長春和新鄉(xiāng)雨衰時(shí)間序列的馬爾科夫鏈模擬

李 磊 楊瑞科 趙振維

(1．西安電子科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710071；2．中國電波傳播研究所 電波環(huán)境特性及?；夹g(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266107)

引 言

隨著衛(wèi)星通信的發(fā)展及終端用戶業(yè)務(wù)需求量的加大，通信容量不斷提高，低頻段變得越來越擁擠，因此，具有較大帶寬和較高頻譜的Ku(14/12 GHz)及以上波段的衛(wèi)星通信系統(tǒng)越來越受到人們的重視。然而Ku以上波段的通信易受降雨影響，在強(qiáng)降雨時(shí)，可使鏈路中斷。要保證信息傳輸?shù)挠行裕瑑H靠傳統(tǒng)的加大鏈路余量的方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因此需要采用自適應(yīng)衰落削減技術(shù)(FMTs)來對抗這些傳播損失[1]。為了使FMTs更好的應(yīng)用于實(shí)際衛(wèi)星通信鏈路，需清楚了解此波段的雨衰時(shí)間特性。采用傳播實(shí)驗(yàn)來分析雨衰減的動(dòng)態(tài)特性難以實(shí)現(xiàn)、成本較高，且只能適用于某特定鏈路，局限性較大。通過計(jì)算機(jī)模擬雨衰減時(shí)間序列成本低、易實(shí)現(xiàn)，且能根據(jù)衛(wèi)星通信系統(tǒng)的頻段來模擬相應(yīng)的雨衰時(shí)間序列，可操作性高。

80年代初，Maseng和Bakken基于一階馬爾科夫理論提出了一種模擬雨衰減特性的模型(M-B模型)[2]。90年代末，法國航空航天和國立太空科學(xué)研究中心(ONERA CNES)對M-B模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種可按要求產(chǎn)生降雨事件的模型(E-M-B模型)[3]。2001年歐洲合作科技研究聯(lián)盟(COST)在報(bào)告COST 280中將上述時(shí)間序列發(fā)生器模型用在毫米波無線電系統(tǒng)的傳播損耗削減方案中[4]。在國內(nèi)，關(guān)于雨衰靜態(tài)特性的研究較多[5-7]，目前，趙振維[8]等人基于雨胞分布提出了一種雨衰減預(yù)報(bào)模型，楊瑞科[9]等利用E-M-B模型對我國典型地區(qū)的雨衰減時(shí)間序列進(jìn)行了仿真研究，對我國雨衰動(dòng)態(tài)特性的研究和發(fā)展具有重要的實(shí)際意義。

N階馬爾科夫鏈模型是利用馬爾科夫理論建立的一種模擬雨衰時(shí)間序列的模型，可按照給定的持續(xù)時(shí)間和最大衰落深度來產(chǎn)生滿足要求的降雨事件[10]，此模型基于國際電信聯(lián)盟無線電通信研究組(ITU-R)推薦的Van de Kamp衰落斜率模型，可應(yīng)用于世界大多數(shù)地區(qū)[11]。利用N階馬爾科夫鏈模型模擬了長春和新鄉(xiāng)地區(qū)的降雨衰減時(shí)間序列，對其概率分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，并與ITU-R提供的這兩個(gè)雨區(qū)時(shí)間百分概率進(jìn)行了比較研究。

1. N階馬爾科夫鏈微觀模型

1.1 轉(zhuǎn)移矩陣的定義

(1)

(2)

式中：pij表示從衰減值A(chǔ)i至Aj的概率，矩陣模型實(shí)例如圖1所示[12]。

圖1 N階馬爾科夫鏈模型的穩(wěn)態(tài)和 轉(zhuǎn)移概率示意圖

圖2 N階衰減事件示意圖

1.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣參數(shù)

1) 衰落斜率

衰落斜率是指衰落隨時(shí)間變化的速率，其概率分布取決于氣候參數(shù)、雨滴大小分布。衰落斜率的預(yù)測分布由衰減電平A(t)和時(shí)間間隔長度Δt以及能夠從信號(hào)中濾除對流層閃爍和雨衰快速變化的低通濾波器的3 dB截止頻率決定。該模型經(jīng)濾波后在某一時(shí)間點(diǎn)上的衰落斜率ζ定義為[11]

(4)

2) 衰落斜率條件概率密度函數(shù)(CPDF)

衰落斜率的條件概率密度P(ζ|A)可由Van de Kamp衰落斜率模型計(jì)算得出?？蓱?yīng)用于仰角為8～52°，頻率為10～30 GHz的衛(wèi)星通信鏈路中[11]，其表達(dá)式為

(5)

σζ表示某一特定衰減電平時(shí)的條件衰落斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差，

σζ=sF(fB,Δt)AdB/s

(6)

當(dāng)仰角在10°和50°之間時(shí)，s在歐、美洲的平均值為0.01，模擬中同樣采用0.01；F為低通濾波器和采樣時(shí)間的函數(shù)，

(7)

