各向異性阻抗面電磁散射快速數(shù)值算法研究

余定峰 何思遠(yuǎn) 張 凡 朱國(guó)強(qiáng) 殷紅成 鄧方順

(1.武漢大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430072； 2.中國(guó)航天科工集團(tuán)公司二院207所，北京 100854； 3.中船重工集團(tuán)722研究所，湖北 武漢 430079)

引 言

采用吸波材料實(shí)現(xiàn)目標(biāo)雷達(dá)散射截面(RCS)的縮減在軍事領(lǐng)域具有重要的意義，在雷達(dá)電子對(duì)抗中有著廣闊的應(yīng)用前景。

三維各向異性材料涂覆目標(biāo)的電磁散射有兩種建模方法，一種仍然以介質(zhì)涂覆目標(biāo)為建模對(duì)象，應(yīng)用非常廣泛，但在處理高頻繞射等問(wèn)題時(shí)碰到困難。耿友林等[1]采用解析法研究了各向異性鐵氧體介質(zhì)涂覆導(dǎo)體球的電磁散射，陳博韜等人[2]采用物理光學(xué)法與有限元法混合方法研究了各向異性材料部分涂覆導(dǎo)體的散射特性，毛仕春等人[3]研究了二維各向異性橢圓柱的電磁散射，但都采用張量磁導(dǎo)率或介電常數(shù)模擬各向異性材料。另一種則將材料涂覆目標(biāo)等效為阻抗表面來(lái)建模，用阻抗邊界條件分析其電磁散射特性，靈活性更強(qiáng)。Senior等[4]在阻抗面電磁散射方面做了大量前瞻性工作，是我們研究工作的基石。Pelosi等[5]提出一種物理光學(xué)方法，用于分析各向異性阻抗平面目標(biāo)的散射，但高頻方法適用于電大尺寸問(wèn)題，且未作非平面結(jié)構(gòu)目標(biāo)表面各向異性方面的研究。文獻(xiàn)[6]提出了各向異性阻抗面電磁散射問(wèn)題的矩量法(MoM)解決方案，但隨著目標(biāo)電尺寸的增大，極大的計(jì)算量和內(nèi)存需求往往超出計(jì)算機(jī)的承受能力。

多層UV方法[7-9]直接針對(duì)MoM的相互作用矩陣進(jìn)行快速多層分解，其基于電磁相互作用的排序抽樣算法有效解決了因積分核震蕩導(dǎo)致UV分解失效的問(wèn)題，且采用了相互作用矩陣快速填充技術(shù)，使內(nèi)存和時(shí)間復(fù)雜度均達(dá)到O(NlogN).本文基于多層UV矩陣分解技術(shù)，應(yīng)用MoM結(jié)合阻抗邊界條件(IBC)研究了各向異性阻抗面的電磁散射。根據(jù)表面等效原理，采用感應(yīng)電磁流以RWG矢量基函數(shù)展開(kāi)的伽略金矩量法[10]，得到矩陣方程以后，對(duì)相互作用矩陣進(jìn)行多層分層，得到大量的低秩矩陣塊，采用UV分解技術(shù)進(jìn)行處理，再利用穩(wěn)定的雙共軛梯度(BICGSTAB)迭代求解電流，即可解決該各向異性阻抗面電磁散射問(wèn)題。

1 各向異性MoM原理

如圖1所示，在目標(biāo)表面的小面元上建立局部參考坐標(biāo)系(x,y,z)，其中：x,y為目標(biāo)表面的兩個(gè)切向單位矢量；z為外法線方向單位矢量。目標(biāo)表面的各向異性光軸方向矢量設(shè)為u和v，其中u軸與x軸夾角為光軸偏角ξ.

