猜想在小學數學教學中的應用

摘要： 數學猜想實際上是一種數學想象，是人的思維在探索數學規律、本質時的一種策略。將猜想引入小學數學教學之中，將有助于培養學生的創新意識，促進學生數學思想方法的形成和掌握。

關鍵詞： 遷移 猜想 驗證 數學思想方法 小學數學教學

數學猜想實際上是一種數學想象，是人的思維在探索數學規律、本質時的一種策略。它是建立在已有的事實和經驗上，運用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合理推理。科學家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發現。”將猜想引入數學教學之中，將有助于培養學生的創新意識，促進學生數學思想方法的形成和掌握。那么，如何在數學教學中合理運用與有機滲透數學思想方法呢？下面結合兩個案例談談我的做法。

一、分數的基本性質一課的教學

分數的基本性質是在學生已經掌握了除法中商不變的規律，以及分數與除法的關系等知識的基礎上進行教學的。對于這種新舊知識緊密聯系的內容，要引導學生充分調動原有知識和經驗，憑借“猜想—驗證”的途徑，利用舊知“創造”新知。抓住新舊知識的連接點，創設一定的問題情境，使學生能借助舊知產生“正遷移”，先建立猜想，然后從不同角度來驗證猜想。下面是復習和探究新知的教學片斷。

一上課，我先問同學們：“前面我們已經學過了很多的數學知識，今天老師給大家帶來了幾個小小的填空，想考考大家，有沒有信心接受挑戰？”孩子們滿懷信心地高聲回答：“有。”我立即出示了下面兩道填空題：

＼在學生完成這兩道小題時，我分別讓學生說一說，你是怎樣想的，根據什么來填的，巧妙地引導學生回顧除法中商不變的規律和分數與除法的關系。然后順勢提問：“除法中有商不變的規律，分數與除法又有這么密切的聯系，你有什么想法？”

生1：我覺得分數中也應該有類似的規律。

師：如果分數中有類似的規律，你們覺得應該怎樣敘述呢？

生2：分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

師：同學們，你們同意他們的看法嗎？

生：同意。

師：你們覺得我們僅憑猜想得出的這個結論能成立嗎？

（有些學生有了疑問，有些學生很肯定。）

師：僅憑猜想下結論能行嗎？

生：不行！

師：那怎么辦？

生：應該再驗證一下。

師：是啊，很多偉大的發明都是從猜想開始的，但僅憑猜想是不行的，它必須要能經得起實踐的檢驗。好的，那下面我們就一起來驗證一下我們的這個猜想。

師：在黑板上板書分數1/2，根據剛才的猜想，你能寫出一個和它相等的分數嗎？

師：同學們想出了這么多種辦法驗證了這幾個分數是相等的，老師真的很佩服你們。通過剛才的學習活動，現在你們能得到什么結論？

生：分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。（師板書）

師：老師還有一個疑問，以前我們學習時也進行過一些猜想、驗證，那都是要舉很多的例子去考究的，今天只舉這一個例子就下結論，行嗎？

生：行！因為分數都可以改寫成除法，除法中有商不變的規律，所以，不管舉哪個例子，它都是成立的。

師：同學們真會思考！我們就把同學們剛才發現的分數中的這條規律叫做分數的基本性質。（師板書課題）

以往教學分數的基本性質時，我們一般都是讓學生動手折出1/2，2/4，3/6等，觀察涂色部分得出這幾個分數是相等的，再比較它們的分子和分母之間的變化關系，從而得出分數的基本性質。一堂課下來，順順暢暢，然而總覺得課堂缺少鮮活的生命體驗。究其原因，原來是受教材的束縛，學生沒有機會去自主探索與交流，只有機械、被動地接受。上述教學片斷中，我先引導學生復習回顧了除法中商不變的規律和分數與除法的關系，并由此引發學生的猜想：分數中是否也有類似的性質？然后引導學生進行驗證。課堂變得鮮活了，學生的個性得到了張揚，他們學到的不僅僅是知識，更多的是猜想——驗證的這種學習數學的思想方法的體驗與實踐，為學生的終身學習奠定了基礎。

二、3的倍數的特征一課的教學

這節課是在學生已經學過了2、5的倍數的特征的基礎上進行教學的，由于2、5的倍數的特征都是看個位，學生很容易誘發錯誤的猜想：個位上是3、6、9的數都是3的倍數。教學中，我抓住了這個切入點，引入教學：