式中:b=2.3，低通濾波器3 dB截止頻率實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明當(dāng)fB=0.02 Hz時(shí)，能夠充分的濾除對流層閃爍和雨衰的快速變化。

圖3給出了利用Van de Kamp衰落斜率模型計(jì)算出的四個(gè)不同衰減值的衰落斜率的條件概率。從而可得出N階馬爾科夫鏈模型的轉(zhuǎn)移概率[13]，其示意圖如圖4所示。

圖3 不同衰減值衰落斜率的條件概率密度

圖4 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

3) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣參數(shù)

要計(jì)算式(2)所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，需先計(jì)算由當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移Ai到下一個(gè)狀態(tài)Aj的概率pij，如圖4，ζk=(Ai+1-Ai)/2，pi,i+k表示P(ζk=(Ai+k-Ai)/2|Ai)的值，其中j=i±k.因此，能夠描述雨衰改變速率的衰落斜率，ζ(dB/s)，可以用來填充這個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[10]。兩個(gè)狀態(tài)衰減值之間的轉(zhuǎn)換滿足下列規(guī)則：當(dāng)|ζ·δt|

(8)

式中kmax=ζmax·δt/da取整數(shù)。

1.3 雨衰序列的模擬及與實(shí)測序列比較

圖5和圖7分別為利用頻率為12.5 GHz信標(biāo)測量的長春2010年7月27日晚和新鄉(xiāng)2010年8月10日凌晨的兩場降雨的雨衰時(shí)間序列。測得此序列的最大衰落深度分別為：0.40～14.3 dB，0.30～12.95 dB，衰減間隔da=0.01 dB，時(shí)間采樣周期1 s.根據(jù)其實(shí)測衰落深度和持續(xù)時(shí)間，利用式(8)求出N階馬爾科夫鏈模型在各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，隨后利用N階馬爾科夫鏈模型分別模擬了兩場降雨的衰減時(shí)間序列，如圖6和圖8所示。

圖5 長春實(shí)測降雨衰減時(shí)間序列

圖6 長春模擬降雨衰減時(shí)間序列

圖7 新鄉(xiāng)實(shí)測降雨衰減時(shí)間序列

圖8 新鄉(xiāng)模擬降雨衰減時(shí)間序列

從圖5～圖8可以看出，N階馬爾科夫鏈模型可按照給定的衰落持續(xù)時(shí)間和最大衰落深度模擬出相應(yīng)的與實(shí)測雨衰序列相似的時(shí)間序列。

2. N階馬爾科夫鏈模型的驗(yàn)證

2.1 N階馬爾科夫鏈的性質(zhì)

無論初始衰減值為多少，只要時(shí)間足夠長，N階馬爾科夫鏈的每一個(gè)狀態(tài)衰減值的概率分布都可以在時(shí)間序列中體現(xiàn)出來。根據(jù)馬爾科夫鏈的遍歷性[14]，對于固定的狀態(tài)j，不管鏈在某一時(shí)刻從什么狀態(tài)出發(fā)，通過長時(shí)間的轉(zhuǎn)移，到達(dá)狀態(tài)i的概率都趨近于一個(gè)固定值πi，因此，

(9)

構(gòu)成一分布律，稱為N階馬爾科夫鏈的極限分布，其矩陣表達(dá)式為

(10)

(11)

2.2 N階馬爾科夫鏈模型的驗(yàn)證

1) 實(shí)測和模擬雨衰時(shí)間序列的比較

圖9 長春實(shí)測與模擬比較

圖10 新鄉(xiāng)實(shí)測與模擬比較

2) ITU-R和模擬雨衰序列統(tǒng)計(jì)概率比較

為了驗(yàn)證N階馬爾科夫鏈微觀模型的可用性，僅通過與單個(gè)實(shí)測雨衰序列的比較是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須進(jìn)行多個(gè)模擬樣本序列的統(tǒng)計(jì)分析。因此，根據(jù)ITU-R提供的長春和新鄉(xiāng)所在雨區(qū)及其年0.01%概率降雨率(如表1)，利用N階馬爾科夫鏈模型分別模擬了50組雨衰時(shí)間序列，統(tǒng)計(jì)其概率分布，并與ITU-R提供的衛(wèi)星軌道位置為92°E、頻率為12.5 GHz在線極化情況下的雨衰概率分布進(jìn)行了比較，如圖11和圖12所示。

表1 長春和新鄉(xiāng)所在雨區(qū)及0.01%概率降雨率

圖11和12的比較結(jié)果表明：當(dāng)降雨衰減較小時(shí)，利用N階馬爾科夫鏈模型模擬的雨衰時(shí)間序列的概率分布與ITU-R提供的降雨時(shí)間百分概率分布一致性很好，當(dāng)發(fā)生小概率降雨事件時(shí)，兩者會(huì)出現(xiàn)一定偏差。由于在大部分時(shí)間百分概率下，兩者比較一致，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了N階馬爾科夫鏈微觀模型在我國的可用性。