圖1 平面波照射各向異性目標(biāo)表面

(1)

式中：η11=Zucos2ξ+Zvsin2ξ；η22=Zusin2ξ+

Zvcos2ξ；η12=η21=(Zu-Zv)sinξcosξ；Z0為自由空間波阻抗。

Leontovich阻抗邊界條件可表示為

(2)

根據(jù)等效原理，薄層介質(zhì)涂覆導(dǎo)電目標(biāo)可等效為分布于目標(biāo)表面的電流源J和磁流源M散射電磁場(chǎng)的問(wèn)題。該等效源滿足

J=n×H，M=E×n

(3)

依據(jù)散射疊加定理得

E=Ei+Es

(4)

聯(lián)立式(2) ～(4)得

(5)

(6)

表面電場(chǎng)積分公式為(略去時(shí)諧因子ejωt)

Es=-jkZ0A-φe-×F

(7)

采用RWG矢量基函數(shù)將電流展開(kāi)為

(8)

式中N為MoM基函數(shù)數(shù)目。則磁流可表示為

(9)

采用伽略金匹配，選用與基函數(shù)相同形式的試函數(shù)fm作用于式(6)，并將式(7)代入其中得

(10)

(11)

(12)

將式(12)第一項(xiàng)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為

(13)

此項(xiàng)無(wú)奇異點(diǎn)，可按常規(guī)高斯方法得到數(shù)值積分結(jié)果。第二項(xiàng)的積分可解析計(jì)算得

(14)

(15)

(16)

式中，mi，f3i的表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。若忽略次要貢獻(xiàn)簡(jiǎn)化后即與文獻(xiàn)[13]中的表達(dá)式一致。

2 采用多層UV加速M(fèi)oM

隨著目標(biāo)電尺寸的增大，直接迭代求解MoM矩陣方程帶來(lái)的N2～3量級(jí)的計(jì)算量和N2量級(jí)的內(nèi)存需求往往超出計(jì)算機(jī)的承受能力。為提高各向異性MoM算法的效率，更好地應(yīng)用于工程實(shí)際問(wèn)題，采用多層UV方法將滿秩相互作用矩陣根據(jù)電磁相互作用強(qiáng)弱分組，并進(jìn)行低秩矩陣壓縮，加速矩陣元素填充，從而降低內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間需求。

為了有效甄別出低秩矩陣塊，采用類似于快速多級(jí)子分層思想，對(duì)相互作用矩陣進(jìn)行分層，以尋求最大化的遠(yuǎn)區(qū)矩陣塊。首先用一個(gè)幾何尺寸略大于目標(biāo)的立方體(設(shè)其邊長(zhǎng)為l)完全包圍目標(biāo)，作為多層劃分的第0層。然后將第0層的立方體等分成8份，得到第1層的8個(gè)子立方體。依次遞歸，直到第L層的子立方體的邊長(zhǎng)約為0.5λ，將分層后面片索引存入八叉樹(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。自下而上遍歷該八叉樹(shù)，遍歷方法為：直接計(jì)算第L層非空結(jié)點(diǎn)中基函數(shù)的相互作用，得到自作用子塊矩陣組及其數(shù)目Nself；考察第L層非空結(jié)點(diǎn)間的兩兩相互關(guān)系，若結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子立方體相鄰(共點(diǎn)、共邊或共線)，則計(jì)算兩結(jié)點(diǎn)中基函數(shù)的相互作用，得到鄰相互作用子塊矩陣及其數(shù)目Nnear，由于鄰相互作用子塊矩陣具有一定的低秩性，采用奇異值分解方法處理；考慮第L到第2層各層中非空結(jié)點(diǎn)間的兩兩相互關(guān)系，若兩結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子立方體在當(dāng)前層不相鄰，而對(duì)應(yīng)的父層結(jié)點(diǎn)相鄰，則該兩結(jié)點(diǎn)間為遠(yuǎn)相互作用，統(tǒng)計(jì)遠(yuǎn)作用組的數(shù)目Nfar，遠(yuǎn)相互作用子塊矩陣低秩性十分明顯，采用UV分解方法處理。

