基于混沌時間序列的多步預測方法研究?

陸建山,王昌明,張愛軍,孫 罡

(南京理工大學機械工程學院,江蘇南京 210094)

海上載體工作時極易受到浪、涌等因素的影響,不可避免地發生搖擺運動,該運動對平臺上設備的正常工作極其不利.目前對海上載體運動狀態的研究多集中于海浪作用下的大型艦船,現有的各種減搖裝置多為被動式控制,若能預知載體運動進而提前控制,將極大地改善減搖效果[1].海上多功能穩定平臺作為浮式平臺獨立工作時,相對于大型艦船,更易受到海浪的影響.因此,有必要對海上多功能穩定平臺的載體橫滾姿態預測問題進行深入研究.

海上載體運動姿態的預測方法主要有時域分析法和頻域分析法,時域分析法可在線參數估計和建模,比頻域法更接近海上實際情況.常用的時域分析法有AR(自回歸模型)、周期圖法、混沌時間序列法等,文獻[1]應用AR模型對船舶橫搖運動時間序列預報并取得了較好的效果,預報誤差為4.4%左右;文獻[2]建立了基于混沌理論相空間重構技術的RBF神經網絡模型,并將其應用于艦船搖蕩運動極短期預測中.雖然上述文獻都取得了預期的效果,但均局限于海上載體運動的短期預測.文獻[2]中說明了艦船搖蕩運動具有混沌特性,本文擬采用混沌時間序列加權一階局域法對試驗水池實測數據進行預測,并通過誤差預測值實時補償時間序列預測值,實現橫滾姿態的多步預測.

1 加權一階局域法原理

1.1 混沌特性判定

實測時間序列不可避免地帶有噪聲,而混沌是確定性非線性系統產生的一種類似隨機的不規則運動,其與隨機噪聲有本質的區別,兩者不可混淆,因此在對時間序列應用混沌時間序列方法分析之前首先得判定其混沌特性.目前已有多種混沌特性判定方法,如Poincare截面法、Lyapunov指數法、指數衰減法、頻閃法等.本文擬采用最大Lyapunov指數對試驗池實測時間序列是否具有混沌特性做出判定.Lyapunov指數是沿軌道長期平均的結果,是一種整體特征,若系統最大Lyapunov指數小于0,那么該系統的變化有確定性的規律,非混沌時間序列,若系統最大Lyapunov指數大于0,則系統一定是混沌的,其可預測的時間跨度近似地認為是Lyapunov指數的倒數[3].

1.2 加權一階局域法模型[4-7]

設某系統變量的時間序列為{x1,x2,…,xN),N為序列長度,其重構后的相空間為

式中:m為嵌入維數;τ為時間延遲,M=N-(m-1)τ.

由式(1)可見,為得到重構相空間,必須選擇合適的嵌入維數和時間延遲,本文采用C-C法計算m和τ.C-C法應用關聯積分同時估計出時間延遲τ和嵌入窗寬τω的值,再利用 τω=(m-1)τ求出嵌入維數m.

設中心點為YM,YMi(i=1,2,…,q)為中心點的鄰近點,并且到YM的距離為di,dmin是di中的最小值,定義點YMi的權值為

則一階局域線性擬合為

式中:a,b為擬合系數;YMi+1=(YM1+1,YM2+1,…,YMq+1)T是YMi=(YM1,YM2,…,YMq)T演化一步后的相點.

當m=1時(m＞1情況類似),根據加權最小二乘法,有:

解式(4)得到擬合系數a,b,并帶入一步預測公式YM+1=a+bYM,得YM=(xM,xM+τ,…,xM+(m-1)τ)的一步預測YM+1=(xM+1,x(M+τ)+1,…,x(M+(m-1)τ)+1),YM+1中的x(M+(m-1)τ)+1即為原序列的一步預測值 ^xN+1.

2 加權一階局域法多步預測方法

將預測值作為新息加入原時間序列并重復一步預測步驟即可實現多步預測,但這種方式會造成誤差的大幅積累.因此,本文旨在尋找一種既能抑制誤差積累,同時又不損失算法速度的方法解決上述問題.文中設想在對時間序列預測時,將誤差序列作為另一時間序列,使用一種簡單快速的方法同時對誤差進行預測,然后用誤差預測值實時修正時間序列預測值.其算法流程為:①讀取時間序列值,計算嵌入維數m和時間延遲τ;②進行相空間重構,并判定混沌特性;③運用加權一階局域法進行預測;④對誤差序列進行預測,得到當前誤差預測值;⑤用誤差預測值對加權一階局域法預測值進行修正,并作為最終的時間序列預測值輸出;⑥將誤差修正前的預測值帶入原時間序列、將誤差預測值帶入誤差序列并去掉最早時刻的誤差數據,讀取新序列,轉至 ③.

重復上述步驟,直至預測結束.對于 ④中的誤差序列預測,下文給出了兩種不同的方法.

