反證法的邏輯原理及應用

摘 要： 數學的發展依賴于邏輯的應用，邏輯學為人類提供了可靠的證明方法。巧妙的證明讓數學熠熠生輝。本文著重于反證法的介紹及其在中學階段的應用。而關于邏輯的部分仍要從三段論講起。

關鍵詞： 反證法 邏輯原理 應用

一、三段論的格

作為一門古老的學科，邏輯已有兩千多年的歷史。所謂邏輯就是一種能夠保留預設真值的推理方法。作為邏輯的基礎，我們當然不能忘記亞里士多德和他的三段論。然而關于三段論人們還是廣泛存在著誤解。

通常人們所言的三段論并非完全意義上亞里士多德的理論，就如同中學課本中的幾何公理化體系與《幾何原本》相差甚遠一樣，生活中最常見的三段論只是亞里士多德所劃分的二十四個式中的一種形式，而亞里士多德的成就更多體現在《后分析篇》中關于公理化的研究，這一點離大眾過于遙遠，在此不作討論。

更重要的是，人們對于直言三段論的基本形式過于忽略，而這種形式對推理有決定性的作用，請看下面兩個例子。

推理1 推理2

所有植物都需要水 所有植物都需要水

三葉草是植物 三葉草需要水

所以三葉草需要水 所以三葉草是植物

這兩個推理都正確嗎？盡管前提都正確，結論就常識而言也沒有錯，但是從邏輯角度看，推理2是錯誤的，因為從“三葉草需要水”推出“三葉草是植物”其實證據不足，如推理1所示，正確的推理形式是這樣的：

1.所有B是A

2.并且所有C是B

3.那么所有C是A

這就是基本的邏輯定理，其中1、2稱為前提，3稱為結論。正確的形式為前提1的主項是前提2的謂項，其余詞項組成結論，此時前提的真值必然決定結論的真值。這種形式稱為三段論的格，用Venn表示如圖1，C是A的子集是很明顯的。

圖1

反觀推理1與推理2，我們在應用三段論時一定要嚴謹。其實很多結論不嚴密的推理大多都犯有詞項位置的錯誤。

二、反證法的原理

反證法是一種簡單卻又行之有效的證明方法，從其創立至今就一直被廣泛使用。它的優點是，即使不知道怎樣直接證明，也能辨別該命題的真偽。最基本的事實便是，一個命題的反命題導致了矛盾，則原命題是正確的。

在反證法中，我們把待證的結論的反面作為一個前提，依據正確的三段論原理推理，并最終尋找出與現實的直觀矛盾或于理不符之處。而結論的真假由前提而定（前文已論述），這個矛盾說明假設有誤，因此它的反命題（即待證命題）是正確的。

三、反證法在中學階段的應用

以上敘述了邏輯推理的基礎和反證法的原理，下面是關于反證法應用的討論。

中學階段中，反證法在幾何中的應用并不多見。然而，平面幾何中的反證法卻妙不可言，它們精妙的構思令人贊嘆，阿基米德甚至用此法證明了圓的面積計算公式。在此我摘錄《原本》中的一個命題為反證法的一個例子。

如果兩圓相交，那么它們不能有相同的圓心。

設：圓ABC與圓CDG相交與B、C兩點（如圖）。

證明：假設有相同的圓心為E，連接EC，任意連一條線EFG，

因為G為圓ABC的圓心，所以EC等于EF，

又因為E為圓CDG的圓心，所以EC等于EG，

所以EG等于EF。

于是部分大于整體（違背第5公理）這不可能。

所以：E不是圓ABC、CDG的圓心。

所以：兩圓相交不可能有圓，證完。

另一個例子來自圖論，有過競賽經歷的人對此模型是非常熟悉的。

兩人或兩人以上的人群中，人們互相與熟人握手，那么至少兩個人的握手次數相同。

證明：以人為頂點，僅當兩個人握手時，在此二人間連一邊，構成一個圖G（V，E），設V=［V，V，…，V］，不妨設各項的度數為d（v）≤d（v）≤…≤d（v），

若等號皆不成立，則有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），

（1）若d（v）=n-1，則每個頂點皆與v相鄰，于是d（v）≥1，

所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n與d（v）=n-1相違.

（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，與d（v）＜n-1相違，故假設不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一處等號成立，即至少兩個人握手次數相同，證完。

通過兩個例子的展示，反證法行之有效的特點一目了然。不過反證法構造的技巧性是有難度的。因此我在這里總結中學數學中反證法的常用場合。

（1）命題以否定形式出現；

（2）唯一性的命題；

（3）命題結論中有“至多”，“至少”的形式；

（4）命題結論涉及無限集；

（5）命題結論的反面較結論本身更為具體、簡明，但更為重要的是多動腦筋，勤總結，在2011年陜西高考理科數學最后一道大題中考查了反證法技巧，可見古老而重要的技巧在新課改中仍受到極大關注，值得教師對此做一定的研究，并讓學生有所領悟。