幾何知識在中學(xué)物理教學(xué)中的運(yùn)用

邱雷狄

(浙江省慈溪市滸山中學(xué),浙江 慈溪 315300)

物理學(xué)研究物體的各種運(yùn)動.運(yùn)動的描述離不開空間和時(shí)間.幾何學(xué)是描述空間的科學(xué).物理學(xué)和幾何學(xué)密切相關(guān),許多物理問題的描述和解決得依賴于幾何知識.離開了幾何知識,很多物理問題就很難甚至于無法解決.幾何知識在力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)等所起的作用尤其重要.

先考察幾何知識在力學(xué)中的應(yīng)用.物體做機(jī)械運(yùn)動,必須用幾何圖形來描述;力或其他矢量的合成,遵循平行四邊形定則,就得用幾何作圖的方法.所以解決力學(xué)問題常常借助于幾何知識.

圖1

例.如圖1所示,固定的半徑為R的光滑大球正上方有一個(gè)定滑輪,細(xì)線系住質(zhì)量為m的小球繞過定滑輪緩慢拉起.小球受到的大球的支持力FN和細(xì)線拉力FT如何變化？小球貼著大球面緩慢移動過程中始終受到重力G、支持力FN和拉力FT的作用,保持平衡狀態(tài),滿足合力為0的平衡條件.根據(jù)三力合力為0確定支持力FN和拉力FT如何變化,這是解決問題的物理原理.沒有數(shù)學(xué)工具還是不能找到答案.我們首選幾何方法,作圖求三力的合力.如圖2所示,由于合力為0,三個(gè)力組成三角形.顯然,力三角形中的重力G豎直向下,與圖1中BO方向一致,支持力FN跟半徑OA方向一致,拉力FT跟細(xì)線AB方向一致.力三角形跟幾何三角形OAB相似.根據(jù)相似形原理可得

圖2

由于重力G不變,小球移動,線段BO和AO長(即h和R)不變,細(xì)線AB長l變小,可知FN大小不變,FT變小.從畫力的三角形到利用三角形相似找到答案,充分地運(yùn)用了幾何知識.

圖3

再舉一例.如圖3所示,豎直放置的圓環(huán)有幾條用光滑細(xì)桿做成的弦,中間一條AB是直徑,A位于圓環(huán)的最高點(diǎn).每條細(xì)桿套著小珠子.讓小珠子從A靜止起沿桿滑下,哪個(gè)珠子先與圓環(huán)接觸？解決這個(gè)問題并不困難.先分析一下套在AC桿上的小珠子受力.設(shè)AC與AB的夾角為θ,容易確定小珠子受到的合力為F＝mgcosθ,由牛頓第二定律mgcosθ＝ma,得a＝gcosθ.設(shè)直徑AB＝d,弦AC＝dcosθ,由位移公式,即可得

結(jié)果表明珠子從A滑下到圓環(huán)的時(shí)間跟弦與豎直線夾角θ無關(guān),珠子都同時(shí)到達(dá)圓環(huán).這是一個(gè)用物理知識和幾何知識得到的結(jié)論,用它可以進(jìn)一步解決更為復(fù)雜的問題.

圖4

如圖4(甲)所示,斜面傾角θ,A為斜面上方一點(diǎn),AB為鉛垂線,AD為光滑的桿子,一端位于A點(diǎn),另一端在斜面上,它與鉛垂線夾角α.桿上套一個(gè)珠子,讓珠子從A靜止起沿桿下滑,問角α多大時(shí),珠子滑到斜面上的時(shí)間最短？這個(gè)問題可以通過求加速度,再列運(yùn)動方程,求最小值方法來解決,但得花較多的時(shí)間.若能利用上面的結(jié)論,問題就簡單了.以AB為直徑作圓,圓交斜面于B和C點(diǎn).由幾何知識知∠ACB為直徑上的圓周角,等于90°,即AC垂直BC,∠BAC＝θ.取BC弧的中點(diǎn)D′,連接AD′.根據(jù)圖3的啟示,珠子從A點(diǎn)靜止起沿AB、AC或AD′下滑,將同時(shí)到達(dá)B、C和D′點(diǎn).可見沿AD′方向的珠子先到達(dá)斜面.D′為BC弧中點(diǎn),AD′為∠CAB的角平分線,它跟AB的夾角為

幾何知識在電磁學(xué)中也有重要應(yīng)用.我們用電場線形象描述電場,用磁感線形象描述磁場,就是用幾何方法表示電場和磁場在空間的分布情況.帶電粒子在電場中或在磁場中運(yùn)動,其軌跡亦用幾何圖形來描述.利用幾何知識可以求解未知的物理量.如圖5所示的圓形勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直于紙面向里,圓半徑為R.帶電粒子質(zhì)量為m,所帶電荷量為q,對準(zhǔn)磁場圓心O垂直磁場射入,偏轉(zhuǎn)θ角射出,求帶電粒子的速度v的大小.

圖5

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中受洛倫茲力f作用,洛倫茲力起到向心力作用,由牛頓第二定律可得

由此可見幾何知識的重要作用,沒有幾何知識無法解決問題.

我們可以舉大量的例子說明物理學(xué)離不開幾何學(xué).沒有幾何學(xué)就無法完整、確切描述物理概念和規(guī)律.尤其是對物理場的描述,可以說物理學(xué)已融入幾何學(xué),這稱之為物理學(xué)的幾何化.近代物理研究告訴我們,幾何學(xué)也離不開物理學(xué).最初的歐幾里得幾何學(xué)是關(guān)于空間規(guī)律的一門科學(xué),它跟時(shí)間、物體的運(yùn)動沒有關(guān)系.有了相對論,長為L的棒沿棒的方向高速運(yùn)動,棒的長度L將縮短.在高速運(yùn)動的坐標(biāo)系中研究空間幾何學(xué),就得考慮速度問題和時(shí)間問題,幾何學(xué)離不開物理學(xué),這稱之為幾何學(xué)的物理化.物理學(xué)的幾何化和幾何學(xué)的物理化是愛因斯坦在創(chuàng)立廣義相對論的長期探索中提出的重要思想.把幾何學(xué)與物理學(xué)相互融合起來,大大豐富和發(fā)展了科學(xué)的統(tǒng)一性思想.正確認(rèn)識和正確處理物理學(xué)和幾何學(xué)的關(guān)系,應(yīng)該提到更深層次.

1 樓世洲.物理學(xué)的思想和方法導(dǎo)論.華齡出版社,2002.

2 李艷平,申先甲主編.物理學(xué)史教程.科學(xué)出版社,2003.