GPS網高程約束對二維平差精度的影響分析

康世英，張宏偉

（1.江蘇華東新能源勘探有限公司，江蘇南京210007;2.江蘇省有色金屬華東地質勘查局814隊，江蘇鎮江212005）

一、引 言

在GPS網的二維約束平差過程中，按常規設置(僅約束控制點的平面網格坐標)時，平差結果經常不太理想，而如果同時約束起算點的大地高(或高程與高程異常之和)時，平差結果將有所不同。對于是否約束的大地高的精度影響平面平差精度問題，筆者根據多年來的實際經驗，通過分析二維約束平差的轉換模型，對此進行探討分析，并提出一些參考建議。

二、二維約束平差的轉換模型

GPS定位技術用于測量，其所得結果多為三維的基線向量，而基線向量又構成一個GPS基線向量網。基線向量網是三維空間的，二維轉換就是提取出三維基線向量中的二維信息，構成一個二維GPS向量網。

二維轉換的目的是將三維的GPS基線向量網變形投影至國家/地方坐標系上去。三維基線向量轉換成二維基線向量的方法可以是在一點上實行位置的強制約束，在一條基線的空間方向上實行定向約束的三維轉換方法;也可以是在一點上實行位置的強制約束，在一條基線的參考橢球面投影的法截弧和大地線方向上實行定向約束的準三維轉換方法［1-2］。

GPS基線向量的二維轉換分兩步進行［3］。

1)GPS三維基線向量網的平移變換。設常規地面測量控制網的原點在國家大地坐標系中的大地坐標為B0、L0、H0，求得GPS網平移至地面測量網原點的平移參數為ΔX、ΔY、ΔZ，可得到GPS網中各點在國家大地坐標系中的大地坐標Bi、Li、Hi。

2)GPS網在國家大地坐標系內的二維投影變換。為使GPS網與地面網在起始方位上也一致，可利用大地測量學中的赫里斯托夫第一類微分公式(式(1))，使得同一橢球面上的網互相匹配，最后得到GPS網各點在國家大地坐標系內與地面原點一致、起始方位一致的大地坐標，進一步可算得在投影平面坐標系內的坐標xi和yi。

對于地方獨立坐標系而言，該坐標系對應著一個地方參考橢球，該橢球與國家參考橢球只存在長半徑上的差異d a，可根據橢球變換的投影公式進行投影變換得到相應的平面坐標，即

綜合上述分析，二維約束平差前，根據三維和二維固定點，將WGS-84坐標系的三維基線向量轉換到投影平面上的二維基線向量，再進行平差，需要至少一個三維坐標起算點和一個二維坐標起算點。二維約束平差將平面坐標分量與高程分量分離，忽略了兩者之間的相關性，且對數學模型進行了一定的近似，只適用于小規模的控制網。

三、高程誤差對三參數轉換的影響

［4］較系統地研究了高程誤差對坐標轉換的影響，高程誤差引起的坐標誤差主要在大地高方面，對經、緯度方向的影響很小，通常只有幾個毫米。在不同的區域，其影響是不同的，坐標誤差隨著經度的減小而增大。參考文獻［5-6］中，通過數據試算及理論公式推導得出結論:若某公共點的地方坐標大地高存在誤差，但求得轉換參數后，轉換出來點的平面坐標不變，即使公共點中多個點的大地高有誤差，結果仍成立。本文采用文獻［5］中同樣的數據，更改大地高后進行試算，發現文獻中所取4點大地高計算結果純屬巧合，其結果是有差異的，百米量級的大地高誤差，其對平面坐標的影響達分米級，是超出工程允許誤差的，以正常高代替大地高計算轉換參數不影響待轉換點的平面坐標的觀點是須加條件限制的，而且對待轉換點的影響隨著距離起算點的增長而增大，七參數的情況也是如此。

下面舉例試算，討論以一個三維坐標作為起算點計算大地高誤差對三參數轉換的影響。非洲某GPS控制網(如圖1所示)，表1列出了相關數據，30號點取兩組大地高計算三參數，由這兩組大地高求出的轉換參數列于表2中。表3列出了對同一待定點(01號)利用兩組轉換參數求得的當地坐標。從表2、表3可看出，利用同一點取不同的國家大地坐標系大地高值所計算的原點平移參數不同，則會導致所計算的各點在國家大地坐標系中的大地坐標也不同。是否會對進行二維投影變換時產生的平差坐標存在影響，以下以天寶軟件二維平差進行討論。

圖1 某工區GPS控制網

表1 控制點的WGS84坐標和地方坐標系平面坐標 m

表2 對應于兩組大地高求出的三參數

表3 兩套轉換參數對同一點轉換結果的差異 m

四、天寶軟件的二維約束平差實例分析

1.TGO1.63下的二維約束平差

在TGO1.63中，國家/地方約束平差是在建立的國家/地方基準橢球面上進行的，將GPS觀測向量在項目基準上進行平差計算，通過國家/地方約束點的控制，計算出平差參數。不管項目基準中設置的基準轉換如何改變，均不影響約束平差值(不管是二維還是三維平差)，因為GPS網中基準轉換參數是從WGS-84轉換到地方基準時產生的。每個轉換組有7個平差參數:經度偏差、緯度偏差、方位角旋轉、網尺度、距離比例、距離常數、高度常數，可以有選擇地用來定義應用于完全約束平差期間的轉換參數。