師：昨天我們研究了2、5的倍數的特征，老師這里有3張數字卡片，分別是4、5、6，你能用這3張數字卡片組成是2的倍數的三位數嗎？

（學生紛紛舉起了小手，迫不及待）

生：564，654，456，546

（我有意進行了強化）

師：這么快呀！你們是怎么想的？

生：個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數，所以只要把4或6放在個位上組成的數就是2的倍數。

師：那你們能組成是5的倍數的三位數嗎？并說說你是怎么想的。

生：465，645。因為個位上是0或5的數都是5的倍數。所以必須把5放在個位上組成的三位數才是5的倍數。

師：看來同學們對2、5的倍數的特征掌握的真不錯。今天老師要和同學們研究3的倍數的特征。根據前面的知識，你們覺得3的倍數應該有什么樣的特征？

生：我想個位上是3、6、9的數都是3的倍數。

（師板書學生的這個猜測）

師：怎么知道這個猜想是否正確呢？

生：我們可以寫一些3的倍數來驗證。

師：那你們就在練習本上寫一些3的倍數，來驗證吧！

（受前面學習找一個倍數的方法的影響，學生肯定會從3的最小的倍數寫起；3，6，9，12，15，18，21，24，27，30……片刻，學生已經在下面議論紛紛。）

生1：不對呀，我發現3的倍數的個位數字0至9這9個數字都出現了，沒有規律呀！

生2：我在找的過程中還發現，13、16、19個位上是3、6、9但它們不是3的倍數。

師：由此你們能得到什么結論？

生3：我們剛才的猜想是錯誤的。（我給黑板上的那句話打上了錯號。）

生4：3的倍數的特征不能只看個位。

師：看來，一個數是不是3的倍數，不能只看個位，那么一個數是不是3的倍數，究竟與什么有關呢？請同學們仔細觀察這些是3的倍數的數，小組內商量商量。

生：我們發現這些數把它每個數位上的數的和加起來都是3的倍數，如12，1+2=3，15，1+5=6……

師：由此，你們想到了什么？

生：一個數，如果它各個數位上的數加起來的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：同學們，運用一些小數得到的這個結論放至四海皆成立嗎？

生：能！不能！

師：看來，這也是一種猜想了，那它能否經得起考驗，怎么辦？

生：我們可以舉一些大數來驗證。

（教師引導學生驗證）

①先由兩名學生舉出數字，用剛才的初步得到的規律去判斷它是否是3的倍數，再筆算驗證。

②同桌合作，每人說一個數，運用上述的方法再進行驗證。

③反饋驗證結果，發現這個結論的普遍性。

師：現在我們可以下結論了嗎？

生：可以。一個數，各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：根據這個結論，想一想，你能用4、5、6這3張數字卡片組成是3的倍數的三位數嗎？

生：能，可以組成456，465，546，564，645，654。

師：為什么用4，5，6組成的三位數都是3的倍數呢？

生：因為不論組成什么樣的三位數，它各位上的數字的和都是15，所以組成的三位數就一定是3的倍數。

以往我們教學3的倍數的特征后，有些同學遇到“個位上是3，6，9的數都是3的倍數”這句話仍然認為是對的。究其原因就是受了2、5的倍數的特征的影響，產生了錯誤的聯想。在教學中，我沒有回避這個問題，當學生產生這個錯誤猜想之后，我沒有簡單地予以糾正，而是鄭重其事地將它板書在了黑板上。然后引導學生通過驗證自己推翻這個錯誤的猜想，讓學生經歷了失敗，同時也明白了，不一定所有的猜想都是正確的，必須經過驗證才能確定真偽。我們要讓學生相信自己，敢想，善于想。教師要認真對待學生的每一個猜想，讓學生經過自己的探究去證明它們的對與錯。

綜上所述，在數學課堂教學中，引導學生進行數學猜想，可以激發學生的學習興趣，調動學生的知識積累，使他們的記憶理解能力、分析判斷能力等多種智力因素得到充分發揮，從而使整個思維活動處于最積極、最活躍的狀態。因此，教學中，我們要善于挖掘教材的聯系，為孩子創造猜想的機會，提供猜想的平臺，使學生在學習知識的同時促進數學思想方法的形成和掌握。