圖11 長春模擬和ITU-R衰減時(shí)間概率比較

圖12 新鄉(xiāng)模擬和ITU-R衰減時(shí)間概率比較

3. 結(jié)果和結(jié)論

基于馬爾科夫理論建立的N階馬爾科夫鏈模型，模擬了長春和新鄉(xiāng)地區(qū)的雨衰時(shí)間序列并分別與兩個(gè)地區(qū)的實(shí)測雨衰序列進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，此模型可以模擬出與實(shí)測雨衰時(shí)間序列相似性較好的序列。

為了驗(yàn)證此模型的可用性，統(tǒng)計(jì)比較了長春和新鄉(xiāng)地區(qū)單個(gè)模擬和實(shí)測序列的概率分布以及轉(zhuǎn)移矩陣的穩(wěn)態(tài)概率分布。隨后進(jìn)一步的對這兩個(gè)地區(qū)50組模擬雨衰時(shí)間序列的概率分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，并與ITU-R提供的衛(wèi)星位置為92°E、頻率12.5 GHz線極化情況下這兩個(gè)地區(qū)的不同降雨衰減值下的時(shí)間百分概率進(jìn)行了比較。結(jié)果表明：在大多時(shí)間概率下，模擬序列的概率分布與實(shí)測或ITU-R給出的概率分布基本吻合，只有當(dāng)小概率事件時(shí)，由于實(shí)測和模擬數(shù)據(jù)較少，會(huì)出現(xiàn)一定偏差，從而表明該模型在我國的可用性。

[1] LACOSTE F. Classical and on-demand rain attenuation time series synthesis: principle and applications[C]//Proceedings of 24th AIAA ICSSC Conference. San Diego, California, June, 2006: 1-10.

[2] MASENG T, BAKKEN P M. A stochastic dynamic model of rain attenuation[J]. IEEE Trans on Commun, 1981, 29(5): 660-669.

[3] CARRIE G, LACOSTE F, CASTANET L. A new 'event-on-demand' synthesizer of rain attenuation time series at Ku-, Ka- and Q/V-bands[J]. International Journal of Satellite Communications and Networking, 2009, DOI: 10.1002/sat, 1-17.

[4] FILIP M. COST 280: Propagation Impairment Mitigation for Millimeter Wave Radio Systems[R]. Stevenage: IEE Micharl Faraday House, 2003, 573-576.

[5] 車 晴, 毛 志. Ku波段衛(wèi)星廣播中雨衰現(xiàn)象的研究[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 14(2): 76-81.

CHE Qing, MAO Zhi. Study of the rain attenuation in the satellite broadcast of Ku band[J]. Chinese Journal of Radio Science, 1999, 14(2): 76-81.(in Chinese)

[6] YANG Ruike, WU Zhensen. Rain attenuation ratios on short microwave and millimeter wave band earth-space paths[J]. International Journal of Infrared and Millimeter Waves, 2003, 24(12): 2163-2172.

[7] 趙振維, 吳春雨, 林樂科, 等. 視距鏈路的雨衰減預(yù)報(bào)模式研究[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 21(5): 656-658.

ZHAO Zhenwei, WU Chunyu. LIN Leke, et al. A new prediction model of rain attenuation of terrestrial line-of-sight systems[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2006, 21(5): 656-658. (in Chinese)

[8] 趙振維, 盧昌勝, 林樂科. 基于雨胞分布的視距鏈路雨衰減預(yù)報(bào)模型[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 24(4): 627-631.

ZHAO Zhenwei, LU Changsheng, LIN Leke. Prediction model of rain attenuation based on the EXCELL rain cell model for the terrestrial line-of-sight systems[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2009, 24 (4): 627-631. (in Chinese)

[9] 楊瑞科, 李 磊, 仲 普, 等. 我國典型地區(qū)動(dòng)態(tài)雨衰減時(shí)間序列仿真研究[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 26 (5): 875-880.

YANG Ruike, LI Lei, ZHONG Pu, et al. Simulation of dynamic rain attenuation time series at typical regions of China[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2011, 26 (5): 875-880.(in Chinese)

[10] CASTANET L, DELOUES T. Channel modeling based on n-state markov chain for stacom systems simulation[C]//ICAP 2003 Conference. Exeter, UK, 2003: 119-122.

[11] International Telecommunication Union. ITU-R P.1623.1 Recommendation: Prediction method of fade dynamics on Earth-space paths[R]. Geneva: ITU, 2003.

[12] HEDER B. General N-state Markov model applicable for attenuation time series generation parameterized from Gaussian fade slope model[C]//WSEAS-EHAC Conference. Madrid, Spain, February 2006.

[13] HEDER B. Rain attenuation time series generation applying N-State Markov Model parameterized from Hungarian measurement[C]// ESTEC Conference. Noordwijk, Novomber, 2005.

[14] 盛 驟, 謝式千, 潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.