解析自行車的動力特性——自行車到底能跑多快

劉錫昌

(菏澤工業學校,山東 荷澤 274000)

自行車以輕便、環保、使用成本低等特點頗為世人青睞,現在自行車的種類和檔次都在逐步提高,變速自行車也是中學生的時尚,平時騎行者悠然于市街,或急馳于道路,那么自行車到底能跑多快？

雖然自行車是由兩個輪子、一副鏈輪安在一個穩定支架上,結構看似簡單,但它的動力學內容很豐富,本文將利用物理學綜合知識予以解析.

1 自行車的受力特征

設騎行者質量為m,人與車總質量為M,前和后輪半徑為R,前后鏈輪半徑為r0和r,傳動比為(一般2.5～2.8),腳踏曲柄半徑為L,鏈條主動拉力和被動拉力分別為T1和T2;并且設前車輪、前鏈輪、后輪轉動慣量分別為I1、I0、I2,近似有

下面我們詳細分析自行車的運動和受力特征.

自行車不同于其他動力車輛,它的動力就是人的踏動力,通過簡單的傳動關系,把依賴于自身重量的踏動力轉化為推動力,從而提高整體速度,這是一套完美的運動結構.人憑自身重力mg或部分重量踏曲柄,對于前鏈輪產生一個主動力矩q1,前鏈輪對于自行車做定軸轉動,根據剛體轉動方程有

則

其中,β0是曲柄或前鏈輪的角加速度.通過鏈條傳動拉力T1和T2作用于后鏈輪,對于后鏈輪產生一個動力矩q2,那么后輪在q2作用下產生加速轉動,對后輪使用剛體轉動方程并且忽略鏈條的質量等因素有動力矩q2作用于后輪,使后輪產生角加速度β,其中r0β0＝rβ(鏈條加速度),并且Rβ＝a(自行車純滾動時平動加速度).

(2)計算主動力矩q1.

為了便于問題討論,設人全力腳踏曲柄使自行車加速,由于曲柄在重力作用下做定軸轉動,踏動力產生主動力矩q1可以通過半圈功的積分計算得到其有效值,得q1＝2mgL/π.

(3)自行車平動及轉動力學特征.

①自行車后輪在動力矩q2驅動下,輪胎與地面接觸點有相對滑動趨勢,因而地面對車后輪接觸處產生向前的靜滑動摩擦力f2,該力是整車前進的動力(牽引力).

本文考慮如下的二維定位場景(可直接擴展至三維)：假設場景中有M個外輻射源和N個接收站，其位置分別已知為和目標位置x=[x,y]T為待估參量.那么，目標到外輻射源m的距離為

②f2除了是自行車平動的動力,還對后輪產生一個阻力矩f2R,對于后輪而言有

其中δ是滾動摩擦力矩.

③整車在f2作用下,前車輪是被動輪,因有向前的滑動趨勢,故受到地面向后的靜滑動摩擦力f1,該力產生的力矩使前輪產生轉動,即

④整車除了f1、f2作用之外,還受到向后的空氣阻力f3,它們的合力作用下產生平動加速度a,由牛頓定律有

2 自行車的動力學方程組

聯立以上得到的方程:

解方程組得到

我們假設m/M＝0.9(m取70kg,M取80kg),一般自行車κ≈2.6,R＝0.33m,L＝0.18m,有

上式說明自行車獲得的最大加速度是常數項1.17m/s2,(實際上,我們按a的綜合表達式可以得到一般的表示)當a＝0時自行車獲得最大速度.f3是空氣阻力,按風洞實驗給出的風阻系數公式,可以得到空氣阻力f3≈γρAv2/2(其中,γ風阻系數,ρ空氣密度,A迎風正面投影面積,v速度).

對于一般成人而言,A取0.4m2,γ取0.8(垂直平面體大約是1.0,球體大約是0.5);取20℃,1個標準大氣壓時,ρ＝1.2kg/m3,f3≈0.19v2＝1.17M,得到v＝22m/s.

對于專業運動員,γ可能更小些如0.6,A也更小些大約為0.3m2,κ更大些如4,那么v可以達到23m/s.

3 影響自行車獲得最大速度的因素

自行車獲得最大速度的一般表達式為

公式第1項:人的重量和曲柄半徑積,屬于動力項.第二項:自行車的變速比與動力輪半徑積,屬于傳動項.第三項:空氣阻力、空氣密度、迎風面積,屬于阻力項.由此看來,決定自行車最大速度的關系十分明了,專業運動員身體前傾、穿緊身衣都是為了減小A;減小傳動比似乎可行,但是人的生理決定了腳的蹬踏頻率有限,例如人類百米極限大約每秒4.5步,所以這一項還是大一點好一些;增大人的重量比較有效,但是質量大必然會增大A.另外,最大速度與自行車的質量沒有關系.

若按百米極限大概每秒4.5步來計算專業自行車運動員的運動速度.

v′＝4.5κπR＝4.5×4×3.14×0.35m/s＝19.8m/s＝71km/h.

據資料記載:環法自行車選手在平路賽段時可以達到67km/h(18.6m/s),而奧運會場地自行車速度賽可以達到20m/s,這個結果與理論計算有一定的出入.由于物理學的計算通常都是建立在抽象模型之上,例如蹬踏頻率較高時重力產生的有效力矩減小了等,實際的結果與理論有出入也是可以理解的.

通過以上對自行車的動力學特性分析可以看出,不論普通人還是專業運動員都可以借助自行車達到較高的運動速度23m/s(82.8km/h).影響自行車達到最大速度的因素有以下很多:如空氣密度、氣壓、身體姿勢、傳動比、身體質量等,當然還有人的其他因素如體能和生理條件,自行車的品質以及路面狀況和風速度等并沒有考慮其中,實際所能達到的最大速度與理論計算會有一定的差別.自行車結構雖然簡單,但它所蘊含的物理學知識還是相當豐富的.