一道天體競賽題的解法

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

圖1

例題.假設地球是一個質量分布均勻的球體,在地球的東半球北緯30°的a處開一條穿過地軸的隧道直通西半球北緯30°的b處,如圖1所示.在出口a、b處分別將質量為M和m的兩個物體同時由靜止釋放,已知M＝1.5m,取地球半徑R＝6400km,隧道是光滑的,兩物體間的碰撞是彈性的,忽略空氣阻力和地球轉動的影響,問物體m從b處出來后飛離地面的最大高度和射程各為多少？以無窮遠處的引力勢能為0,距地面高度為H處物體的引力勢能為在地球內部距地心為r處的引力勢能公式為式中G為萬有引力恒量,M0為地球質量,R為地球半徑.

解析:首先應用機械能守恒定律和動量守恒定律求m從b處飛出時的速度.物體在地球內部的直線運動過程和在地球外部的曲線運動過程,都遵循機械能守恒定律,但物體在地球內外的引力勢能公式不同.設隧道中點c到地心O的距離為h,物體在此點時的速度為u0,則當物體在由洞口a運動到中點c的過程中,由機械能守恒定律有

由此得

物體在地面處的重力為

由(2)、(3)式得

由(4)式知,物體到達隧道中點c時的速度與其質量無關.

當兩個物體M和m分別在洞口a、b處由靜止同時釋放時,由于它們的運動情況完全相同,將同時到達隧道中點c處,并發生彈性碰撞.碰撞前,二者的速度都為u0,方向相反,剛碰撞后,兩物體M和m的速度分別為v1和v2,取從a→b的方向為正方向,由動量守恒定律有

由機械能守恒定律有

由(5)、(6)式解得

設物體m運動到洞口時的速度大小為v2′,由機械能守恒定律有

聯立(3)、(7)、(8)式解得

而

這就是物體從洞口飛出時的初速度.

下面求最大高度.

圖2

方法1:應用機械能守恒定律和角動量守恒定律.

物體m以v0＝v2′的速度從b處飛出后,在地心引力的作用下沿著橢圓軌道運動,運動軌跡如圖2所示.設最高點到地面的垂直距離為H,在最高點即遠地點時的速度為v3,由機械能守恒定律有

把GM0＝R2g＝Rv2代入得

由角動量守恒有

由(13)、(14)式消去v3得

再由(11)式可得

方法2:應用機械能守恒定律、角動量守恒定律和橢圓知識.

圖3

如圖3所示,導彈沿著橢圓軌道運動,地心位于橢圓的一個焦點上,在出射點A的速度為v0,利用繞地球做橢圓運動物體的機械能總量公式由機械能守恒定律有.

設導彈在最高點B的速度為v3,由萬有引力提供向心力得

下面求最大射程.

對A點有得則

由sm＝R·2β算出最大射程為sm＝4650.24km.若取