K空間抽樣格林函數在正向重構時的誤差分析

唐 波, 苑秉成, 徐 瑜

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K空間抽樣格林函數在正向重構時的誤差分析

唐 波, 苑秉成, 徐 瑜

(海軍工程大學, 兵器工程系, 武漢 湖北, 430033)

在近場聲全息重構過程中, 當采用K空間抽樣格林函數進行大距離正向重構時, 會產生極大的誤差, 而傳統的加窗處理不能有效抑制這種誤差的產生。文中在分析了誤差是K空間抽樣格林函數幅值突變而產生的頻譜泄露和邊緣吉布斯效應的基礎上, 提出了有針對性的改變窗函數的截止波數, 使格林函數幅值突變部位得到有效平滑, 進而抑制這種誤差產生的方法。仿真結果表明, 經改進的窗函數能夠對K空間抽樣格林函數大距離正向重構時的誤差起到明顯的抑制作用, 使此條件下的全息重構具有更加良好的效果。

近場聲全息; K空間; 格林函數; 正向重構; 窗函數

0 引言

近場聲全息技術是上世紀80年代從全息領域脫穎而出的新技術。它借助重構面與全息面之間的空間場變換關系, 由全息面聲場變換得到重構面聲場。近場聲全息技術特別適用于低頻場源特性判別、散射體結構表面特性以及結構模態振動等研究。

平面近場聲全息技術是全息面和重構面均為平面的正交共形近場聲全息技術。在平面近場聲全息技術中, 當采用K空間抽樣格林函數進行正向重構時, 重構結果對重構距離極為敏感, 當重構距離很小時, 重構具有很高的精度。而當重構距離較大時, 重構誤差急劇增加[1]。目前的研究認為，這種誤差來源于采用K空間抽樣格林函數進行重構時的卷繞誤差, 并且這種情況下, 對格林函數加窗不能對誤差的減少產生明顯作用。

1 K空間抽樣格林函數特性分析

由近場平面聲全息基本理論可知, 正向重構時K空間抽樣格林函數的數學表達式為

圖1 不同重構距離時的K空間格林函數分布圖

由圖1可以看出, 隨著重構距離的增大, 位于輻射圓之外的格林函數幅值衰減越來越厲害。當重構距離達到100 cm時, 輻射圓之外的格林函數迅速減小至零, 這將導致在輻射圓附近K空間抽樣格林函數產生突變, 這種突變會產生類似數據截斷的效應, 在逆傅氏變換時將在實空間域導致重構信號的劇烈波動, 產生極大的重構誤差。

2 加窗處理

由以上分析可以看出, 當采用K空間抽樣格林函數進行全息重構時會產生誤差。為了抑制重構過程帶來的誤差, 需要采用一定的濾波措施, 全息重構中常采用加窗函數來減小誤差。

在各種濾波窗函數中, 文獻[5]提出的窗函數應用最廣泛, 該函數通過在截止波數處采用平滑處理, 獲得了很好的濾波效果。該窗函數的表達式為

在該函數中截止波數的選擇非常重要, 對濾波的結果影響非常大。目前在正向重構過程中, 對K空間抽樣格林函數進行加窗處理時, 選擇截止波數仍然采用經驗公式

“這是你祖姑婆給你的，對嗎？”烏有先生接過玉玦，沉沉生碧，月光里柔美溫潤，帶著女孩的體溫。女孩幽蘭一般的氣息，白玉般略寬的臉龐，靈慧的眼神，熱烈而堅定，何其熟悉。今夜星雪海，似是故人來。他想起一個甲子之前的長安，烏有也是鮮衣怒馬的少年郎，整天魂牽夢繞，想念深宮里明眸善睞的佳人，他滿世界去抄龍族、鬼母的傳奇送她看，她則托人將冰雪深沃的交州荔枝帶出來給他吃，將新寫的詩給他念。

由圖2可以清晰地看出, 因為較小重構距離下格林函數在孔徑內沒有得到充分的衰減, 從而在孔徑邊緣處由于截斷產生了幅值突變, 同時在輻射圓附近沒有幅值突變(如圖1中重構距離1 cm的曲線), 因此以往的加窗處理是有效的(如圖2中重構距離1 cm的曲線)。