2.1 平均值法

平均值法是誤差序列外推最為簡單的方法之一,為保證預測速度同時又不失預測準確性,采用當前預測的前4個誤差值進行平均值法外推,計算出當前時刻的誤差值,其預測模型為

式中:ei為當前預測誤差,ei-1,ei-2,ei-3,ei-4分別為前4步的預測誤差,最初4步預測時,(ei-1,ei-2,

ei-3,ei-4)分別為(0,0,0,0),(ei-1,0,0,0),(ei-1,ei-2,0,0),ei-1,ei-2,ei-3,0).

2.2 LPC法[9]

平均值法的擬合系數固定,而LPC(Linear Predictive Coding,線性預測編碼)基于均方誤差最小原則對AR模型參數進行估計,由過去樣本值直接決定一組擬合系數,在語音信號處理等領域得到了廣泛應用.

p階線性預測是將過去p個時刻的值通過線性預測系數加權得到當前值,則有

式中:ai(=1,2,…,p)為線性預測系數;p為預測階數,本文p=4.

常見的線性預測系數方法有自相關法、格型法、協方差法等,其中自相關法運算速度較快.本文選用自相關法,利用杜賓(Durbin)算法提取線性預測系數.

圖1 原始時間序列Fig.1 Original time series

3 試驗與分析

在南京理工大學水中兵器研究所的水靶道(110 m×2.5 m×2.5 m)中進行了試驗,通過姿態測量系統采樣得到一組橫滾角度數據,其樣本總長度為1 000 m,時歷如圖1所示.

3.1 加權一階局域法多步預測仿真分析

為應用混沌時間序列預測方法進行分析,首先應用最大Lyapunov指數法對橫滾時間序列進行混沌特性判定,通過C-C法計算嵌入維數和時間延遲τ以進行相空間重構,其計算結果如表1所示.

表1 時間序列的混沌特性判定結果Tab.1 The judging results of chaotic characteristics of time series

由表1可見橫滾時間序列的最大 Lyapunov指數大于0,故判定序列為混沌時間序列,可應用加權一階局域法進行預測.采用前900個點進行相空間重構后作為預測樣本,后 100個點作為檢驗樣本,應用無補償的加權一階局域法對后100步進行預測,預測效果如圖2所示.

由圖2可見:無補償的加權一階局域法在最初十幾步內的預測基本可信,其后的預測可信度很差.且隨著預測步數的增加,誤差有發散跡象.出現這種情況主要是因為第二步預測會用到第一步的預測值,依此遞推,因此出現了誤差的累積.這也驗證了混沌時間序列可應用于運動姿態的短期預測中,但其多步預測效果較差,需對算法進行改進.

圖2 無誤差補償的多步預報Fig.2 Multi-step predicting without error compensation

3.2 誤差補償的多步預測仿真分析與對比

為解決誤差累積的問題,本文將采取誤差補償的方法對加權一階局域法的預測值進行在線修正.分別采用平均值法誤差補償和LPC法誤差補償的多步預報方法對后100步進行預測,兩種方法的預測效果如圖3,圖4所示.為更好地說明預測算法性能,方便各種方法間的對比分析,使用最大預測誤差、絕對誤差均值以及相對均方誤差作為性能評價指標,對各種方法給出評價.其中,相對均方誤差反映了預測值相對于實際觀測值的偏離程度.各方法的性能指標評價結果見表2.

圖3 平均值法誤差補償的多步預報Fig.3 Multi-step predicting with error compensation by the mean

圖4 LPC法誤差補償的多步預報Fig.4 Multi-step predicting with error compensation by LPC

表2 預測效果比較Tab.2 The comparison of predicting effects

結合圖2～圖4和表2,可得:

1)經過誤差補償處理后的多步預測,精度得到了很大提高.兩種補償預測方法中,平均值法誤差補償的預測效果較差,但由表2可見其預測的整體效果相對于無誤差補償的多步預測也提升了近一倍.其預測曲線與圖2相比,改善了無誤差補償時,誤差累積的影響,僅在預測曲線尾部拐點處出現了較大誤差,相對均方誤差為0.000 447 21,與實際觀測曲線也較為吻合.

2)LPC法每次均通過過去的預測誤差樣本在線擬合出一組系數,改善了平均值法系數固定的缺點,故LPC法誤差補償的多步預測效果優于平均值法.其最大誤差僅為 0.822 96°,相對于無補償時的-3.2758°有了很大提高,且絕對誤差均值只有0.264 94°.由圖4可看出,除拐點處個別較大誤差外,其預測曲線與實際觀測曲線吻合度很高,表2也可說明了這一點,其相對均方誤差僅為0.000 214 36.

4 結 論

本文從多功能穩定平臺運動姿態研究的實際需要出發,提出使用誤差補償的加權一階局域多步預測方法對平臺載體橫滾姿態進行預測.文中給出了兩種誤差補償的方法,并進行了詳細描述.對試驗水池的實測數據運用最大Lyapunov指數法進行混沌特性判定后,分別使用兩種方法進行預測,并與無誤差補償的多步預測進行對比分析.結果表明,誤差補償的多步預測方法抑制了誤差的累積,達到了預期的預測精度,同時通過誤差評價指標表明LPC法的預測精度最高,且算法過程較簡單,可用于穩定平臺載體橫滾姿態的多步預測.

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