巧用二項(xiàng)式定理解決一類數(shù)列問(wèn)題

題目：已知數(shù)列{a}是以d為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{b}是以q為公比的等比數(shù)列.若b=a，b=a≠a，b=a（其中t>s>r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)）.求證：數(shù)列{b}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a}中的項(xiàng).

本題是2010年鹽城市高三調(diào)研測(cè)試的壓軸題，主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用，題目較為復(fù)雜，需要一步一步地分析求解，計(jì)算量要求較高，屬于難題.

解法1：由b=a，得b=bq=a=a+（s-r）d，則d=；

因?yàn)閎=bq=aq=a=a+（t-r）d，

所以aq-a=（t-r）·，從而a（q+1）（q-1）=a（q-1）·.

因?yàn)閍≠a，即b≠b，所以q≠1，又a≠0，

故q=-1.又t>s>r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)，

所以q是整數(shù)，且q≥2，對(duì)于數(shù)列中任一項(xiàng)b（這里只要討論i>3的情形），

有b=aq=a+a（q-1）=a+d[（s-r）（1+q+q+…+q）+1-1]

因?yàn)椋╯-r）（1+q+q）+…+q）+1是正整數(shù)，所以b一定是數(shù)列的項(xiàng).

此法是答案提供的方法，雖然緊扣考點(diǎn)，但技巧性強(qiáng)，對(duì)教材等差數(shù)列與等比數(shù)列知識(shí)理解能力要求很高.

注意到b=bq中含有q，而q可以寫成[（q-1）+1]，因此可考慮利用二項(xiàng)式定理將其展開(kāi)求解，本文給出此種解法.

解法2：由b=a，b=a≠a，知q≠1，{b}成等比數(shù)列，則b=bb，即a=a·a，

將a=a+（s-r）d代入得，[a+（s-r）d]=a[a+（t-r）d]

展開(kāi)：a+2（s-r）da+（s-r）d=a+（t-r）da，2（s-r）a+（s-r）d=（t-r）a，

化簡(jiǎn)：2a+（s-r）d=a，即：a+（s-r）d=（-1）a=a，

兩邊同除a：=（-1）==q∈N，

另：===q，即a=.

b=bq=aq=q=[（q-1）+1]

=[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）+1]

=[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）]（s-r）d

=a+[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）]（s-r）d

因q∈N，則M=[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）]（s-r）∈N

故b=a+Md，數(shù)列{b}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a}中的項(xiàng).

此法的關(guān)鍵在于將復(fù)雜的條件整合，用題目中的原始量將b表示成“a+Md”的形式.雖然計(jì)算量仍然很大，且對(duì)二項(xiàng)式定理要求很高，但不失為解決此類問(wèn)題的一個(gè)好辦法，因此值得推廣.

如題：等差數(shù)列{a}中，a=2，公差d是自然數(shù)，等比數(shù)列{b}中，b=a，b=a，探索當(dāng)且僅當(dāng)取d怎樣的自然數(shù)時(shí)，{b}的所有項(xiàng)都是{a}中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由.

分析：由a=2，b=a，b=a，則等比數(shù)列{b}的公比q=+1，

此時(shí)b=b·q=2（1+）.

=2[C（）+C（）+…+C（）+1]

=[C（）+C（）+…+C]d+2=2+（M-1）d

若[C（）+C（）+…+C]∈N*，則{b}數(shù)列的所有項(xiàng)都是{a}中的項(xiàng)，因此只需滿足∈N*.

反之，當(dāng)d為奇數(shù)時(shí)，[C（）+C（）+…+C]？埸N*，此時(shí)不滿足條件.

所以，當(dāng)d是非負(fù)偶數(shù)時(shí)滿足條件.

類似的題目還有很多，不能一一列舉.利用二項(xiàng)式定理解題能夠使解題的方向性更強(qiáng)，雖結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但思路易懂，還能靈活運(yùn)用知識(shí)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.