圖2 加窗后的K空間抽樣格林函數分布圖

然而在大距離重構條件下, 格林函數在孔徑內已經得到充分衰減, 因此在孔徑邊緣處不存在幅值突變, 而在輻射圓附近卻存在幅值突變, 迅速從1變化為0(如圖1中重構距離100 cm的曲線), 因此用于平滑孔徑邊緣處函數值的窗函數無法平滑輻射圓附近的幅值突變(如圖2中重構距離100 cm的曲線), 從而無法抑制這種突變引起的吉布斯效應, 也就無法減小重構誤差。

基于以上分析討論, 需要有針對性的改變窗函數的結構, 使窗函數能夠對輻射圓附近的幅值突變產生平滑作用。本文通過改變截止波數的方法來實現。

此時對于窗函數表達式(4)來說, 截止波數的改變意味著窗孔尺寸的改變, 如圖3所示。

圖4 加改進窗的K空間抽樣格林函數分布圖

圖4可清楚看到, 改進的窗函數對格林函數在輻射圓附近的幅值突變起到很好的平滑作用。

3 仿真驗證

圖5 全息面理論聲壓幅值

圖6 重構面理論聲壓幅值

不加窗時的重構結果如圖7所示。

圖7 不加窗時重構面聲壓幅值

圖8 加窗時重構面聲壓幅值

由圖7和圖8可以看出, 不加窗和加采用式(5)截止波數的窗函數, 其重構結果沒有明顯的改變, 因此加采用式(5)截止波數的窗函數不能有效地抑制K空間抽樣格林函數大距離正向重構時的重構誤差。

圖9 加改進窗時重構面聲壓幅值

由圖9可以看出, 改進的窗函數可以有效地抑制K空間抽樣格林函數大距離正向重構時的重構誤差。

7和圖8可以看出，相對誤差超過了100%，完全淹沒了聲壓信息。同時，在對信號進行加窗和濾波處理時，在抑制誤差干擾時，也會對信號有一定程度的削弱，致使重構幅度變小，對比圖6和圖9可以清晰的看到這點，雖然重建聲壓值降到了理論聲壓值一半左右，但相對誤差減小到了10%左右，能夠真實反映重構面的聲壓信息。

4 結束語

從以上的理論推導和仿真驗證可以看出, 當采用K空間抽樣格林函數進行大距離正向重構時, 由于格林函數位于輻射圓內低波數成分幅值恒為1, 而位于輻射圓之外的高波數成分幾乎衰減至零[9], 以至在輻射圓附近格林函數幅值發生突變, 這種突變會產生類似數據截斷的效應, 在全息重構中產生極大的誤差。

傳統的加窗處理只是用窗函數來平滑孔徑邊緣處的函數值, 無法消除輻射圓附近的格林函數幅值突變, 也就無法抑制這種幅值突變給全息重構帶來的誤差, 因此無法有效地改變全息重構的效果。

改進的窗函數針對格林函數幅值發生突變的位置, 改變窗孔大小, 能夠有效的平滑處理輻射圓附近的格林函數幅值突變, 也就抑制了這種突變帶來的誤差效應, 使重構結果符合聲場實際分布。仿真結果表明, 該改進的窗函數能夠對K空間抽樣格林函數大距離正向重構時的誤差起到明顯的抑制作用, 使此條件下的全息重構具有更加良好的效果。

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Error Analysis of Green′s Function Sampled in K-space for Forward Reconstruction

TANG Bo, YUAN Bing-cheng, XU Yu

(Department of weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

During the near-field acoustic holographic reconstruction, tremendous errors will appear when using Green′s function sampled in K-space for long distance forward reconstruction, and conventional window function cannot restrain the error efficiently. In this paper, the error is analyzed to be generated by spectrum leakage and edge Gibbs phenomenon derived from amplitude discontinuity of Green′s function sampled in K-space, hence a corresponding method for changing the cut-off wave number of window function is represented to smooth the amplitude discontinuity and further to restrain the error. Simulation result shows that the improved window function can obviously reduce the error in the holographic aperture, and the present method is efficient in restraining the error generated by spectrum leakage and Gibbs phenomenon derived from amplitude discontinuity of Green′s function sampled in K-space.

near-field acoustic holography; K-space; Green′s function; forward reconstruction; window function

TJ630; TB525

A

1673-1948(2012)02-0095-05

2011-08-27;

2011-09-29.

唐 波(1980-), 男, 在讀博士, 主要研究方向為制導與控制技術.

(責任編輯: 楊力軍)