激勵信號,由四階Butterworth濾波器產生,截止頻率為0.8倍奈奎斯特頻率,輸出被不相關的零均值白噪聲污染,信噪比為 25 dB.仿真參數為:N=20,i=3,βmin=β0=0.9.分別選擇固定尺度p=2,5,20進行仿真.

圖1表明:增加固定尺度p,變因子β越晚接近于1,跟蹤越快,但跟蹤效果越易受噪聲影響.反之則 β越早接近于1,跟蹤能力越慢,但跟蹤效果越不易受噪聲影響.仿真結果顯示慢變系統辨識選擇p=5較為合適.

仿真2:建立慢變模型,k＜1 000時模型參數同仿真1.k≥1 000時,A的參數為

分別運用變因子法、不加遺忘因子和固定因子0.9進行了仿真.仿真結果如圖2所示.

圖1 時不變系統不同尺度跟蹤曲線Fig.1 Different scales’parameters of time invariant system

圖2 時變模型不同方法辨識參數曲線Fig.2 Different identification methods parameters of Time-varying model

仿真2結果表明:對慢變系統定因子0.9法雖能夠較好地跟蹤曲線變化,但跟蹤精度差;無遺忘因子的穩定性較好,但在參數發生變化時,跟蹤速度慢;而本文研究的固定尺度變因子法不但保持了較好的跟蹤速度而且保持了較好的跟蹤效果.

3 結 論

本文針對傳統的OM子空間辨識算法采用固定遺忘因子方法進行變動檢測時不能同時保證快速跟蹤和跟蹤效果等問題,提出了一種基于歐氏距離的變因子遞推子空間辨識算法.該算法分為 3個步驟:首先引入變因子構造與更新Hankel矩陣和觀測向量;其次為保證廣義能觀測矩陣的列向量收斂于主子空間的正交基上,采用OPAST算法遞推估計廣義能觀測矩陣,并由廣義能觀測矩陣估計系統參數矩陣;最后用的特征值空間距離信息實現變因子,此算法具有的自適應能力.應用于一類時變系統,仿真結果驗證算法的有效性.

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