二維約束平差時，按常規設置方法約束控制點的平面坐標，無約束任何網點的大地高或約束任某一網點的大地高，則平差結果不相同，對于此問題，參考文獻［7］也進行了探討。筆者經過多次反復平差對比試驗，認為出現此問題的原因與起算點距離測區的遠近無關，而在于不約束任何一網點的大地高時，平差過程將不計算網尺度(默認為1)，當最少一點大地高和兩個二維平面點被約束時，網尺度值才能被計算并報告出來。約束不同網點的大地高值，對平差結果亦有影響，原因在于不同網點的大地高不同，即位置重合的起算點不同，平移變換參數則不同，網尺度也不同。若約束兩個網點的大地高值，則是取兩點的平均變換參數;若約束3個以上網點的大地高值，則為了三維約束平差，平差結果當然存在差別。表4列出了對圖1中控制網進行二維約束平差后高程影響值的對比分析結果。

表4 高程約束與否及不同高程值二維平差坐標對比表m

該GPS網無約束平差后最弱點(93)點位中誤差為 ±3.5 cm;最弱邊邊長相對中誤差為1/297 865。由此可見，GPS網觀測質量良好。以30號點和93號點為平面約束點，執行地方坐標系二維約束平差，對01號點平差坐標作對比分析:①不約束任一網點的大地高時，網尺度值為1，方位角旋轉值為-1.242 2″，純量值急劇增大，控制網出現扭曲及變形;②約束30號點的大地高1時，網尺度值為1.000 018 75，方位角旋轉值為-0.967 9″;③ 約束30號點的大地高2時，網尺度值為1.000 018 73，方位角旋轉值為-0.968 2″。

2.TBC2.60下的二維約束平差

在TBC2.6中，約束平差完成后，7個平差參數顯示在“網平差變換參數”中。約束任一網點的大地高與不約束任何網點的大地高，其二維約束平差結果基本一致。不約束任一網點大地高時，同樣也計算出網尺度，結果顯示:已經用內約束固定網的橢球高度(默認大地高與無約束平差結果相同)。約束任一網點的默認大地高，網尺度均相同，其平差結果也完全一致;改變任一網點的大地高，則計算出不同的網尺度，平差坐標亦不同，隨著大地高誤差的增大，平差坐標誤差也增大。表5列出了上述GPS控制網二維約束平差高程誤差影響值，對比分析:①內約束固定網的橢球高度(30號點的橢球高度為1 331.474)，網尺度值為0.999 982 589 0;② 約束30號點或93號點的大地高值，依次加上1 m、10 m、25 m、50 m、100 m、500 m 的誤差，平差坐標與①對比。

表5 不同起算點、不同高程值二維平差坐標對比表m

五、結 論

1)在進行二維約束平差時，必須以國家/地方坐標系的一個已知點和一個已知基線的方向作為起算數據，平差時將選定的三維GPS基線向量及其方差、協方差陣轉換至國家/地方坐標系的二維平差計算面(橢球面或高斯投影面)，形成二維GPS基線向量及其方差、協方差陣，然后在國家/地方坐標系中進行二維約束平差［8］。轉換后的GPS基線向量網與地面網在一個起算點上位置重合，在一條基線方向上方位一致。

2)在將GPS基線距離歸算到參考橢球面(或測區平均高程面)和某投影面之前，須進行尺度改正計算，以消除“縮放”比例因子對平差成果的系統性影響。進行尺度改正，則至少已知一個起算點的大地高，不同的大地高數據使GPS三維基線向量網平移變換的參數改變，網尺度也改變，平差結果也將發生變化。大地高不準確不僅對高度平差有影響，而且對平面坐標也有影響，對東西坐標方向的影響大于南北坐標方向。

3)高程有25 m誤差，坐標轉換誤差達0.1 m，但對二維約束平差最終的影響不足1 mm，100 m量級的影響值僅僅3 mm，所以二維約束平差時，用正常高來代替大地高作為起算點的高程約束，是完全能夠滿足工程需要的;另外，選取不同網點作為起算點，對二維約束平差的影響很小，完全可以忽略不計。

4)二維約束平差適宜于小范圍的GPS控制網平差，對于不同的軟件執行二維約束平差過程時，應對大地高或高程的約束問題引起重視，比如TGO。

參考文獻:

［1］ 劉基余.全球定位系統原理及其應用［M］.北京:測繪出版社，1993:226-227.

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［7］ 李沖，譚理.利用TGO進行災區GPS控制網平差的一種有效方法［J］.城市勘測，2010(6):93-95.

［8］ 甄登春，寧紅，程小河.基于擬穩基準的GPS網2維約束平差實用方法及其應用實例［J］.測繪與空間地理信息，2008，31(5):168-171.