通過(guò)分層，將滿秩相互作用矩陣根據(jù)電磁相互作用強(qiáng)弱分解成自作用組(強(qiáng)相互作用組)、鄰作用組和遠(yuǎn)作用組(弱相互作用組)三類稀疏子塊

(17)

3 數(shù)值算例及結(jié)果分析

算例1 各向異性阻抗平板?？疾爝呴L(zhǎng)10 m無(wú)限薄正方形平板，各向異性阻抗參數(shù)為Zu=2，Zv=5，ξ=35°.平面波入射角θ0=0°～90°，φ0=25°，頻率為f=300 MHz，電場(chǎng)θ極化。UV分層數(shù)L=4，計(jì)算得到的單站RCS結(jié)果如圖2所示，與文獻(xiàn)[6]中提出的各向異性MoM算法的計(jì)算結(jié)果吻合良好，相應(yīng)的計(jì)算效率見(jiàn)表1.

圖2 各向異性阻抗平板的單站RCS

方法未知量耗時(shí)/h內(nèi)存/MBMoM1513064.83511MoM-UV151300.5213

算例2 各向同性阻抗球面?？疾烊肷浣铅?=0°，φ0=0°，頻率f=300 MHz，電場(chǎng)θ極化的平面波照射直徑2a=12 m的球，散射角θ=0°～180°，φ=0°.阻抗參數(shù)為Zu=Zv=0.1-j 0.01.考察UV分層數(shù)分別為L(zhǎng)=3～7的5種情況，計(jì)算得到的歸一化雙站RCS結(jié)果如圖3所示，與Mie級(jí)數(shù)結(jié)果吻合良好，相應(yīng)的計(jì)算效率見(jiàn)表2.

圖3 各向同性阻抗球面的雙站RCS

UV分層數(shù)未知量耗時(shí)/h內(nèi)存/GB329990113.928.9642999018.356.7352999019.076.5562999019.956.93729990123.657.61

典型算例驗(yàn)證了該各向異性MoM-UV算法的精度，表明效率與傳統(tǒng)MoM相比有大幅提升，能在較大程度上增大可求解問(wèn)題的規(guī)模。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，與PEC情形相比，相同電尺寸的阻抗面需要?jiǎng)澐指嗟娜敲嬖拍苓_(dá)到較高的精度，相應(yīng)的內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間需求高于PEC情形，凸顯出多層UV分解在該三維各向異性阻抗面電磁散射問(wèn)題求解中的重要作用。通過(guò)比較表2中不同UV分層數(shù)情形的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存需求，說(shuō)明合理的分層數(shù)對(duì)該算法計(jì)算效率和精度有較大影響。前面已給出分層時(shí)的大致原則為遞歸直到第L層的子立方體的邊長(zhǎng)約為0.5λ，則分層數(shù)L可用包圍目標(biāo)的立方體邊長(zhǎng)l和雷達(dá)波長(zhǎng)λ表示，即L≈[log2(2l/λ)]。算例2中分層數(shù)為4或5時(shí)可使計(jì)算效率和精度達(dá)到最佳。

4 結(jié) 論

基于多層UV矩陣分解技術(shù)，提出了用矩量法求解三維各向異性阻抗面電磁散射特性的MoM-UV快速數(shù)值算法。UV分解技術(shù)相對(duì)較新，它不依賴于格林函數(shù)的具體形式，只針對(duì)遠(yuǎn)區(qū)相互作用矩陣進(jìn)行低秩壓縮，從而加速問(wèn)題求解。通過(guò)若干典型算例，驗(yàn)證了該算法的正確性，從內(nèi)存耗用和計(jì)算時(shí)間可以看出，該MoM-UV算法可用于求解較大規(guī)模的電磁散射問(wèn)題。當(dāng)退化為各向同性或PEC情形時(shí)，該算法仍然精確有效，可進(jìn)行導(dǎo)電面、各向同性以及各向異性阻抗面的快速電磁仿真，為目標(biāo)的雷達(dá)隱身提供理論支持。

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