“數形結合”思想在高中數學中的應用

摘 要： 數的問題，可借助形去觀察；形的問題，也可借助數去思考.采用這種“數形結合”來解決數學問題可以化繁為簡，化難為易.本文主要就“數形結合”這一思想方法在高中數學中的應用進行簡單的歸納小結，通過具體實例說明.

關鍵詞： “數形結合”思想 高中數學教學 函數問題 不等式問題 平面解析幾何問題

在數學解題中，將抽象思維與形象思維在解題過程中交互應用，可以使初看很難、很繁的問題變得簡單，這就涉及“數形結合”思想方法的應用，本文主要就“數形結合”這一思想方法在高中數學中的應用進行簡單的歸納小結，通過具體實例說明.

解決數學問題時，根據問題的背景與可能，對于數的問題，借助形去觀察，而對于形的問題，則借助數去思考，采用這種“數形結合”來解決數學問題的策略，稱為“數形結合”的思想方法.

“數形結合”的基本思路：根據數的結構特征，構造出與之相適應的幾何圖形，并利用圖形的特征和規律，解決數的問題，稱為“以形解數”；也可以將圖形信息部分或全部轉換成代數信息，使要解決的形的問題轉化為數量關系的討論，稱為“以數解形”.

“數形結合”思想在函數、不等式、解析幾何中均有較廣泛的應用.下面通過具體實例說明“數形結合”思想在數學解題中的應用.

一、應用“數形結合”思想解決函數問題

一些函數的概念最值問題、值域問題、單調性、奇偶性等問題，應用“數形結合”的方法，解題快捷.

1.函數的概念問題

例1：觀察下圖，指出哪個圖像所對應的函數存在反函數.

分析：由反函數定義知x y之間應一一對應，故應選D.

2.二次函數問題

例2：若函數y=x+2ax+1在（+∞，1]上是為減函數，則a的取值范圍為（-∞，1].

解：函數對稱軸為x=a，當函數對稱軸在直線x=1上或在x=1右側時，函數在（-∞，1]上為減函數，則-a≥1，即a≤-1.

3.函數單調性、奇偶性問題

例3：若奇函數f（x）在區間[3，7]上為增函數，且最小值為6，那么f（x）在區間[-7，-3]上為（ ）

A.增函數且最小值為-6 B.增函數且最大值為-6

C.減函數且最小值為-6 D.減函數且最大值為-6

用一般方法過程較繁，可利用“數形結合”的思想方法，構造出符合條件的函數圖像.

解：由奇函數在對稱區間上單調性的特征，可得[-7，-3]上為增函數且有最大值為-6，故應選B.

4.方程解的個數問題

方程解的個數問題用一般方法有時較繁、較難，若利用“數形結合”的方法，將方程實數解的個數問題轉化為兩曲線交點個數問題，問題更易于解決.

例4：討論方程|x-4x+3|=a（a∈R）的實數解的個數.

解：作出及y=|x-4x+3|及y=a圖像方程解的個數就是兩個函數圖像交點個數問題.

①當a<0時，原方程無實數解；

②當a=0或a>1時，原方程有2個實數解；

③當a=1時，原方程有3個實數解；

④當0

二、應用“數形結合”思想解決不等式問題

利用“數形結合”思想方法解不等式時可避開復雜的分類討論，利用幾何意義，結合幾何圖形解題，可以化難為易，過程簡潔.

1.不等式中確定變量的范圍

例1：已知關于x的不等式|x+2|+|x-4|

解：設y=|x+2|+|x-4|表示數軸上點P到表示數-2，4兩點的距離之和，由圖可知y的最小值為4-（-2）=6，故所求a的取值范圍為a>6.

2.解不等式

例2：不等式

A.（0，2） B.（2，+∞） C.（2，4） D.（-∞，0）∪（2，+∞）

此題可用一般方法解不等式，利用“數形結合”的思想方法過程較為簡單.

解：設y=，y=x的圖像，由圖可知當2

三、應用“數形結合”思想解決平面解析幾何問題

“數形結合”的思想方法解決斜率、直線與圓、直線與圓錐曲線的相關問題，可以化難為易，大大簡化運算、減小運算量，應用廣泛.

1.直線相關問題

例1：已知直線L過點P（0，2）且與已點A（2，4）、B（-2，3）為端點的線段AB相交，求直線L的斜率的取值范圍.

解：設L的斜率為k，k==3，k==-，直線L在AP、PB之間旋轉時與線段AB均有交點，則k≥3或k≤-.

2.圓相關問題

在求與圓有關的最值問題時利用“數形結合”的思想，可以使問題迅速得到解決.

例2：圓x+y-2x+4y+4=0上的點P到直線3x-4y+9=0的最大距離為？搖 5 ？搖.

解：將圓配方得（x-1）+（y+2）=1，圓心（1，-2），半徑r=1，P為圓上任意一點，當PC垂直直線3x-4y+9=0時距離最大，最大距離為d+r（d的為圓心到直線的距離），d==4，則最大距離為5.

3.圓錐曲線相關問題

利用“數形結合”思想方法解決圓錐曲線的相關問題，結合圖像、性質，直觀形象，有利于迅速找到解題思路.

例3：已知A（3，2）P為拋物線y=2x上的動點，F為拋物線焦點，當|PA|+|PF|最小時，點P坐標為（ ）

A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（，3）

解：由拋物線定義知|PN|=|PF|，則|PA|+|PF|=|PA|+|PN|，由圖像得，當N、P、A三點在一條直線上時，|PA|+|PN|最小，此時點P縱坐標與A縱坐標相同，均為2，故選C.

直線與雙曲線交點問題，利用“數形結合”思想方法，過程簡單、快捷.

例4：直線L：y=k（x-3）與雙曲線-=1只有一個公共點，則滿足條件的直線有（ ）

解：由圖形結合雙曲線的幾何性質知，直線L與雙曲線的右頂點，當直線L與雙曲線漸近線分別平行時均只有一個公共點，當直線垂直與x軸時也只有一個交點，但斜率不存在，故應選C.

以上實例，簡單分析了“數形結合”思想在函數、不等式、解析幾何中的相關應用，當然，“數形結合”思想在數列、三角函數等方面也有較廣泛的應用，將一些數學問題利用“數形結合”的方法去解決，可以化難為易，形象直觀，更易于理解，可以大大簡化運算，提高解題速度與正確率.

參考文獻：

[1]徐有標，劉治平.高考中的數學思想方法.北京：龍門書店，2002，第一版.

[2]薛金星.怎樣解題.高中數學解題方法與技巧.北京.北京教育出版社，2006，第一版.