關(guān)于極限思想的思考

摘 要： 極限的思想方法作為人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題并解決數(shù)學問題的一種重要手段，不僅是對數(shù)學本質(zhì)的反映，而且是把知識轉(zhuǎn)化為能力的一種紐帶。本文給出了極限法的定義，探討了極限的發(fā)展過程，以及研究極限在一些學科中的簡單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 極限法定義 極限思想發(fā)展過程 極限思想的應(yīng)用

極限思想作為一種重要的數(shù)學思想，在整個數(shù)學發(fā)展史上占有重要的地位，是研究數(shù)學，應(yīng)用數(shù)學，推動數(shù)學發(fā)展必不可少的有力工具。不僅如此，極限思想還向現(xiàn)代學科擴張和滲透，有力地推動邊緣學科和跨學科的產(chǎn)生、發(fā)展、深化。

1.什么叫極限法？

所謂極限法就是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學方法。極限法的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量，確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這一結(jié)果。極限法不同于一般的代數(shù)方法，代數(shù)中的加、減、乘、除等運算都是用兩個數(shù)來確定另一個數(shù)，而在極限中則是用無限個數(shù)來確定一個數(shù)。很多問題用常量數(shù)學的方法無法解決，卻可用極限法解決。

2.極限思想的發(fā)展過程。

古希臘時代歐多克斯提出的“窮竭法”和芝諾的“二分法”可以說是極限論的雛形。我國古代杰出的數(shù)學家劉徽于魏景元四年注《九章算術(shù)》時，訂正了圓周率（圓的周長與直徑之比）是“圓三徑一”之誤。他在計算圓周率的過程中創(chuàng)立并使用了極限方法。在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓和體而無所失矣”。他的這段話是對極限思想的生動描述。到了16世紀，荷蘭科學家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進了古希臘人的窮竭法。他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸謬法證明步驟。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用的概念的方向”。19世紀大數(shù)學家柯西拋棄了物理和幾何直觀，通過變量首次給出了建立在數(shù)和函數(shù)上的極限定義：“當一個變量逐次所取的值無限趨向于某一數(shù)值，最終使變量的值與該定值之差要多小有多小，這個定值就叫做其他值的極限。”柯西的變量極限概念的提出，標志著極限概念向“算術(shù)化”邁出了決定性的一步，是數(shù)學史上的重大創(chuàng)新之一。在柯西關(guān)于變量極限的直觀動態(tài)定義的基礎(chǔ)上，德國數(shù)學家維爾斯特拉斯從靜態(tài)的觀點出發(fā)，把變量解釋成一個字母（該字母表示某區(qū)間內(nèi)的數(shù)），給出了嚴格定量的極限概念，即他本人在1856年首次提出的現(xiàn)今廣泛使用的ε-δ極限定義：

（1）ε-N的數(shù)列極限定義：設(shè){a}是一數(shù)列，a是一個確定的數(shù)，若對于？坌ε>0，？堝N，當n>N時，有|a-a|<ε，則稱a為數(shù)列{a}的極限。

（2）ε-δ的函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)f在點x的某空心領(lǐng)域u（x，δ′）內(nèi)有定義，A是一個確定的數(shù)，若對任給的ε，總存在某個正數(shù)δ（<δ′），使得當0<|x-x|<δ時，都有|f（x）-A|<δ，則稱函數(shù)當趨向于時極限存在，且以為極限。

這樣，極限的ε-δ定義使用靜態(tài)的有限量刻畫了動態(tài)的無限量，不僅排除了無窮小這個有爭議的概念，而且排除了柯西在定義函數(shù)的連續(xù)性中用到的“變?yōu)椴⑶冶３中∮谌我饨o定的量”這種說法的含糊性，這標志著清晰而明確的極限概念的真正建立。

3.極限思想在各學科中的應(yīng)用。

3.1文化里的極限

3.1.1孔子提出的“不憤不啟，不悱不發(fā)”的教育理念，就提倡教師培養(yǎng)學生主動的思考求索和積極的心理狀態(tài)準備的把握，也就是說教師在學生百思不解，徘徊不前，窮思竭慮，心燥意煩時對其點撥，啟發(fā)，使其眼前一閃，靈感驚現(xiàn)。無疑這就是文化中的極限。

3.1.2“孤帆遠影碧空盡”就是文學意境和數(shù)學概念的相通，即極限概念正是對這種孤帆遠影的現(xiàn)實精確化、形式化的解釋，也就是說無限遠處的逼近是0，是量變引起的質(zhì)變。又如：詩詞中的“大江東去浪濤盡”，男女相思的“望穿秋水”，廣告詞中的“沒有最好，只有更好”等文學文化都彰顯著極限的定義。反過來，寓數(shù)學思想于文學文化之中，像這樣具有極限意境的詩句無不使人心曠神怡。

3.2極限思想在物理解題中的應(yīng)用

例：宇航員在某一星球上以速度v豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球又落回到原拋物點.然后他用一根長為l的細繩把一個質(zhì)量為m的小球懸掛在O點，使小球處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)在最低點給小球一個水平向右的沖量I，使小球能在豎直平面內(nèi)運動，若小球在運動的過程中始終對細繩有力的作用，則沖量I應(yīng)滿足什么條件？

解析：如果給小球的沖量I很小，小球在豎直平面內(nèi)擺動，細繩中必有張力；如果給小球的沖量I很大，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，只要過最高點時的速度大于臨界速度，細繩中必有張力。

宇航員所在星球的重力加速度：g=2

設(shè)使小球在豎直平面內(nèi)擺動的最大沖量為I，小球獲得的初速度的最大值為v，則由機械能守恒定律：mv解得I=mv=2m

設(shè)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動的最小沖量為I，小球獲得的初速度的最小值為v，由機械能守恒定律：

mv-mv=-mg2l

由牛頓第二定律與向心力公式：mg=mv/l

解得I=mv=m

3.3極限思想在化學解題中的應(yīng)用

例：取5.4g某堿金屬R及其氧化物RO，使之與足量的水反應(yīng)，蒸發(fā)反應(yīng)后的溶液，得到8g無水晶體，求該金屬是什么？

分析：按照常規(guī)方法做的話，最終得到的是一個方程，兩個未知數(shù)，這就要求助數(shù)學中的思維方法——極限，把5.4g全部看做金屬或氧化物。

解：（1）如果全部是金屬

當然真實值應(yīng)該在10.7～35.3之間，堿金屬只有鈉在這個范圍。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫中的一朵奇葩，它不僅是對數(shù)學本質(zhì)的反映，而且是把知識轉(zhuǎn)化為能力的一種紐帶。隨著科學技術(shù)的不斷發(fā)展，生產(chǎn)力的不段提高，在科學的發(fā)展史上將發(fā)揮越來越重要的作用。我們可以在教學中更多地滲透極限思想，讓學生去體會和感受這種思想方法。這樣學生沉淀下來的就不僅僅是數(shù)學知識，更主要的是一種數(shù)學的素養(yǎng)，為以后構(gòu)建新的數(shù)學知識體系，進一步拓寬數(shù)學的空間，為獨立學習和研究更高深的理論打下堅實的基礎(chǔ)。